Теория пограничного слоя Г. Шлихтинг под ред. Лойцянского Л.Г. (1013691), страница 60
Текст из файла (страница 60)
3 . х 3 2 гт 2 (11.38) Как показывает рис. 1.10, действительное (определенное из эксперимента) распределение скоростей при больших, так называемых'сверхкритических числах Рейнольдса не очень сильно отличается от теоретического потенциального распределения. Так как коэффициенты-функции ряда Влазиуса для осесимметричной задачи вычислены для членов до х' включительно, то в равенстве (11.38) синус следует ааменить его степенным рядом до члена х' включительно.
Иа рис. 9.5 мы видим, что такая аамена дает хорошее 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,6 2,8 3,0 3,2 3,4 3,6 3,8 4,0 4,2 4,4 4,6 4,8 5,0 5,2 5,4 0,1755 0,3311 0,4669 0,5833 0,6811 0,7614 0,8258 0,8761 0,9142 0,9422 0,9622 0,9760 0,9853 0,9912 0,9949 0,9972 0,9985 0,9992 0,9996 0,9998 0,9999 0,9999 1,0600 1,0000 0,6110 0,6193 0,61 44 0,6015 0,5845 0,5666 0,55 00 0,5358 0,5245 0,5161 0,5102 0,5061 0,50 36 0,5020 0,5011 0,50 06 0,5003 0,5001 0,5000 О, 0090 0,0176 0,02 54 0,0316 0,03 58 0,0377 0,0372 0,0346 0,03 06 0,0258 0,0207 0,0158 0,0116 0,0081 0,00 54 0,0 0,0101 0,0198 0,0285 0,0354 0,0399 0,0417 0,0409 0,0379 0,0334 0,0279 0,0223 0,0170 0,0124 0,0086 0,0058 0,0037 0,0023 0,0013 0,0008 0,0004 0,0002 0,0001 0,0000 0,0000 1 1! точные Решения для Осесимметричных погРАничных слоев 231 приближение синуса на довольно большом протяжении после максимального значения скорости.
Радиус сечения, проведенного через шар перпендику- лярно к направлению набегающего потока, равен г (х) = В з(п— В (И.39) Сравнив степенные ряды, получающиеся в результате разложения функций (И.38) и (И.39), с рядами (И.З2) и (И.31), мы найдем для коэффициентов и„иь,... и г„га,... следующие значения: 871 171„1 5 1 5 и1= — — ~ и = — — ' 2 и ' ' 4 Ва ' 80 Вь ' ' 3860 Вт ' 11. гь= — — — ' 6 Вв' 1 1 1 1 г г = е 120 Ва ' т 5040 Ве ге=1; Подставив найденное значение иь в равенство (И.ЗЗ), мы получим Далее, подставив значения иь, иа,...
и г„га,... в равенство (И.35), мы найдем распределение скоростей ц 2 1 ( ) (на+'"ь)+ (В ) [аь+~ь+ 8 ~ь+ 8 !ь+ 8 ть) 180 ( В ) [а+я + З (с + 8 1'+71'+7р'+ 8 ц'+ З 1 +7О;+7г,') . (И.40) 1 х т,, 7, 7 ..., 7 . 7 Выйисленные по этой формуле профили скоростей построены на рис. И.7. Для определения положения точки отрыва мы имеем уравнение у) 1 — 0 3925Хотр+0 0421Ха — 0 00259Хотр = 0 где для сокращения записи введено обозначение г Хотр= ( В ) Решив это уравнение, мы найдем следовательно, 1Р р —— 109,6', ь(г 174 ь~~ Щ~ 17 й т.
е. азимут точки отрыва лишь немного отличается от соответствующего азимута для круглого цилиндра (стр. 168). Относительно возможности применения изложенного способа для расчета по- рно. 11Л. Раслрелелевне скоростей в лограничного слоя на теле вращения любой ' 'транленон слое на шаре. формы следует повторить все сказанное в з 3 главы 1Х для плоской задачи. Вычисление коэффициентов- функций для членов ряда Блазиуса выше х' требует практически недопустимой затраты времени. Между тем для практически важного случая 232 ОсесимметРичные и трехмеРные погРАничные слОи [гл.
