Теория тепломассообмена Э.Р. Эккерт Р.М. Дрейк под ред. Лыкова (1013696), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Это уравнение выводится из баланса энергии в стационарном элементе объема, расположенном в ~поле потока. Тепло в элемент объема может быть передано твплопроводноатью или перенесено движущейся жидкостью через границы элемента. Кроме того, тепло может быть выделено внутренними источниками. Такие источники тепла всегда присутствуют в движущемся потоке вязкой жидкости, поскольку напряжения сдвига вызывают внутреннее трение и превращают кинетическую энергию в тепло. Цри небольших скоростях изменения температуры, вызванные внутренним трением, малы и ~ими обычно можно пренебречь.
При больших скоростях потока вопросы влияния трения важны. ~В деле развития высокоскоростной авиации они привлекашт к себе большое внимание 3(б (аэродинамический нагрев). В предыдущем разделе выделение тепла внутренними источниками не учитывалось. Здесь, однако, его мы учитывать будем. Кроме того, позднее отдельный параграф будет посвящен процессу тепло- обмена при высоких скоростях. Уравнение энергии для вязкой жидкости с посто|янными свойствами можно легко получить, применяя уравнение (2-13).
Это уравнение дает баланс количества тепла, аккумулированного внутри элементом объема со сторонами пгх, игу, с(г, тепла, переданного теплопроводностью в элемент объема через его поверхности, и тепла, .которое выделено внутри элемента. Если рассматривается стационарный элемент объема, через который протекает поток с составляющими скорости и, о, ш, добавочное тепло будет передано в элемент объема конвекцией. Этот конвективный перенос тепла можно рассчитать таким же путем, как и в предыдущем параграфе'. Его включение в баланс энергии приводит к уравнению /дт д) дт дт т рс ~ — +и — +о — +пг — )= л~ дт дх ду дз) 1 1 — о — О (7-3) оз 1 ~, О Тепло, выделенное за единицу времени в единице объема внутренним трением, в вышеприведенном уравнении обозначается буквой Ф. Ононазываетсяте пл о м р а осе и в а- и ия.
Вывод этого члена из поля скорости очень длинная процедура, и поэтому здесь не приводится. Этот вывод приведен, например, в книге Шлихтинга «Теория пограничного слоя». ' По существу нет никакой разницы между удельной теплоемкостью при постоянном объеме и удельной теплоемкостью при постоянном давлении для потока с постоянными свойствами (включая плотность). Величина се используется здесь и в последующих уравнениях потому, что многие из них применяются такгке и к сжииаемой нсидкоеьь 2И Для потока с постоянными свойствами рассеяние тйпйа описывается следующим уравнением: =йр~(а ) +(в ) +('о ) 1+" ~(ах)+(а )1+ м 1 1 о ъ м з +г((д )+(а )1+р((д )+(д )1.
(7-4) ъ~ о о о о Уравнение (7-3) вместе с уравнениями Навье — Стокса описывает температурное, поле вязкого потока. Для обычных потоков числовые значения теплопроводности так малы, что кондуктивный перенос тепла становится заметным только в той области, где конвективный теплообмен мал из-за малых скоростей. Мы знаем, что такая область всегда существует около поверхности твердых тел, потому что там скорость потока уменьшается до нуля. Как следствие этого можно ожидать, что теплопроводность таких потоков следует рассматривать только вблизи твердых поверхностей.
Другими словами, ожидается, что будет, существовать тонкий слой, вдоль твердой поверхности, в котором теплопроводность равна по значению конвекции тепла, тогда как вне этого слоя перенос тепла теплопроводностью относительно так мал, что им можно пренебречь.
Этот слой будет называться тепловым пог ран и ч н ы м слоем. Теперь упростим дифференциальное' уравнение, описывающее поток тепла в этом тепловом пограничном слое, путем учета порядка малости его членов. Рассуждения будут такими же, как и для гидродинамического пограничного слоя двухмерного потока. Соотвепспвенно этому членами в уравнениях (7-3) и (7-4), под которьъми стоит нуль, пренебрегают. ,Поскольку мы рассматриваем влияние небольших значений толщины пограничного слоя и небольшого значения теплопроводности на уравнение энергии, все другие величины в уравнении (7-3) будут измеряться в таких единицах, что они оъмеют порядок 1. Толщина теплового пограничного слоя предполагается порядка б.
