Теория тепломассообмена Э.Р. Эккерт Р.М. Дрейк под ред. Лыкова (1013696), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Продолжаем;кривую ~начального ~распределения температур 1, 2, 3,... (рис. 4-)б) до точки пересечения прямой (г, а) с поверхностью стенки н соединяем, .как описывалось выше, точку О с точкой 2, точку 1 с точкой д и т. д. отрезками пря- Рис. 4Л7.' температурное поле кирпичной стенки при нестационарном режиме. мых. В результате ~получаем новую кривую,раопределения температур 1', 2', 3'... Продолжаем эту ломаную линию до, пересечения с поверхностью путем соединения точки 1 с на~правляющей точкой г. Таки~м образом, получаем точку О'. Затем ~продолжаем этот, процесс несколько раз, Если с течением времени изменяетоя темпэрапура окружающей среды 1у или коэффициент теплообмена а, это обстоятель- 128 ство можно легко учесть путем соответствующего первмещения на!правляющей точки в вертикальном ил~и горизонтальномм направлении.
Эта легкость в обращении с:различными условиями на поверхности является одним из преимуществ графического метода по сравнению с аналитическим решение!м дифференциалиного ура1внения, когда переменные граничные условия !приводят к значительным математическим трудностям. Впослвд1ствии этот !метод был !применен А. Несси и Л. Ниссолвм .для тел других ~форм и для гомогеиных систем 1Л. ЗЦ. Пример 4-4. Начинают отапливать жилую комнату с кирпичными стенами, температура которой первоначально равна внешней температуре — 1' С. Необходимо определить, через какой промежуток времени в комнате и стевах установится постоянное распределение температур.
Конечная температура в комнате 21' С. Коэффициент теплообмеяа иа внутренней поверхности стены а;=6 клал/м' ° ч град; коэффициент теплообмеиа на внешней поверхности а = 14,5 клал/м' ч град; коэффициеит температуроцроводиости а=0,0011 м'/ч; толщина стены 0,396 м. Распределение температуры в стене при стационарном режиме задается прямой, соединяющей точки а и Ь при температуре — 1 и 21' С, которые отстоят от поверхностей стены иа расстоянии Х/аз и Х/а,. Если предположить, что теплоотдача к внутренней поверхности стены постоянна, то за время прогрева'иаклон температурной кривой к внутренней поверхности будет оставаться неизменным.
Теперь, чтобы приступить к графическому решению, разделим стену иа шесть слоев толщиной Дл=0,066 м. Отсюда находим интервал времени (Ьх)э 0,066' Ьт= — = ' =1,97 ч 2а 2 0,0011 Построение температурных кривых можно проследить иа рис. 4-17. Как видно из рисунка, для установления стационарного режима необходимо более 80 ч, т. е. более 4 дней. По истечении 9,85 ч иитеувал по координате увеличен до 2бл; в соответствии с этим увеличев и интервал времени: 4Х1,97=7,88 ч. 4-2. ПЕРИОДИЧЕСКИИ ПЕРЕНОС ТЕПЛА На практике явления, передачи тепла часто наблюдаются ~в таких условиях,,когда температурные граничные условия ~периодически я!вменяются !во времени.
Эти явления имеют .место в цилиндрах !паровых,машин и двигателей внутреннего сгорания, в !процессах ~производства, где тепловой цичсл системы более желателен с точки зрения осуществления контроля, и во многих других случаях. Тгакие процессы можно рассматривать с !помощью только что описа!нного графического !метода !шмидта.
Однако этот метод связан с определенными затруднениями графического выпол- 9 — 308 129 нения. Применение, некоторых аналитических методов позволяет изучить нррироду период!ической передачи тепла и в тех случаях, когда этого нельзя сделать, используя графические методы. Твердое тело с бесконечной те п лоп р о в одностью, температура окружающей с~реды— не!риони ческая функция врем е ни. Рассмотрим маленькую болванку, о которой мы уже упоминали, но тепеРь бУдем !полагатаь что она логРУжена в жидкость, температура которой периодически изменяется. Любая периодическая функция может быть !разложена в ряд Фурье (Л. 32).
Поэтому для колебаний температуры жидкости можно написать: ! = — '+~ ~а„соз — + Ь„з(п — у1, (4-47) 2аит'! та л=! где а„и Ьл — коэффициенты Фурье и е, — период колебания температуры. Подставив уравнение (4-47) в уравнение (4-1), получим выражение Ол л=! интегрируя которое, будем иметь (Л. ЗЗ): — чалмами / Г ала!ран аА Г иа =е е . Г + рс)т(2 Г +~~)~~ ~а„соз — "и'+Ьлгйп — ',"') ~ с(а+ С,) л=! ,или в окончательном виде (Л. 341 а!+у аА (алсоз 1(2аиа/е!) — а)+ Ьлз1и[(2аит/та) — Е) 11 Рс~ '( ЯаА/рс))а+(2аи/ча)! + С,е "'~"'~, (449) где 3 =(а' '(2аи/еа) (рею/аА).а Постоянную С, можно определить, учитывая распределение температуры в момент времени, равный нулю, однако " Символ !К-' обозначает атс!и. Прим.
