Теория пограничного слоя Г. Шлихтинг под ред. Лойцянского Л.Г. (1013691), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Эти разности обратно пропорциональны квадрату расстояния от отверстия для истечения. Для слабо закрученной струи Г. Гбртлер РЧ указал способ расчета распределения момента количества движения вниз по течению от отверстия для истечения. Этот расчет показал, что с увеличением расстояния от отверстия момент количества движения уменьшается быстрее, чем скорость на оси струи. 3. Круглая спутная струя.
Система уравнений (11.10а) и (11.10б) позволяет рассчитать также круглую спутную струю, возникающую позади тела вращения, обтекаемого в осевом направлении. Расчет производится совершенно так же, как в случае плоского спутного течения, подробна рассмотренного в з 6 главы 1Х. Пусть У есть скорость набегающего течения, а и (х, у) — скорость в спутной струе. Тогда разность и, (х, у) = У вЂ” и (х, у) (11 19) будет скоростпью спутпой струи (см. формулу (9.43)).
Эта скорость на большом расстоянии позади тела очень мала по сравнению со скоростью У и поэтому членами, квадратичными относительно и„можно пренебречь. При таком упрощающем допущении уравнение (11.10а) после подстановки в него вместо и1 выражения (11.19) принимает вид (11.
20) Зависимость скорости спутного течения и, (х, у) от продольной координаты х и от радиальной координаты у определим из условия, что сопротивление на болыпих расстояниях позади тела, вычисленное по импульсу спутной струи, не должно зависеть от координаты х, т. е. должно иметь место равенство $11 тОчные РешениЯ длЯ ОсесимметРичных пОГРАничных слОеВ 227 Равенство (И.22) аналогично равенству (9.45) для плоской задачи.
Подставив выражения (И.22) и (И.23) в уравнение (И.20), мы получим для определения / (т() дифференциальное уравнение (1)/')' + 2т)т/' + 4т(/ = 0 с граничными условиями /' =0 при т) =0 и /=О при т) = оо. Легко убедиться, что решением уравнения (И.24) будет '/(т)) =е-ве, (И.25) т. е. по структуре оно такое же, как и решение (9.48) для плоской задачи. Следовательно, скорость спутного течения равна С 1 1„((„уэ1 и (, у) = П- — ехр ( — 4 "—" ) . х 1 4 тх Постоянную С следует определить из соотношения (И.21) для сопротивления. Для нее получается выражение йе С= яс(стив 32 где ск, есть коэффициент сопротивления, отнесенный к лобовой площади тела вращения, а 1то = (/ с(/т — число Рейнольдса для тела вращения. Таким образом, окончательно для скорости спутного течения получаем формулу (Г 33 ( х ) (И.26) Распределение скоростей, определяемое формулой (И.26), изображено на рис.
9.И. 4. Пограничный слой на теле вращения. С практической точки зрения большую важность представляет пограничный слой на теле вращения, обтекаемом в . направлении оси вращения. Уравнения пограничного слоя для такой ,т' осесимметричной задачи были составлены Э. Больтце [е). Введем криволинейную систему координат (рис. И.6), причем координа- тг г/х) ту х будем измерять вдоль дуги меридиана тела вращения, начиная от критической точки, а координату у — по нормали к поверхности тела.
Контур тела пусть задан зависимостью г (х) радиуса сечения, перпендикулярного к оси вращения, от координаты х. Предположим, что этот контур нигде не имеет острых выступов, следовательно, производная с(тгlс(хт не принимает очень больших значений. Пусть, далее, толщина пограничного слоя везде значительно меньше радиуса тела вращения, т. е. 6 (( г. Составляющие скорости, параллельную и перпендикулярную к стенке, обозначим соответственно через и и Р, а скорость потенциального течения — через (/ (х). Как показал Э.