~Вопрос о порядке величины теплопроводности остается открытым. Составляющая скорости о будет порядка б. Порядок величины членов левой части уравнения (?-3) можно теперь легко установить. Порядки величин опять указываются под уравнением. Первый член в скобках в пръйвой части уравнения можно не учитывать по сравнению со вторым членом. Здесь 217 член в скобках имеет тот же порядок, как и члены в левой части уравнения, когда Л имеет порядок б'. Единственный член, остающийся в функции рассеяния Ф,— это величина р(Ыи/ду)', которая имеет порядок 1.
Уравнение энергии пограничного слоя для несжимаемого потока с постоянными свойствами будет иметь вид: рс ( — +ив — +о 8 )=Х а +Р(8 — ). (7-5) К этому дифференциальному уравнению относятся следующие граничные условия. Температура потока задается снаружи пограничного слоя (г=г,). При постоянных свойствах эта температура постоянна. У стенки большее разнообразие граничных условий имеет, место для температурного пограничного слоя, чем для гидрод~инамического пограничного слоя. Наиболее часто встречающимся условием является либо задание темпеРатУРы повеРхности ~д э = т (х), либо значения теплового потока через поверхность твердого тела: Уравнение энергии пограничного слоя внешне выглядит совершенно так же, как и уравнение количества движения пограничного слоя.
Однако имеется два существенных отличия. В уравнении энергии (7-5) величины и и о долясны рассматриваться как известные параметры, определяемые из решений уравнений движения. Соответственно уравнение энергии пограничного слоя есть линейное уравнение относительно температуры, что с математической точки зрения значительно упрощает задачу получения решений этого уравнения, поскольку здесь применим ~принцип суперпозиции. Это означает, что как только некоторое число решений этого уравнения становится :известно, новые решения легко получить добавлением или вычитанием любого из известных решений. Другое отличие, между двумя уравнениями связано с тем фактом, что член, соответствующий градиенту давления, не содержится в уравнении энергии.
Исходя из этого, можно предположить и это будет подтверждено позже, что влияние на теплообмен изме-, нений давления вдоль поверхности меньше, чем на такие параметры потока, как лобовое сопротивление. 218 Для потока с малой скоростью вдоль плоской пластины уравнение количества движения (без члена, содержащего др/дх) уравнение энергии (без члена, выражающего тепло трения) очень похожи друг на друга. Кроме того, когда числовое значение температуропроводности равно величине кинематической вязкости, тогда уравнения идентичны и могут быть с легкостью преобразованы одно в другое.
Как следствие этого, если граничные условия в этих случаях также одинаковы, то решение уравнения количества движения (кривая распределения скорости внутри пограничного слоя) и решение уравнения энергии (кривая распределения температуры внутри пограничного слоя) совершенно одинаковы по виду„ а толщина пограничного слоя потока равна толшине теплового пограничного, слоя. Более детально об этом будет идти речь позднее, когда будут представлены действительные решения уравнения энергии пограничного слоя.
Вышеизложенное позволяет допустить, что обе толщины пограничного слоя равного порядка. Это означает, что сочетание свойств, определяемых выражением рс Рг= — =— Л а' называемым числом Прандтля, имеет порядок 1. Это справедливо для большинства жидкостей. Чтобы выяснить условия, когда членом, выражающим рассеяние, в уравнении (7-1) можно пренебречь; будем считать, что мы измеряем температуру единицей, имеющей порядок разности температур, заданной в задаче (напри.мер, разности между температурой стенки и температурой потока), тогда .как величина, которой измеряются скорости, будет иметь порядок скорости потока и, Тогда второй член в правой части уравнения (7-3) будет порядка Ь~(б/о/б~), член, выражающий рассеяние, — порядка У(и/бз) и обз они будут одного н того же порядка, когда и /Ме будет порядка 1.
Это отношение может быть разделено на ср (порядка 1), ч~офы сделать его безразмерным. Член, выражающий расстояние„следовательно, таког го же порядка, как и другие члены, когда и /срМ,,поряд- 2 Я ка 1. Когда выражение и /сгЛ/з имеет порядок, который мал по сравнению с 1, тогда рассеянием можно пренебречь, 219 Вводя числовые значения, находим, что в воздухе при разнице температур в 12'С скорость должна быть порядка !50 м/сек, чтобы выражение и9срМо имело порядок 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