х1 обтекания тонких тел необходимо брать в ряде Блазиуса значительно большее количество членов. Это обстоятельство весьма сильно ограничивает практическое применение изложенного способа. О дальнейших результатах для шара см. $ 2 настоящей главы. Поперечная крививна пограничного слоя. Как мы уже отметили, условне, что толщина пограничного слоя везде очень мала по сравнению с радиусом тела вращения (б (( 7), является существенным допущением для совпадения уравнения движения (М.2та) осесимметричвого течения с аналогичным уравнением плоского случая. Однако при обтекания длинного тонкого цилиндра и вообще любого длинного тонкого тела вращения указанное условие ве соблюдается. Толщина погранвчного слоя вдоль поверхности такого тела растет все больше и больше и в конце концов становится сравнимой с радиусом тела.
При этом вследствие сравнительно большой кривизны поверхности тела трехмерный характер осесимметричного пограничного слоя дает себя знать в поперечном направлении — возникает поперечная кривизна пограничного слоя. Случай осесимметричного пограничного слоя на внешней поверхности тонкого цилиндра радиуса го = а = СОПЗ$ пРи однородном внешнем течении Рассмотрен Р. А. Себаном и Р. Бондом [").
В полученные ими результаты Г. Р. Келли ['4) внес некоторые численные поправки. Затем М. Б. Глауэрт и М. Дж. Лайтхилл [зз) получили решения один раз на основе приближенного метода Польгаузена (см. 1 2 главы Х1), а другой раа — путем асимптотического разложения в ряды. Независимо от них такое же асимптотическое разложение применил К. Стюартсон [ег). Течение вдоль образующей прямого цилиндра с произвольньги поперечным сечением исследовано Дж. К.
Куком [м) посредством рааложевия в ряд Блааиуса, а также приближенным методом Польгауаена. Общий случай осесимметричного пограничного слоя на теле вращения с контуром, зависящим от текущей длины з, в частности на круглом цилиндре и конусе, рассмотрен Р. Ф. Пробстейном и Д. Эллиотом [м). Выяснилось, что в таких течениях с градиентом давления поперечная признана действует как дополнительный благоприятный градиент.
давления, способствующий повышению касательного напряжения на стенке и поэтому аамедляющий отрыв пограничного слоя. $2. Приближенные решения для осесимметричных пограничных слоев Течение в начальном участке трубы 1. Приближенный метод расчета пограничиых слоев на невращаю-. щихся телах вращения. Приближенный метод решения уравнений стационарного плоского пограничного слоя, подробно изложенный в главе Х, может быть распространен также на осесимметричные пограничные слои.
Для пограничного слоя на неподвижном теле вращения, обтекаемом в осевом направлении, приближенный способ расчета впервые был указан К. Б. Милликеном ['4). Несколько позже С. Томотика [шг), [шз[ распространил метод Польгаузена, рассмотренный в главе Х для плоской задачи и основанный на предположении, что распределение скоростей в пограничном слое аппроксимируется полиномом четвертой степени, на осесимметричную задачу. Мы изложим здесь приближенный расчет осесимметричного пограничного слоя в той форме, которая была дана Г. Хольштейном и Т. Боленом для плоской задачи и затем распространена Ф. В. Шолькемайером [зз) на осесимметричную задачу.
Уравнение импульсов для осесимметричной задачи выводится из уравнений (11.27а) и (11.27б) совершенно так же, как зто было сделано в 3 5 главы Ч111 для плоской задачи. Выполнив необходимые вычисления, мы получим г) цз — +(2б +б)ц +цз — — = —, 4)бз эсг бз 3 то бз 4)з 7 4)з Р где 7 (х)4 4по-прежнему обозначает радиус поперечного сечения тела вращения (см. рис.