ред. 130 с течением времени переходный член стремится к нулю, и колебания температуры принимают регулярный характер. Температурно-временное состояние болванки по истечении переходного времени можно выразить так: а, +1Д а„соз )(2якэ/т,) — 4) + Ь„з!п [(2япт/т,) — 4) У) + тяга На основании решения (4-50) можно сделать заключение, что температура болванки всегда отстает от температуры жидкости на фазовый угол 5, а амплитуда температурных 1 колебаний уменьшается на коэффициент У1+ ткэй ' Пример 4-5.
Термометр сопротивления применяется для замера температуры газа в цилиндре машины, делающей 120 об/мин, Величина сопротивления термометра просматривается на осцнллоскопе. Требуется определить возможную ошибку в измерении. Предположим, что колебания температуры синусоидальные, тогда мы можем использовать данные решения (4-50) при о=1. Термометр сопротивления имеет цилиндрическую форму и изготовлен иэ платины, его диаметр 0,51 мм.
Теплопроводность платины равна 59,5 ккал/и ° ч ° град, а температуропроводиость а=0087 м'/ч. Коэффициент теплообмена цилиндра может быть, порядка а=244,3 ккал/мэ ч ° град, Характерное измерение чувствительного элемента составляет с=0,51: 4=0,127 мм. Машина делает 120Х60=7200 циклов в час; таким образом, 2я рсГ 2я рс ЕЛ 2к 7 200 59,5 0,127 16,1 кй —— эА тэ Л а 0,087.244,3 1 000 тяэ 5 = 25,9.
1 Коэффициент уменьшения амплитуды равен =0,19, х' 1+25,9 а =18-' 16,1 =86,5'. Следовательно, здесь имеют место погрешность в температурных показаниях на 81эгэ и отставание в показаниях на 86,5' или почти на четверть оборота. П о л у б е с к о н е ч н о е твердое тело, т е м и е~р ат у р а,п о не ~р х н о с т ~и п е р ~и о д и ч е с к и и з м е н я е т с я в о в р е м е н и. Ра~ссмоприм еше раз !полубеоконечное твердое тело протяженностью от поверхности к=О до бесконечности, где температура внешней поверхности прих=Оизменяется периодически во времени. Дифференциальное уравнение имеет внд: адм бт дхэ 131 и должно удовлетворять следующим начальным и граничным условиям: я=О; 1=0; х=О; 1,=/(а); Решение может быть вида: (4-51) 1= г" (т) О (х). Поскольку изменение температуры,должно быть периодическим, необходимо, чтобы нак время т, так и пространственная координата х входили в аргумент некоторой тригонометрической функции.
Это досвигается в ~результате представления,решения ~для г(т) в виде экспоненты с мнимым показателем. Дифференцируя уравнение (4-5!) и разделяя переменные, ~получаем: (4-52) Г~(а) а«(х) аР (т) О (х) из решения которых получим й'а~ (= Се — е (4-53) Решение (4-53) может быть представлено в четырех частных решениях: (, = С,ехр [ — р'1/2 ах+1(А'ат — ]/ 1/2 йх)]; (,=С,ехр [ — У1/2 ах — 1(а'а~ — ]~1/2 ах)]; 1,= С,ехр [1/ 1/2 ах+ 1(а'ат — ']~ ! /2 ах)]; 1, =С,ехр [)/1/2 /гх — 1 (й'ат — ~/1/2 1гх)] . Два из этих решений с физической точки зрения невозможны, поскольку температура не может бесконечно возрастать с ростом х.
Эти два решения отбрасываются ((, и 1,), а два 132 где 1= $~ — 1. Как отмечалось раньше при анализе решений, уравнение (4-52) на самом деле представляет собой два уравнения: г' (т) — (+- И') аР ( с) = О; ба(х) — (-+-И') 6(х) =О, Уравнение (4-54) можно записать через тригонометрические функции: 1= е '"" 1А соз (И'ат — )/1/2 йх)+Вз(п (а*ат — )l 1/2йх) (4-55) или через фазовый угол 1 = Се»'Од»" соз (И'ат — )/1/2 йх — 3), (4-56) где 3 =1ц ' — и С = $~ А'+ В'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
