Теория пограничного слоя Г. Шлихтинг под ред. Лойцянского Л.Г. (1013691), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Точные решения для осесимметричных пограничных слоев 1. Вращательное движение жидкости над неподвижным основанием. В главе Ч мы рассмотрели течение, которое возникает вблизи диска, вращающегося в покоящейся жидкости. С этим течением сходно течение, возникающее вблизи неподвижной плоской стенки в том случае, когда на большом расстоянии от стенки происходит вращение жидкости с постоянной угловой скоростью (рис. 11.1). Такой случай был исследован У.
Т. Бедевадтом [з). При вращении диска в покоящейся жидкости (см. 1 2 главы Ч) главный эффект заключается в том, что в тонком вовлеченном во вращение слое вблизи диска жидкость отбрасывается наружу вследствие действия центробежных сил. Взамен этой жидкости, оттекающей наружу в радиальном направлении, к диску прнтекает жидкость в осевом направлении. Аналогичный эффект, но с переменой направления движения жидкости возникает в случае вращения жидкости над неподвижным основанием. $11 точные Решения для Осесимметричных погрдничных слоев 219 ди ди гв 1 др и — +ге — — — = — — — +и ( дг дх г р дг до до ио дао д д + д+ (да д ( диг дж 1 др и — +иг — = — — — +т ( дг да р да ди и дм — + — + — =О.
дг г да дам 1 дж даог т — + — — + — ~ дга г дг даа (11.1а) (11.1б) (11.1в) (11,1г) Теперь для частиц жидкости, находящихся на большом расстоянии от стенки, центробежная сила и радиальный градиент давления взаимно уравновешиваются. Для частиц же жидкости, находящихся вблизи стенки, окружная скорость вследствие торможения понижена, поэтому здесь центробежная сила значительно уменьшена, между тем как направленный внутрь радиальный градиент давления остается таким же, как и на большом расстоя- г нии от стенки. В результате вблизи стенки вовникает направленное внутрь радиальное течение, которое в свою очередь вызывает, вследствие условия неразрывности, восходящее течение в осевом направлении -гто (рис.
11.1). Такое течение, возникающее в пограничном слое и имеющее совсем другое направление, чем внешнее течение, будем называть в дальнзйшем вторичным течением. Впервые вторичное течение было ис- и следовано Э. Грушвитцем [ат) в криволинейном канале. Вторичное течение, возникающее при вращении жидкости над неподвижным основанием, легко наблюдать в чашке чая.
Путем сильного по- Р о. Ыл. врад1ате ьяое движеиие жидкое яад веяодвижвмм оеиоваиием; и, е, и — ооотавляю- мешивания ложкои чаи приводится жие окорооти ооотвегетвейко в радвальяам, окво вращательное движение, после ртжиом и ооевом кадравлевии. Волили ливка окртжиая окорооть вследствие трения ватормочего ложка вынимается из чашки и жеиа, в ревтльтчте воаиикает вторичиое тече- жидкость предоставляется самой се- ~' р' ' ~авиель"' вягтрь диок' бе. Через короткое время вблизи дна чашки возникает радиальное движение, направленное внутрь и ясно видимое благодаря чаинкам, собирающимся в середине дна чашки. Для аналитического исследования рассматриваемой задачи воспользуемся цилиндрическими координатами г, ф, з (рис.
11.1). Плоскость з = О совместим с неподвижной стенкой. Будем считать, что на большом расстоянии от стенки жидкость вращается как твердое тело с угловой скоростью ео. Составляющие скорости в радиальном, окружном и осевом направлениях обозначим соответственно через и, Р, ш. Вследствие осевой симметрии все производные по ф в уравнениях Навье — Стокса выпадают. Решение,вкоторое мы сейчас получим, будет точным решением уравнений Навье — Стокса, так как те члены этих уравнений, которые исчезли бы при переходе к уравнениям пограничного слоя вследствие упрощающих допущений, выпадают здесь сами собой.
Совершенно такое же положение мы имели и при решении задачи вращения диска в покоящейся жидкости. Уравнения Навье — Стокса (3.36) и уравнение неразрывности при- нимают в условиях настоящей задачи следующий вид: 220 Осесимметричные и трехмерные пОГРАничные слОи [Гл. ху Граничными условиями будут и=О, О=О, и =0 при в=О; (11.2) и=О, о=гв при з= оо. Так же, как и при исследовании вращения диска в покоящейся жидкости (з 2 главы У), введем вместо д безразмерную координату (11.3) а для составляющих скорости возьмем следующие выражения: и = гве" (ь), и = гвь (ь), й = )ствах (ь). (11.4) На большом расстоянии от стенки течение происходит без трения, поэтому для радиального градиента давления мы имеем здесь выражение 1 др Ут р дг г или, если учесть, что 1г = гв, 1 др — — = гвз. р дг (11.5) Решая задачу в рамках теории пограничного слоя, примем, что градиент давления (11.5) существует и в слое жидкости вблизи стенки, где проявляет Щ д~ нее па аппо непроданное к аао драгоенон р о, родоопаное йпп~абленое свое действие трение.