Больтце, уравнения пограничного слоя в принятой системе координат имеют следующий вид: Рве. !1Л. Система воорввват вля ло- траввтвото слоя ва теле врамеввя. ди ди ди 1 др дти — +и — -) Р— = — — — +т— д1 дх ду р дх дут д (иг) д (ог) дх ду (И.27а) (И.27б) 15е 228 ОсеснмметРичные и трехмерные пограничные слОи 1гл. х1 причем граничными условиями являются 'и = и = 0 при у = 0; и = сг'(х, 1) при р = оо. (11.28) Мы видим, чтое уравнение движения для направления х остается таким же, как и для плоской задачи. Оценка порядка величин членов, входящих в уравнение движения для направления у, показывает, что величина градиента давления в направлении, перпендикулярном к стенке, имеет порядок др из,' — — 1 ° ду г Следовательно, величина разности давлений на внутреннем и внеп1нем краях пограничного слоя имеет такой же порядок, как и толщина пограничного слоя 6, а потому в рассматриваемой задаче по-прежнему можно считать, что перепад давления др/дх потенциального течения передается без изменения внутрь пограничного слоя.
В этом параграфе мы рассмотрим только стационарное обтекание тела вращения, поэтому для интегрирования уравнений (11.27а) и (11.276) целесообразно ввести функцию тока ф (х, у). Легко видеть, что мы удовлетворим уравнению неразрывности (11.27б), если выберем функцию тока так, чтобы составляющие скорости и и и были равны соответственно 1 (д (фг) дф и= — ' г ду ду 1 д(фг) дф 1 Ыг и — — — — — — — —— ч ). г дх дх г дх (11.29а) (11.29б) Подставив эти выражения и и п в уравнение (11.27а), мы получим дзф Ш 1дзф — 11 — +т '— дуз дх дуз ' причем граничными условиями будут р=О, — =О дф ду )дф ' — = ег' (х) ду (11.30) при у=О; при у= сю. з) уравлеккю неразрывности можно фувкцкк тока: 1 дф и=— г ду' удовлетворять также посредством сле 1 д1р с=в г дх Э.
Больтце использовал такую функцию тока для расчета кестацкокарпого осескмметркч- ного пограккчпого слоя, см. 1 2 главы ХУ. Для расчета пограничного слоя на произвольном теле вращения поступим так же, как это было сделано в з 3 главы 1Х для пограничного слоя на цилиндрическом теле с произвольным поперечным сечением. А именно, разложим скорость потенциального течения сг (х) в ряд по степеням х, а функцию тока представим в виде аналогичного ряда, но с коэффициентами, зависящими от расстояния у от стенки (ряд Блазиуса). И теперь можно так подобрать эти коэффициенты-функции, чтобы они не зависели от параметров, определяющих рассматриваемую частную задачу.
Иными словами, можно сделать коэффициенты-функции универсальными и вычислить их раз навсегда. Приведем в кратких чертах такое рептение уравнения (11.30), следуя изложению Н. Фресслинга (зт). 1 11 точные Решения для ОсесимметРичных пОГРАничных слОеВ 229 Пусть контур тела задан рядом г(х) = г,х+ гзх'+ гзх' +..., (И.31) а скорость потенциального течения — рядом ст (х) = изх + и,х' + изхз + (И.32) Введем вместо координаты у, измеряющей расстояние от стенки, безразмерную координату = ~'Ъ (И.ЗЗ) Функцию тока представим по аналогии с рядом (И.32) в виде зу (х, у) = 1гг — (изх71 (31)+2изх313(ц)+зизхзгз (т)) -~-4и хзуз (31) +...) (и 34) 53+ — лз гаиз гзиз гзиз изз 55+ — 155+в т! и5 и!и5 гзиз Гзиз Уз+ — йг+ з гзиЗ г'из азиз гззиз + — Рз+— изиз гзиз из !31+ 3' "3+ — ' 13+ ',азиз гзиг ТВТ5и1 Тзиз Т5и5 ДЗ+ 3 РЗ+ — 51+ ЗЗ ) г)из Тзиг (И.36) Подставив выражения (И.31), (И.32), (И.35) и (И.36) в уравнение (И.ЗО), предварительно умноженное на г, и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях х, мы получим систему дифференциальных уравнений для определения коэффициентов-функций )1, уз, ЬВ,...
