Теория пограничного слоя Г. Шлихтинг под ред. Лойцянского Л.Г. (1013691), страница 53
Текст из файла (страница 53)
202). 3. Из уравнений (10.31) и (10.32) определяются толщина вытеснения 61 и касательное напряжение то на стенке (таблица 10.2). 4. Из уравнения (10.24) определяется толщина пограничного слоя 6 (х). 5. Наконец, из уравнения (10.22) вычисляется распределение скоростей. Если скорость 1)' потенциального течения и ее производная (г()'Ях даны в готовом, т. е. подсчитанном, виде, то опытному вычислителю с помощью логарифмической линейки для всего расчета требуется около двух часов времени. Квадратура.
А. Вальц Ре) показал, что интегрирование уравнения (10.36) можно с хорошим приближением свести к квадратуре. В самом деле, функция г' (к) мало уклоняется от прямой 4 м сРАвнение НРивлиженного РАсчетА с точными Решениями 205 Введя в это соотношение формпараметр к, определяемый равенством (10.27), и сделав подстановку х (10.38) г'(х) = У'Ох, мы получим (10.39) Решение этого дифференциального уравнения дано в работе Р! и имеет вид (10.40) Выполнив интегрирование при заданном формпараметре к (х), мы получим внешнее течение П (х).
В частности, для к = сопз$ мы будем иметь (10.41) (7 (х) хо,л-зх В этой связи см. также 9 6 настоящей главы. й 3. Сравнение приближенного расчета с точными решениями 1. Продольное обтекание плоской пластины. Для продольного обтекания плоской пластины способ Польгаузена сводится, как следует иа уравнения (10.22), и приближению, указанному в третьей строке таблицы 10.1. В этом легко убедиться также непосредственно из уравнения (10.36). В самом деле, в рассматриваемом случае У(х) = У, У = О, поэтому к = Л =0 и, на основании уравнения (10.36), 88 Г (О) 0,4698 Отсюда, имея в виду, что начальное значение 2 (при х = О) равно нулю, находим у 0,4698х У или бз = 0,686 ~/— в полном соответствии с результатом, указанным в таблице 10.'1.
Сравнение параметров пограничного слоя, полученных путем приближенного расчета и путем точного решения, дано в той же таблице 10.1. Мы видим, что совпадение получается удовлетворительным. 2. Плоское течение в окрестности критической точки. Для плоского течения в окрестности критической точки, при котором скорость потенциального течения равна У (х) =- П'х, точное решение дано в 9 2 главы У.
Из этого решения для толщины вытеснения, толщины потери импульса и касательного напряжения на стенке получаются значения, указанные в таблице 10.3. 206 пРиБлиженные РешениЯ УРАВнений пОГРАничнОГО слОЯ 1Гл. х Т а б л и ц а 10,3. Сравнение параметров пограничного слоя плоского течения в окрестности критической точки, полученных путем приближенного расчета и точного решения с,1/— е2 1/ + 1/~ е! Н!2 =— Е2 Приближенный расчет по Польгауаену Точное решение 0,641 0,648 0,278 0,292 1,19 1,234 2,31 2,21 Приближенный расчет приводит к следующим результатам.
Толщина потери импульса, как это следует из уравнения (10.27) с учетом соотношения 2о = хо((7', равна 6,1/ — =1/хо=)г 0 0770= 0 278. Для толщины вытеснения соотношение (10.31) дает значение б' 1/ 7! (хо) Угхо 0.641 Наконец, касательное напряжение на стенке, как показывает соотношение (10.32), равно то т/ т 12(ко) 0,332 Таким образом, и в этом случае результат приближенного расчета удовлетворительно совпадает с точным решением. 3.
Обтекание круглого цилиндра. К. Польгаузен в работе [22) сравнил результаты своего приближенного расчета с решением К. Хименца, полученным для круглого цилиндра посредством ряда Блазиуса, в котором были сохранены три первых члена (1 3 главы 1Х). В качестве основы для сравнения К. Польгаузен использовал экспериментальное распределение давления на поверхности круглого цилиндра, полученное К.
Хименцем. Решение К. Хименца дало для азимута точки отрыва 2р = 82,0', в то время как К. Польгаузен получил 2р = 81,5'. Что касается толщины пограничного слоя вблизи точки отрыва, то у К. Польгаузена она получилась значительно болыпе, чем у К. Хименца. Однако в целом такое сравнение нельзя считать обоснованным, так как ряд Блазиуса только с тремя членами недостаточен для получения надежного распределения скоростей вблизи точки отрыва.
