Теория тепломассообмена Э.Р. Эккерт Р.М. Дрейк под ред. Лыкова (1013696), страница 16
Текст из файла (страница 16)
е. тело пространственно изотермично, температура меняется только со временем. Некоторые небольшие тела с ограниченной теплопроводностью удовлетворяют вышеупомянутым условиям. Рассмотрим небольшую болванку (рис. 4-1), которая находится н среде, имеющей равномерную температуру. В некоторый момент вре.мени ее поместили в поток жидкости или газа, который имеет другую температуру. Задача заключается в том, чтобы определить изменение температуры со временем как функцию характеристик системы.
Запишем уравнение теплового баланса для болванки: В уравнении (4-1) 1г — объем болванки и А — площадь поверхности. Соответствующие начальные условия г=г, при ч = О. Температура окружающего потока г' — постоянная. Уравнение (4-1) можно записать в виде дифференциального уравнения для избыточной температуры, где Ь=Р— Рр; 00 аА — = — ~Й. 6 рсу (4-2) Используя граничные условия т=О, Ь =Ь„получим решение уравнения (4-2) в следующем виде:  — (аА/рсш а — а В аа (4-3) Ясно, что графическое изображение уравнения (4-3) в координатах 1и Ь/Э, от ч дает семейство прямых линий с аА/рс~' в качестве параметра. Уравнение (4-3) можно переписать в более удобной форме: — — (аул) раиьч е — е ! (4-4) 2 3 4! За~га та, 4аг~О цилиндр 21 2аГаа куб ра бР 6 104 где аЕ/Х вЂ” критерий Био; ач/.(,' — критерий Фурье; а — коэффициент температуропроводности. Соответствующий график уравнения (4-4) представляет собОй ЗаВИСИМОСтЬ 1П Ь/Ь, От а~/Еа С аЕ/Х В КаЧЕСтВЕ ПараМЕтра (рис.
4-2). Величина Ь в критериях Био и Фурье представляет собой характерный размер системы и определяется как отношение объема тела к площади его поверхности. Таким образом, для простейших геометрических форм величину Ь легко получить: шар' Критерии Био и Фурье — безразмерные величины. В случае конвективного теплообмена использование их позволяет представить температурно-временную зависимость (уравнение (4-4)) для,всех тел с бесконечно большой теплопроводностью одним универсальным графиком. 0/на Б ао о,в ао 05 0.4 ол ог аг ого 000 005 005 004 005 оог оооо Оооо оооо ааоо 0 004 До 05 нг х-— а-аг дооа о г 4 5 0 ~о аг 54 05 го Рис.
4-2. Графики охлаждения однородной болванки. Электрическим аналогом охлаждения болванки является разряд электрического конденсатора в цепи с линейным сопротивлением. ~Процесс изменения напряжения на таком конденсаторе описывается уравнением Е (дс) — =о (4. 5) где Е,— напряжение в момент времени, равный нулю; гх †сопротивлен; С вЂ” электрическая емкость. !Об Эта аналогия привела к созданию многих приборов, основанных на )с, С-цепях, моделирующих переходные процессы теплообмена. () ) 0693.
а И О 69З Отсюда характеристическая величина †;= О' — — 69,3 и полупериод 69 3,9,10-ч чл= О 0166 4 =0,0094 3 600 = 33,8 сек. Таким образом, можно полагать, что показания термометра правильно отражают истинное изменение температуры, если это изменение происходит более медленным темпом (для синусоидального колебания температуры найденный период должен быть в 1О раз больше ]Л.
19]). Твердые тела бесконечно большой те~плоемкости, Граничные условия — фу~нкция вре. мени. Рассмотрим болванку, изображенную на Рис. 4-1, приняв, что температура потока меняется от ~нуля линейно со временем, т. е. температура потока определяется следующим выражением: (4-6) Уравнение (4-1) можно написать иначе, учитывая изменение температуры потока: Ж аА еА — + — 1 =,— с. сИ рср 'рог' (4-7) 106 Пример 4-1. При измерении переменной температуры термометром важно знать, насколько быстро термометр реагирует на изменение температуры. Полупериодом называют интервал времени, в пределах которого начальная разность между истинной температурой и показанием термометра сокращается наполовину после внезапного изменения истинной температуры.
Необходимо определить этот полупериод для ртутного термометра, находящегося в потоке воздуха. Пусть ртутный шарик имеет форму цилиндра радиусом 3 лл. Коэффициент теплопроводности ртути )г = 7,45 клал(м ч град (см. приложение). Коэффициент температуропроводности а = 0,0166 мз1ч, термическим сопротивлением тонкой стеклянной стенки пренебрегаем. Коэффициент теплообмена для потока воздуха в = 50 ккал1м'ч град. ов 50 0,003 Отсюда кРитеРий Био д = т 45 9 =0,01. Отношение 111, в уравнении (4-4) равно 0,5, когда численное значение показателя степени равно 0,693. Таким образом уравнение для определения полупериода времени будет (атл,Ч.з).
Решение уравнения (4-7) принимает вид В ~ ~'~~ )+,,— 1«А«д«Р! (4-8) Постоянная С,может быть оценена из начального условия, которое предполагает, что начальная температура равна нулю. Следовательно, общее решение принимает следующий вид: (4-9) ' Уравнение (4-9) графически изображено на рис. 4-3„ Можно видеть, что температура плиты всегда отстает от температуры потока. Как только переходные явления исчезают, отставание становится постоянным. Это можно заключить из уравнения (4-9) для очень большого с.
