Теория тепломассообмена Э.Р. Эккерт Р.М. Дрейк под ред. Лыкова (1013696), страница 17
Текст из файла (страница 17)
(4-27) О„+ о!и ассов д„ о !1! Если уравнение (4-26) подставить в формулу теплопроеодности закона Фурье, то Интегрирование уравнения (4-27) дает тепловой поток на единицу площади: а0 ( — Фылч ) д, зц з!и'з„[1 — е А а ' ью а~+В„май„созд„ Уравнение(4-21), содержащее характеристические корни й„, можно записать через ч„: (4-29) Отсюда следует, что 8„=Ф ~ — „) . /ы х Результаты решений уравнений (4-26), (4-28) и (4-29) можно графически изобразить в виде функций Эти результаты были вычислены и представлены в виде графиков изменения Гребером (Л.
2Ц, Гарней — Лурье (Л. 22ь Хайслером [Л. 23) и другим~и. Аналопичные решения были получены для цилиндра н шара. Результатьзэтихтрех решений графически изображены ~на рис. 4-6 — 4-8 в виде номограмм для ограниченного диапазона переменных. Решения двух- и трехмерных задач. Чаще всего задачи нестационарной твплопроводности затрагивают ограниченные тела, такие как прямоугольные ~параллелепипеды или короткие цилиндры. Те решения, которые уже подверглись обсуждению, в этих случаях нельзя ~примен~ить .непосредственно. Однако метод А. Б.
Ньюманна (Л. 24) дает возможность распространить метод решения одномерных задач, для которых ~решения существуют, на двух- и,трехмерные. Метод для двухмерных задач может быть легко использован при решении трехмерной задачи и заключается,в следующем,. И2 Рассмотрим длинный прямоугольный брус, изображенный в разрезе, на рис.
4-9. Теплообмен конвекцией имеет место иа внешних поверхностях бруска, при этом коэфФициент теплообмена а1 может быть ~повсюду постоя~иным или,равным на противоположных споронах. оо ол о,4 о,г оо У 'Г' од Ьг ог д! о ог од оо ог со ег н о ог од од дв 1о 1г ит 12 Рис. 4-6. Нестациоиариаи теплопроводиость в плите [Л. Ззц. Поскольку система симметрична, следует рассмотреть только одну четвертую часть бруска. Дифференциальное уравнение 'для системы: - (4-30) Граничные условия: дв — =О, х=О; дх1 д=О; — =О, до Х ( — ) =1ий~„, = Л; где ь ~дх ) л 113 ог о,! 48 о,в К:; ов о! о,л о! 'о о,г о! ов ав [о 18 !оо дг й'т !оа Рис. 4-7, Нестационарная теплопронодность и цилиндре [Л. 322[. юо ,в ав о! дв 48 о! пв дв о о! 'о ог ое ов ов !о !г !до аг оа ов ов 18 !г 'У Рис.
4-8. Нестационарная теплопроноднссть и шаре [Л. 323[, 114 Уравнение (4-30) и граничные условия становятся безразмерными, если мы полагаем: х , у ~ ае ~ ат 9' =— в, и учитываем тот факт, что безразмерные отрезки времени есть критерии Фурье. Ркс. 4-9. двухмерный поток тепла в бесконечном стержне, Подстановка приводит к следующему Щс —,=О, х'=0; дх' —,= — Е, у=1.
д1т' аВ ду' Х Решение предполагается получить в виде Ь'=Ь )( О', где г ! ат Подстановка принятого вида решения в уравнение (4-31) дает: дй Г л з 1 дй„ л (4-32) Уравнение (4-32) имеет форму Ф„(х, с) =Ф„(у, с)=0'. Таким образом, имеем два уравнения: дй' дейл да„ д'й„ д ' дУ'' (4-33) дт' дк' ' х ' По условию необходимо, чтобы эти две величины были равны постоянной. Однако любое уравнение должно быть справедливо при отсутствии другого, поэтому постоянная должна быть равна нулю.
116 Уравнения (4-33) — это безрамерная~ форма уравнения (4-10), которая имеет решения, подобные решениям уравнений (4-25) н (4-28). Итак, ясно, что произведение решений для двух ~полу- бесконечных пластин толщиной 2А и 2В дает решение для бесконечного бруска с поперечным сечением 2А Х2В.
Легко убедиться, что параллелепипед с измерениями 2АХ2ВХ2С имеет решение,,которое является произведением решений для трех полубесконечных плит, с измерениями соответственно 2А, 2В, 2С. На рис. 4-10 приводятся кривые для тел различных, форм, которые вначале имели избыточную температуру бо и поверхности которых затем были мгновенно охлаждены до 0=0 (Л. 251 Многие другие решения приводятся в книгах Карслоу и Егера (Л. 28), Шнейдера (Л. 27] и Мак Адамса (Л. 28).
Пример 4-3. При термической обработке стальной болванки в форме прямоугольного параллелепипеда с измерениями О,ЗХО,ЗХ0,6 и требуется, чтобы все части болванки нагревались до 370' С, но так, чтобы температура любой части болванки не превышала 398' С. Для того чтобы создать эти условия, болванку при начальной температуре в 21' С помещают и печь, в которой происходит циркуляция инертной атмосферы при 398' С, вследствие чего коэффициент теплообмена равен 788,6 клал/май ч ° град. Как долго должна болванка находиться в печи, чтобы температура ее центра достигла 370' С.