Ниже мы приводим для круглого цилиндра с теоретическим потенциальным распределением скоростей сравнение приближенного расчета по Польгаузену, а также точного решения, полученного посредством ряда Блазиуса, оборванного на члене с хат (6 3 главы 1Х), с численным решением, полученным В. Шенаузром с болыпой точностью при помощи электронно-вычислительной машины непосредственно из дифференциального уравнения. Это сравнение показывает, что метод, основанный на использовании ряда Блазиуса, дает весьма высокую точность почти до ближайшей окрестности точки отрыва.
Однако в непосредственной окрестности точки отрыва результат получается не вполне точным даже в случае ряда, оборванного на члене с х". На рис. 10.7 изоображены графики толщины вытеснения 62, толщины потери импульса ба и касательного напряжения то на стенке. Мы видим, что согласно новым численным результатам В. Шенауэра (таа) толщина вытеснения, б 37 СРАВНЕНИЕ ПРИБЛИЖЕННОГО РАСЧЕТА С ТОЧНЫМИ РЕШЕНИЯМИ 207 толщина потери импульса и касательное напряжение на стенке изменяются вблизи точки отрыва несколько иначе, чем это показывают прежние расчеты.
В частности, согласно В. Шенаузру отрыв происходит несколько раньше, а именно при азимуте гр„тр — — 104,5' (вместо ~ротр = 109,5' согласно приближению Польгаузена и гр„р —— . 108,8' на основании разложения в ряд Влазиуса до члена с хп). К аналогичному результату пришел несколько раньше ~)(р А Р. М. Терилл (заа]. Сравнение распре- 01', делений скоростей и! 07, полученных в результате приближенного расчета и точного решения (рис. 10.8), показывает, что в области ускоренного внешнего течения (О < ~р < 90') совпадение получается почти полным, но после перехода через точку минимума давления оба распределения начинают отходить одно от другого, причем по мере приближения к точке отрыва расхождение быстро увеличивается. /б А а Л7 АР Я7 807 АЗ7 ДФ 4б Рд 4 Р УЯ'! Рис.
10.7. Сравнение приближенного решения по методу Польгауаена с точным решением для круглого цилиндра; 01 — толщина вытеснения; б, — толщина потери импульса; т, — касательное напряжение на стенке. Рис. 70.8. Профили скоростей для круглого цилиндра. Сравнение приближенного решения по методу Пальгаувена с точным решением. К аналогичным результатам пришел и Г. Гертлер [ь), сравнивший приближенный расчет по Польгаузену с точным решением для пограничного слоя, получающегося при внешнем потенциальном течении П (х) = Уо — ал (см. з 4 главы 1Х). Общий критерий для оценки надежности приближенного расчета пограничного слоя до сих пор не найден, и, по-видимому, его трудно найти.
Тем не менее, только что приведенные, а также другие сравнительные расчеты и измерения позволяют считать, что в области ускоренного потенциального течения приближенный способ Польгаузена дает вполне удовлетворительные результаты, но становится ненадежным в области замедленного потен- 208 привлиженные РешениЯ уРАвнении погРАничного слОЯ 1гл. х циального течения при приближении к точке отрыва.
Что касается определения положения точки отрыва, то способ Польгаузена дает возможность это сделать только с некоторой неуверенностью, особенно в тех случаях, когда точка отрыва лежит далеко позади точки с минимальным давлением 1). В свяаи с этим отметим, что приближенный расчет по Польгаузену, если Он выполняется на основе уравнения (10.36) способом изоклин,непригоден в области сильного понижения давления, когда Л ) 12 (х ) 0,095), так как кривая, изображающая зависимость к (Л) от Л, при Л = 12 поворачивает назад (см.
таблицу 10.2). В этом случае приближенный расчет по Польгаузепу не может быть продолжен далыпе значения х = 0,095. Впрочем, для Л ) 12 получаются вообще невозможные профили скоростей с отношением и/17) 1 (рис. 10.4). Если вместо уравнения (10.36) пользоваться уравнением (10.37), то указанные трудности отпадают. Из допущения, что профили скоростей зависят только от одного параметра, необходимо следует, что положение точки отрыва определяется также одним этим параметром.
Однако, как показал И. Тани [зе[, положение точки отрыва зависит и от закона изменения давления во внешнем течении. 9 4. Другие примеры приближенного расчета пограничного слоя Приведем еще несколько примеров приближенного расчета ламинарного пограничного слоя по Польгаузену, взятых из работы Г. П[лихтинга и А. Ульриха [19[. Первая группа примеров относится к обтеканию одного хо=2 Р РЮ 2[2 44 дб ДУ 42 + х Ркс. 10.9.
теоретическое потенциальное распределекяе скоростей около эллиптических цилиндров с сткошеккек осей а!ь = 1; 2; 4; з црк обтекании е направлении, параллельном большой сок; А — положение точки отрыва. круглого н трех эллиптических цилиндров. Расчет пограничного слоя на эллиптических цилиндрах производился для случая обтекания ') См., например, работу Г. Б. П)убзузрз [м[.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
