Теория пограничного слоя Г. Шлихтинг под ред. Лойцянского Л.Г. (1013691), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Теорему импульсов для пограничного слоя мы уже вывели в $ 5 главы Ч111. Она является основой для приближенного способа расчета пограничного слоя, который будет рассмотрен в настоящей главе. Прежде чем перейти к изложению этого способа для общего случая плоского н осесимметричного пограничного слоя с наличием градиента давления вдоль стенки, поясним его сущность на случае обтекания плоской пластины в продольном направлении. Особенностью такого случая является отсутствие градиента давления вдоль стенки.
Кроме того, для продольного обтекания плоской пластины мы знаем точное решение уравнений пограничного слоя (1 5 главы ЧП), что дает удобную возможность для проверки эффективности приближенного способа, хотя бы в рассматриваемом частном случае. в 1. Применение теоремы импульсов к плоской пластине, обтекаемой в продольном направлении Проведем около пластины контрольную поверхность так, как это изображено на рис. 10.1.
На основании теоремы импульсов поток импульса через такую неподвижную в пространстве поверхность равен сопротивлению трения И'(х) части пластины от ее передней кромки (х = О) до сечения х. о 0 плОскАЯ плАстинА ОвтекАемАЯ В пРОдОльнОм нАпРАВлении 193 Подробности применения теоремы импульсов к продольному обтеканию плоской пластины были изложены в т 6 главы 1Х, поэтому, не повторяя выводов, напомним только,что согласно формуле (9.40) сопротивление тре- ния односторонне смоченной пластины равно И' (х) = Ьр ) и (П вЂ” и) с(у. и о (10 1) Для вычисления этого интеграла необходимо подставить в него распре- деление скоростей и (у) в сечении х. С другой стороны, сопротивление трения можно представить как интеграл от касательного напряжения т, на стенке, взятый вдоль пластины, т. е.
в виде иаиябрияаияя иаяяяхияяята 11'(х) = Ь ) т,(х) б(х. (10.2) о Сравнив равенства (10.1) и (10.2), мы по- лучам л' в' с Ы то(х)=р — ~ и(77 — и) Ыу. в=о Рис. 1Оз. К примененнаатеоремы импульсов нлл расчета пограничного слов на плоской пластине, обтекаемой в пролольЭто уравнение можно вывести также чисном направлении. то формальным путем из уравнений (7.21) и (7.22) пограничного слоя на плоской пластине. Для этого достаточно, использовав уравнение неразрывности, заменить в уравнении движения дну на — ди(дх, затем выполнить интегрирование от у = 0 до у = оо, и, наконец, учесть, что р(ди/ду)р=о — — тс. Введя в уравнение (10.3) толщину потери импульса бю определяемую равенством (8.34), мы получим или то рп-„ (10.5) 13 Г.
щлилтикг (10.4) Это уравнение н выражает собой теорему импульсов для продольного обтекания плоской пластины. Оно является частным случаем общего уравнения (8.35), выражающим теорему импульсов для плоского пограничного слоя около любого тела. Физический смысл уравнения (10.4) заключается в том, что касательное напряжение на стенке равно потере импульса в пограничном слое (в рассматриваемом случае градиент давления не дает никакой составляющей импульса). Уравнение (10.4) пока еще не содержит никаких допущений, позволяющих выполнить приближенный расчет пограничного слоя. Прежде чем перейти к выполнению этого расчета, укажем на одно соотношение между т, и 6в, которое получается из уравнения (10.4), если в последнее вместо то подставить его точное значение (7.32), равное где а = 0,332.
Выполнив затем интегрирование уравнения (10.4), мы получим х 6,= ~ — '., с(х=2сь 1 194 ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ ИГЛ. Х Перейдем теперь к выполнению приближенногэ расчета пограничного слоя, образующегося при продольном обтекании плоской пластины, используя для этого уравнение (10.3) нли (10.4). Сущность этого приближенного способа состоит в выборе подходящего выражения для распределения скоростей и (у) в пограничном слое, и притом такого, которое удовлетворяет важнейшим граничным условиям для и (у) и, кроме того, содержит один свободный параметр, например подходящим образом выбранную толшину пограничного слоя.
Этот свободный параметр определяется затем из уравнения импульсов (10.3). С целью выбора подходящего выражения для распределения скоростей используем свойство аффинности профилей скоростей в пограничном слое на плоской пластине, обтекаемой в продольном направлении. Следовательно, примем, что (10.6) где ,=1 /(1 — 1) 1ц, о (10.3) перепишем предыдущее равенство в следующем виде: и (О' — и) ду = О' 6з — а,б(7' о=-о илн 6, =- а,б. (10.