Пример 4-2. Термометр из примера 4-1 используется лля того, чтобы контролировать температуру в обыкновенной кухонной плите. Нужно вычислить отставание показаний термометра при нагреве плиты со скоростью 204' С1ч. Примем коэффициент теплообмеиа « =9,8 клал/лз ч град. В атом случае рек г«Л 0,003 7,45 — =0,08 Ч-з! ан 2а«2 0,0166 9,8 йг =0,08 204 =16,32' С. Бесконечно большая плоская пластина. Вопросы переходных !процессов теплопроводности в системах с пространственным распределением температуры связаны с очень громоздкими и сложными математическими выкладками; Фурье 1Л.
20] разработал знаменитый метод рядов Фурье для решения этой проблемы. Для плиты толщиной 1 в направлении х и бесконечной в направлениях у и г, изолированной на поверхности х=0 и теряющей тепло конвекцией на поверхности х=1, уравнение теплопроводностн при отсутствии источников тепла сводится к да дв — =а— дт дл« ' (4-10) где Э вЂ” избыточная температура в любой точке тела. Изображение плиты приводится на рис. 4-4. Уравнение (4-10) можно решить для ряда граничных условий методом разделения переменных.
107 Принимаем в качестве решения выражение вида: Ь = г" (т) 6 (х), где, как указано, Е является функцией только с, а 6— функцией только х: д дб ив з=Р('с) 6' (х). Рис. 4-3. Графики нагревания однородной болванки под воздействием линейных изменений температуры жидкости. Рис. 4.4. Теплопроводность в беско. нечной плите. Подстановка этих двух величин в уравнение (4-10) приводит к выражению 6 (х) Г'(с) = аг" (т) 6" (х), (4-11) в котором переменные разделяются: /з (4-12) где Й вЂ” постоянная'. Уравнение (4-12) представляет собой два дифференциальньтх уравнения вместо одного уравнения (4-10), но эти уравнения являются обычными линейными уравнениями и поэтому поддаются решению.
Эти два уравнения можно написать так: Р'-+- й'аг" = 0; (4-13) 6" -+- й'6 = О. (4-14) ' Й называется собственной величиной. 108 Решение уравнения (4-13) дает: В=С,е и, поскольку мы знаем, что избыточная температура уменьшается со временем, мы принимаем отрицательный знак. Решение уравнения (4-14) с отрицательным е* дает: 6=С,е+~'+С,е ' '.
Полное решение, конечно, 9=Р(ч)6(х), поэтому 9=е '" (Асов йх+Вв!и/гх). Граничные и начальные условия следующие: (4-15) — =О, х=О, ез (4-16) ~~ — — — 9; х=1; дВ а к (4-16а) 9=9~ т,=О. (4-166) По существу нужно определить три постоянные А, В и й. Соответственно имеются три условия для их определения. Уравнение (4-16) требует, чтобы производная д9/дх=О при х=Π— =е "( — А,Ып/гх+Весовех). (4-17) Из уравнения (4-17) видно, что В должно быть равно нулю, для того чтобы температурный градиент (д9/дх)„~=0.
Получаем решение 9 = Ае е "сов ех. (4-18) — = — А,е '"ев(п Ы= — — "9,. (4-19) ( — ").==- дх у,, х Из уравнения (4-18) 9, = Ае "" сов Ы. (4-20) )оз Второе граничное условие, уравнение (4-16а), можно исполь- зовать, чтобы определить йм Объединяя уравнения (4-19) и (4-20), получаем: с1К тгг =— лй (4-21) Уравнение (4-21) служит для определения величины й, которую можно получить, построив график каждой части 'уравнения в зависимости от й, как показано на рис.
4-5. Рис. Ч-б. Определение величин собственных значений для задачи теплопроводности бесконечной плоской плиты. Из пересечений кривых двух функций можно получить столько значений й, сколько необходимо. Температурное поле — аз а О=~„Лле ' " созй„х, (4-22) где теперь можно определить величину А„для каждого /г Для этой цели используется начальное условие. Допустим, что о, можно разложить в бесконечный ряд: Ь, = А,соз lг,х+ Л,соз й,х+ А,соз й,х+...
(4-23) 1!О Если уравнение (4-23) умножить на соз 1г„хс(х и проинтегрировать от х= О до х = ( (полагая, что интегрирование допустимо), то можно показать, что ! А соз(г„хсоз(г хг(х=О, о если т+п. Оставшиеся значения Ь,соз /г„х ((х = ) А„соз' lг„х ((х, дают возможность получить постоянные А„. Следовательно, 29ог1п О„! А !г„!+ о1п(г 1соо(г„! ' (4-24) Теперь для удобства предположим, что 7г„=о„/! и, таким образом, получим окончательную формулу распределения температуры: — г~ (ач!'!20,о!по сов(В х(1) Ь= е д„+ о!из„сов г„ =Е (4-25) л=! Тепловые потери для полубесконечной плиты получаем из закона теплопроводности Фурье ,дх ( 00 л=! 2!О Р ~.~ — Ь (а !1 ! 6„5!и д„пс Я вЂ” 1 .3~ — — ' ~~'е ' ", " .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