Подставив выражения (11.4) и (11.5) в уравнения (11.1а, б, г), мы получим соверпуенно так же, как и в $ 2 главы 41, следующую Рно. 11Л. Раопределенме онороотей н пограннчном слов, образуюШемоя прн аращеннн нмдноотн вблизи неподзнюного оонозання 1йормулы 111.4) н табднпа 11.!Ь По Вбдеаадту 1Н. Рно. 11.3. Венторная диаграмма горизонтальной еоотааляюыей онороотн н нограннчном слое, образуююемоя прн вращении нидяоетн аблнзн неподзнюного оопоаання.
По Бедезадту 4 1] ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ ДЛЯ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ПОГРАНИЧНЫХ СЛОЕВ 221 Т а 6 л нца 11.1. Значении функций и, 6, Н, определяющих распределение скоростей црн вращательном движении жидкости над неподвижным основанием. Но Дж. 8. Пндалу [и1) 1) 7,0 7,5 8,0 8,5 9,0 9,5 10,0 10,5 11,0 11,5 12,0 12,5 П По иичиоит сообщению К.
Мииоапоа. систему уравнений: г"а — 6а+ Нг*' — Г" + 1 =- О, 26Р+Н6' — 6"= О, 2г'+ Н' = 0 (11.6) с граничными условиями Г=О, 6=0, Н=О прн 9=0; г'=О, 6=1 при Ь= со. (11.7) Что касается градиента давления в направлении з, то, если подходить к решению задачи с точки зрения теории пограничного слоя, его следует принять равным нулю. Но можно также определить градиент давления из уравнения (11.1в) после вычисления составляющих скорости и и и; тогда мы получим точное решение уравнений Навье — Стокса. Систему уравнений (11.6) при граничных условиях (11.7) У.
Бедевандт [е) решил путем представления функций г', 6 и Н в виде степенных рядов в окрестности точки ь =- 0 и в виде асимптотического разложения для ь = со. Это решение потребовало довольно кропотливых вычислений. Впоследствии оно было улучшено Дж. Э. Нидалом в неопубликованной работе. Найденные им значения функций г', 6 и Н даны в таблице 11.1 и графически изображены на рис. 11.2.
Кроме того, на рис. 11.3 дана полярная диаграмма, изображающая изменение результирующей горизонтальной скорости, представляющей собой геометрическую сумму составляющих и и и. Угол между результирующей горизонтальной скоростью и окружным направлением зависит только от высоты над неподвижным основанием. Векторы яа рис. 11.3 показывают своим направлением значение етого угла для разных высот Ь. Мы видим, что отклонение результирующей горизонтальной скорости от окружного направления движения жидкости на болыпой высоте больше всего у стенки; оно составляет здесь 50,6' и направлено внутрь. 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0 6,5 0,0000 — 0,3487 — 0,4788 — 0,4496 — 0,3287 — 0,1762 — 0,0361 0,0663 0,1227 0,1371 0,1210 0,0878 0,0499 0,0162 О, 0000 0,3834 О, 7354 1,0134 1, 1924 1,2721 1,2714 1,2182 1,1413 1,0640 1,0016 0,9611 0,9427 0,9407 О, 0000 0,1944 0,6241 1,0987 1,4929 1,7459 1,8496 1,8308 1,7325 1,5995 1,4685 1,3632 1,2944 1,2620 — 0,0084 — 0,0223 — 0,0268 — 0,0243 — 0,0179 -0,0102 — 0,0033 0,0018 0,0047 0,0057 0,0052 0,0038 0,0000 0,9530 0,9693 0,9857 0,9991 1,0078 1,0119 1,0121 1,0099 1,0065 1,0031 1,0003 0,9984 1,0000 1,2585 1,2751 1,3004 1,3264 1,3477 1,3617 1,3683 1,3689 1,3654 1,3601 1,3546 1,3500 1,3494 222 ОсесимметРичные и тРехмеРные ПОГРАничные слОи [гл хт На высоте ь = 4,63 получается наибольшее отклонение наружу, равное 7,4'.
Следовательно, наиболыпая разность направлений результирующей горизонтальной скорости около стенки и на высоте над нею достигает 58'. Примечательно также, что осевая составляющая скорости и) зависит только от высоты ~, но не зависит от расстояния г от оси вращения, причем всюду ш ) 0„ т. е. везде происходит восходящее движение.
Как уже упоминалось, это восходящее движение возникает потому, что вблизи стенки течение, вследствие выпадения из игры центробежных сил, направлено по радиусам внутрь. На большой высоте восходящее течение, как показывает рис. 11.2, затухает„ так как там происходит радиальное движение жидкости наружу. Однако в целом в радиальном направлении преобладает движение жидкости внутрь, т. е. к оси вращения. Полное количество жидкости, протекающей по направлению к оси вращения 4ерез поверхность цилиндра радиуса г[, равно О=2 В!) 'з*-2 В'Уаг~г)())з)= — зтУ и)) ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