9) 6 (*) есть безразмерное расстояние от стенки, полученное делением размерного расстояния у на толщину пограничного слоя 6 (х), а функция 1 (ц) зависит только от ц и не содержит никакого свободного параметра. Именно это свойство функции г' (о)) и выражает сделанное предположение об аффинности всех профилей скоростей. Далее, с учетом граничных условий для распределения скоростей и функция 1 должна исчезать на стенке (ц = О) и должна быть равна единице для больших значений ц. Хотя все точные решения уравнений пограничного слоя показывают, что переход пограничного слоя в потенциальное течение происходит асимптотическн, тем не менее для приближенного расчета целесообразно произвести смыкание пограничного слоя с потенциальным течением на конечном расстоянии от стенки, следовательно, ввести в расчет конечную толщину пограничного слоя 6 (х). Впрочем, эта толщина не имеет какого-либо особого физического смысла и играет только роль вспомогательной расчетной величины.
После того как распределение скоростей задано уравнением (10.6), т. е. выбрано определенное выражение для функции ( (т)), можно вычислить интеграл в правой части равенства (10.3). В самом деле, выполнив подстановку (10.6), мы получим о ~ и(У вЂ” и)Ну=У'6(х) ~ у(1 — ~)ой~. (10.7) о=О э=о Теперь, имея определенное выражение для 1(т~), можно сразу вычислить интеграл в правой части равенства (10.7). Введя для сокращения записи обозначение о О плоскАЯ плАстинА. ОБтекАемАЯ В пРОдольном КАпРАВлении 195 Для дальнейших вычислений используем также толщину вытеснения 6„ определяемую равенством (8.33). Положив для сокращения записи 1 = ) (1 7)ооЧ о (10.10) мы получим (10.11) Далее, внеся в выражение для касательного напряжения на стенке распределение скоростей 7" (ц), мы будем иметь о (а) я~„,О и (10.12) где для сокращения записи введено обозначение 1о = 7" (0).
(10.13) Подставив выражение (10.12) в уравнение (10.4), мы получим с учетом соотношения (10.9), что оЬ тУ ЕЬ 61 У'а,— =р,—, или 6 — = — —. Нз Ь а=а, и„. Проинтегрируем это уравнение, имея в виду, что при х = 0 начальное значение 6 = О. Тогда в качестве первого результата приближенного рас- чета мы найдем 6 (х) = ~// — 1 )//— (10 14) Внеся это выражение 6 (х) в равенство (10.12), мы определим касатель- ное напряжение на стенке: о(х) = 1'' 2 Ф~ / а151 / У (10.15) Далее, подставив то (х) в формулу 2И'=2Ь ~ тоо(х о и выполнив интегрирование, мы найдем полное сопротивление трения пластины, смоченной с обеих сторон: 2И' = 2Ь )/2а1р, )/ ррах з (10.16) Наконец, исключив из равенств (10.11) и (10.14) толщину пограничного слоя 6, мы определим толщину вытеснения 61 = аз 1/ — ' )/ (10.17) Сравнив приближенные формулы (10.17), (10 15), (10.16) для толщины вытеснения, касательного напряжения на стенке и сопротивления с соответствующими точными формулами (7.37), (7.31) и (7.33), мы увидим, что приближенный расчет, основанный на теореме импульсов, во всех случаях совершенно правильно передает структуру точных формул, т.
е. форму зависимостей Ьы т, (х) и 2И' от текущей длины х, скорости набегающего потока У и кинематической вязкости т. Соотношение (10.5), связывающее толщину потери импульса и касательное напряжение на стенке, также 13* 196 привлиженные РешениЯ РРАвнении НОРРАничного слОЯ (гл х может быть получено путем приближенного расчета, в чем легко убедиться, выполнив простые вычисления. Числа а(, ав и р(, оставшиеся пока неизвестными, могут быть определены только после того, как функция / ((1) будет вадана в явном виде, т. е.
после того, как будет сделано специальное предположение о распределении скоростей (10.6). При задании функции 7' (т[) должны быть выполнены определенные граничные условия для профиля скоростей и (у) и, следовательно, для самой функции ~ (т[). Во всяком случае должны быть выполнены: условие прилипания, т. е. равенство и = 0 при у = О, и условие смыкания с потенциальным течением, т. е. равенство и = 67 при р = 6.
Другими гранич- ными условиями являются непрерывность дг— (' изменения касательной и непрерывность изменения кривизны профиля скоростей и (у) при смыкании последнего с потенциальным течением, т. е. соблюдение равенств й й ди дви Я) ду дув — =0 и —,=0 при у=6. Для плоской пластины обязательно также сл у овие Рие. 10.2. Распределение окороотей в д2и пограничном алое на плоской пластине, обтекаемой в продольном направлении: ((1 — линейное приближение, (в1 — кубачеокое приближение по формуле, укааанной в таблице 10.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