Первые три уравнения этой системы имеют вид а=-и+ ~ (~'-~) д," = — 1зуз+ 2~1у,' — 2Я — 1, (И.37) йз' = — 115""+ 20~в-21153 — —, Яз. Граничными условиями будут следующие: все функции и их первые производные равны нулю при 3) = 0; 1, 1, 1 1;=1, у,'= —, д,'= —, аг'= —, все осталь- 2' 5 3' г 7' при 3)= оо. ные первые производные равны нулю Первое из уравнений (И.37) тождественно совпадает с уравнением (5.47), полученным в $ 2 главы У для пространственного течения в окрестности критической точки 1).
Уравнения, определяющие коэффициенты-функции при членах х' и х', решены Н. Фресслингом в цитированной выше работе. 1) В атом легко убедиться. если учесть, что ч = Дггй и а711йч = йрй~» (ряд Блазиуса). Следовательно, составляющей и скорости будет и= изб;+ 2изх'~;+Зизхзг;+4и,хзг;+ ..., (И.35) где штрих означает дифференцирование по 31.
Для того чтобы козффициентыфункции Л (31), 73 (3)),... не зависели от параметров, определяющих рассматриваемую частную задачу, т. е. от и„из,... и от г„г„..., представим их в виде следующих сумм: 230 Осесимметричные и трехмерные погРАничные слОи 1гл. хг Полученные значения даны в таблице 11.2. Следующие десять коэффициентов-функций при члене х' вычислены Ф. В. Шолькемайером (вс). Зависимость первой проиаводной 7; от ц изображена на рис.
5.10 (1' — = ф'). Т а 6 л и ц а 11.2 Значения коэффициентов-функций ряда Блаэиуса для расчета пограничного слоя на теле вращения. По Фресслингу [вг) А; 0,0 0,0 0,0 0,0255 0,03 24 0,0241 0,0051 — 0,0195 0,0 0,0 0,1896 0,34 00 6,4535 0,53 34 0,5842 0,0 0,0 /[=0,9277 Юз = 1,0475 Ь~ = 0,0448 г1 = 0,9054 Ь," =0,0506 й1=0,1768 71= 0,0291 д1 = — 0,0244 — 0,0049 -0,0096 — 0,0140 — 0,0176 — 0,0204 0,0058 0,0107 0,0137 0,0134 0,0096 0,1612 0,2838 0,3709 0,4270 0,4576 — О, 0447 — 0,0665 — 0,0819 — 0,0897 — 0,0899 0 0025 — 0,0064 — 0,0156 — 0,0234 -0,0287 — 0,0310 — 0,0304 — 0,0275 — 0,0232 — 0,0184 0,46 83 0,4645 0,4515 0,4335 0,4139 — 0,0222 — 0,0229 -0,0226 — 0,0212 — 0,0192 — 0,08 38 — 0,0733 — 0,0605 — 0,0474 — 0,0352 0,3952 0,3787 0,3652 0,3549 0,3473 — 0,0167 — 0,0139 — 0,0111 — 0,0085 — 0,0062 — 0,0249 — 0,0168 — 0,0109 -0,0067 — 0,0040 — 0,0137 — 0,0097 — 0,0065 — 0,0042 — 0,0025 0,3420 0,3385 0,3363 0,3350 0,3342 0,3338 0,3336 0,3334 0,3334 0,3334 0,3334 0,3333 — 0,0044 — 0,0029 -0,0019 — 0,0012 — 0,0007 0,0035 0,0022 0,0013 0,0007 0,00 04 0,0002 0,0002 0,0000 — 0,0022 — 0,0012 — 0,0006 — 0,0003 — 0,0001 — 0,0015 — 0,0008 — 0,0004 — 0,0002 0,0001 — 0,0004 — О, 0002 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 П р и м е р: ш а р.
Применим изложенный метод к расчету пограничного слоя на шаре, причем так же, как и в ранее рассмотренном случае обтекания круглого цилиндра (9 3 главы 1Х), положим в основу расчета теоретическое потенциальное распределение скоростей. Для шара радиуса Я, на который набегает потенциальное течение со скоростью У, теоретическое потенциальное распределение скоростей определяется формулой П (х) = — У з[п — = — У з[п ф.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