11.6). Применив такие же рассуждения, как и в $2 главы Х, мы получим для определения величины Я = б,'/т дифференциальное 4) Мы используем здесь для толщины вытеснения 34 и толщины потериимпульсабз те же определения, какие были использованы в плоской аадаче [см. соотношения (8.33) и (8.34), в которых у означает координату, перпендикулярную к стенке). Однако для пограничного слоя на теле вращения иногда применяются несколько иные определе- 233 ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ уравнение — П вЂ” +[2+7,(н)! к+ — — —,х=7а(н). Ег 1й (Г Величина к и функции ), (х) ига (и) имеют здесь тот же смысл, как и в плоской задаче, и определяются равенствами (10.27), (10.31) и (10.32).
По-прежнему введя для сокращения записи функцию г' (н), определяемую равенством (10.34), перепишем предыдущее уравнение в следующем виде: — = —, (и'(х) — 2к — — —,); к=2(7'. (11.42) Как легко видеть, это уравнение посредством подстановки 2= аг приводится к виду бй гв У(Г' — = — Р( )' Е (г гг (11.43) (11.44) Уравнение (11.44) обладает по сравнению с уравнением (11.42) тем преимуществом, что не содержит производной Нг(г(х.
В рассматриваемом случае точке отрыва по-прежнему соответствуют значения формпараметра Л = — 12, т. е. н = — 0,1567. Однако в критической точке Л и к имеют теперь другие начальные вначения. Вычислим их для тела вращения с круглой носовой частью. В передней критической точке такого тела (х = О) мы имеем 1)ш ( — ' — „"" —,) =1; Таким образом, в критической точке начальные значения для интегральной кривой уравнения (11.42) будут (11.45) Равенство начального углового коэффициента нулю вполне понятно, так как для тела вращения в критической точке вследствие симметрии всегда (7е = О.
яия ['"), а именно: для толщины вытеснения б,(г = ~ ((г — ) (1+ — ) еу, у Г о для толщины потери импульса бв(Гт= ~ и ((à — и) (1+ — ) Еу. о Множитель (1+ у/г) под аиаком иктеграла учитывает, что скорость и иа расстоянии у от стенки относится к объему жидкости, протекающему череа кольцевую полоску ширииой су и в (1+ у/г) раз болыпему объема, протекающего вдоль плоской поверлиоств шириной 2пг.
следовательно, выражение в фигурных скобках в уравнении (11.42) становится равным г'(х) — 2м. Из таких же соображений, как и при решении плоской задачи, начальное значение формпараметра к, т. е. его значение в критической точке, определяется из условия г'(к) — 2к = О, откуда после простых вычислений находим Ло = +4>716, хо = 0~05708.
234 ОсесимметРичные и тгехмегньге пОГРАничные слои [Гл хг Как показали Н. Ротт и Л. Ф. Крабтри ['Ч, решение уравнения (11.44) можно свести к квадратуре таким же способом, как это было сделано в з 2 главы Х для плоского случая, но теперь для толщины потери импульса вместо соотношения (10.37) получается соотношение — = — 1 г20'ь д . иа,* О,яО г т ге о'э о (11. 46) Некоторые примеры расчета по изложенному способу даны в работах Ф. В.
Шолькемайера [эЧ и И. Преча ['Ч. Расчеты пограничного слоя на шаре, основанные на теоретическом потенциальном распределении скоростей и на измеренном распределении давления, выполнил С. Томотика [пи[, причем он провел сравнение полученных результатов с измерениями А. Фэйджа РЧ. Результаты других измерений имеются в работе В. Меллера ['Ч. В этой связи упомянем также о теоретических и экспериментальных исследованиях пограничного слоя в осесимметричном насадке, выполненных А.
Михалке [ю ). Течение в начальном' участке круглой трубы. Остановимся вкратце па ламинарном течении в начальном участке круглой трубы. Эта осесимметричная задача, по существу, не является задачей о пограничном слое, но она может быть решена методами теории пограничного слоя. Во входном поперечном сечении (х = О) профиль скоростей имеет прямоугольную форму, но затем под воздействием трения он постепенно вытягивается и, наконец, на некотором расстоянии от входа в трубу принимает форму параболы. Аналогичную плоскую задачу (течение в начальном участке канала) мы рассмотрели в 3 9 главы 1Х, применив для расчета дифференциальные уравнения пограничного слоя.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