Для того чтобы использовать уже имеющиеся решения, применяе,мые только .для случая твердых тел с равномерным .начальным распре- делением температуры, которые в момент времени, равный нулю, погрузилн в жидкость с нуленой температурой, мы должны решать задачу с бонна~иной тамии же образом. Это сопровождается изменением граничных условий, ~причем 398*С берем за,нулевую температуру.
Это приводит и .появлению эививалент~ной задачи, из условия которой вытекает, что первоначальная температура болванки должна быть 398 — 21=377'С; цб ((1 82 Ю д// Рис. 4-10. Распределение температур по централь. ным осям тел различной формы в процессе охлаж- дения [Л. 324ф à †вли; У вЂ цилин ввадратяого сечевая баскавечвоа длины; Л вЂ” цилввдр круглого сечения басвоваяяоа длины; Я вЂ л; 5 †ш; 6 †цилин круглого савелия, длина равна диаметру. болванка погружена в жидкость с нулевой температурой в момент времени, равный нулю, причем теперь надо вычислить время, которое необходимо, чтобы температура в центре болванки достигла 398 — 370=28'С.
Из приложения находим Л=37,2 клал/л ° ч град и коэффициент температуропровопности а=0,053 ыа/ч. На основании решения произведение Ньюмана равно Я ( т ) Я = т =377=0,074, Поскольну А=В=О,З м и С=0,6 м, вышеприведенное выражение принимает вид: (т ) (т ) 0,074; вА аВ 488,6 0,3( аС 488,6 0,6 — — =3,9 я — = ' ' =7,8 (а). Л Л 37,2 ' Л 37,2 Эту задачу можно решить методом последовательных приближений, Берем время, равное т, вычисляем две величины ат/А' и ас/С' и I т 1 используем их вместе с величинами «А/Л и вС/Л, чтобы определить 1Л вЂ /1 Га А I г Л и 1Л вЂ” ) из графика для х/1=0, изображенного на рис. 46. Эти вели- 'х Га)с чины подставляем в вышеприведенное выражение (аЛ Процесс повторяется вплоть до тех пор, пока не получим удовлетворительное значе- 117 иие для (а).
Время, взятое для этого значения, — время, за которое температура в центре болваики повышается до 370' С. Приведем результаты, полученные после иескольких попыток, допустим, что т = 1,53 ч: ат 0,053 1,53 Л вЂ” =0,901; — =0,25; Аа 0,09 ' 'аА ат 0,053 1,53 Л вЂ” = 0,225; — О,! 25. Сз 0,36 ' ' аС Из рис. 4-6 для хй =0 (цеитр каждой плиты) находим значения пара- метров ( 1 ) = 0,302; Я =0,805. дт д'à — =а— дт дха (4-34) Рассмотрим выражение 1 — акааа 1 — е (4-35) которое продифференцировав по ч один раз и по х — дважды и подставив в уравнение (4-34), убедимся, что оно полностью удовлетворяет уравнению. Выражение (4-35) можно записать в слегка измененном виде, которое все еще является решением дифференциального уравнения: 7 (С) — !х-Е)'/4ат ~С (4-35а) где $ — параметр.
Это,выражение имеет то свойство, что оно везде равно нулю в,момент времени, равный нулю, за исключением случая, когда х=й, где оно конечное. При возрастающих значениях т температурное поле по про- 118 таким образом, (0302)з(0805) =00735, т. е. время, иеобходимое для того, чтобы температура в центре болванки достигала 370'С в условиях, поставленных задачей т=1,53 ч. Неограниченное твердое тело. Рассмотрим характер распределения температуры в твердом теле для ч ) О, если при ч =0 температурное поле описывается выражением 4 =7'(х). Подлежит решению уравнение Рнс.
4-11. Мгновенный источник тепла н последуюгдее распределение температуры в бесконечном твердом теле. ложенного в точке $. Мощность источника равна Я), а количество тепла, выделенного единицей площади плоскости, равно Я) р С, т. е, )($) — температура, до которой могла бы подняться температура объема (единица площади Х Х65), под воздействием тепла, выделенного источником. Поскольку уравнение теплопроводности линейное, сумма любого числа частных решений также является решением; отсюда +00 ( ( (е) и '" 11ч " г1"с 2 Усат,) Если в решении (4-36) произвести замену переменной (4-36) с=х+р'р'4гте, тогда +ос 1 (х, е) = = ( 1 (х+ р "р' 4а с) е ~ 1/4а~ ф 2Уг,п,) 119 странственной координате х такое, как показано ,на рис.
4-11. Уравнение (4-35а) можно рассматривать с физической точки зрения как температуру мгновенного плоско-го источника тепла, в момент времени, равный нулю, расположенного в точке х=й. Тогда температура в любой точке х является результатом действия источника, распо- или +оо Г (Х,е)= = ~ 1 (Х+ р 'р' 4ае) Е ~ Гтр. У Если в вышеприведенном уравнении е = О, то 1 (х+ ~1/4а~)= = Г'(х), поэтому оо Г (х, 0) = = 1 (х) ~ и а*с(р =1 (х).
о Таким образом, решение (4-Зба) удовлетворяет дифференциальному уравнению и начальному условию и, следовательно, является решением задачи. Полубесконечное твердое тело. Полубесконечным твердым телом может быть тело, ограниченное плоскостью Рис. 4-12. Модель распределения температуры для полубесконечнаго твердого тела.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
