Теория пограничного слоя Г. Шлихтинг под ред. Лойцянского Л.Г. (1013691), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Далее, из условий и — -- о = 0 при у = а следует, что фг=ф,"=0 при у=а. Числеввый расчет дал для А, значение )Ч =- 18,75, а для коэффвциевта С, при смыкавви решений, найденных путем подхода спереди и сзади, получилось звачевие С, =- — 0,3485, Полная картина распределения скоростей в раэличвых поперечных сечениях вачальвого участка изображена ва рис. 9.16.
э[ы видим, что параболическое распределение скоростей достигается примерно при — =0,16, тх азСо чему соответствует длина вачальпого участка гнач = 0,16а — = 0,04 [2а) йе, Сои й 10. Метод продолжения Рассмотренные в предыдущих параграфах примеры показывают, что аналитический расчет пограничного слоя в большей части случаев очень трудоемок и обычно вообще не может быть выполнен с практически допустимой затратой времени. В связи с этим в тех случаях, когда аналитический расчет не ведет к цели, возникает настоятельная необходимость найти другие способы расчета.
Для этой цели пригодны, во-первых, приближенные способы, использующие вместо дифференциальных уравнений интегральные соотношения, получаемые из теоремы импульсов и теоремы энергии. Однако такие способы (они будут подробно рассмотрены в главах Х и Х)), хотя и ведут обычно очень быстро к цели, ограничены в своей точности.
Другим способом, заменяющим аналитический расчет, является так называемый метод продолжения. Он заключается в следующем: профиль скоростей и (хо, у), заданный в сечении хо, аналитическим или численным путем продолжается на последующие сечения, расположенные вниз по течению. Приемы аналитического или численного продолжения исходного профиля основаны, как и все ранее рассмотренные решения, на дифференциальных уравнениях пограничного слоя, и поэтому в отношении своей точности они равноценны аналитическим решениям. Ограничимся пояснением метода продолжения на стационарном плоском течении. Для такого течения уравнения пограничного слоя имеют вид ди ди 1 др дзи и — +à — = — — — +т —, дх ду р дх дуз ди до — + — =О. дх ду (9.75у [9.76'у где Ие есть число Рейвольдса, составлеввое для ширины канала.
Таким образом, при числах Рейвольдса йе = 2000 и 5000 длвва начального участка, который требуется для того, чтобы в кавале возникло параболическое распределение скоростей, равна соответствевво 80- и 200-кратвой ширине канала. Следовательно, при небольшой длине канала плк при больших числах Рейвольдса параболическое распределение скоростей ве успевает развиться.
Приближенный расчет плоского течения в начальном участке канала ва основе теоремы импульсов [см. главу Х), а также многочисленные измерения распределения скоростей вплоть до достижения турбулентного состояния выполнены Г. Хавеманом в Л. Эретом ["),[м]. Течение в начальном участке трубы будет рассмотрено в $2 главы Х1. 185 мктод пгодолжкния Задача продолжения состоит, как только что было сказано, в построепии аа основании уравнений (9.75) и (9.76) профилей скоростей для всех сечений при задаином распределении давления.
Следовательно, считается заданным профиль скоростей и (х„у) в начальном сечении х = ху и, кроме того, распределение давления —,—,.'= 7(). (9.77) Требуется найти профили скоростей и (х, у) для всех х ) хю Постановка такой задачи продолжения была сделапа Л. Прандтлем уже в 1904 г. в его первой работе, посвященной пограничному слою. Однако прошло довольно много времени, прежде чем удалось найти практически удовлетворительный путь осуществления метода продолжения. Причина этого заключается в том, что профили скоростей в пограничном слое имеют около стенки особые точки. Впервые аналитическим решением задачи продолжения занялся С.
Голдстейн (м). Оп брал в качестве исходного профиля различные кривые, ао во всех случаях сходиыость рядов получалась очень умеренной, вследствие чего эти аналитические решения в целом не давали удовлетворительных результатов. Поэтому впоследствии пришлось отказаться от аналитического приема решения задачи продолжения и перейти к численным приемам. Основная идея численного метода продолжения (1'1, (м! состоит в следующем. Прежде всего, исходя из заданного профиля и (хю у), определяют соответствующее изменение скорости ди' (ху, у)/дх в направлении х, после чего, пользуясь соотношением (9.78) и(хи+Ах, у)=и(хю у)+ ' йх, строят профиль в сечении ху + Лх. Применив такой же прием к профилю и (ху + Лх, у), получают профиль и (х, + 2Лх, у) и так далее. Таким образом, задача заключается в том, чтобы по заданному профилю и (хю у) и заданному градиенту давления дрЫх найти градиент скорости ди (х„у)!дх.
Воспользуемся уравнением неразрывности и преобразуем левую часть уравнения (9.75) следующим образом: ди ди' ди ди з д У и т и — +у — =и — — и — = — ит — ~ — ) . ди ду ду ду ду ~ и ) ' Тогда уравнение (9.75) примет вид или откуда после интегрирования получим у ~1(х),у у ) иу. 'о Это равенство, имея в виду соотношение дЫду = — ди/дх, мы можем заум- нить следующим: д =ту (и ~ з ~О У ~(х)1~(У1 о й86 1ГЛ.
ГХ точные Решения уРАВнений НОГРАничнОГО слОя Наконец, выполнив операцию дифференцирования по у, мы найдем д т( д ~ г ~ д г /~х)~д~+ ~д г /(х))) . (979) о Правая часть этого равенства содержит операции дифференцирования и интегрирования только по у, следовательно, для заданного начального профиля и (хо, у) она может быть вычислена. Таким путем мы найдем значение ди (х„у)/дх и, использовав соотношение (9.78), перейдем к профилю и (хо + ггх, у) в сечении хо + Лх прн условии, что производная ди/дх остается ограниченной.
Однако из равенства (9.79) сразу видно, что такой переход к следующему сечению не приведет к результату, если скорость и где-либо внутри течения проходит через нулевое значение. Следовательно, указанный прием вычисления производной ди/дх неприменим к тем сечениям, в которых наблюдается возвратное течение. Вычисление правой части равенства (9.79) требует особой тщательности также на стенке (у = О), где вследствие условия прилипания всюду и = О. Здесь оба члена внутри квадратных скобок дают неопределенность вида 0: О, при раскрытии которой необходимо соблюдать осторожность.
Легко видеть, что функция ди/дх Остается регулярной только в том случае, если на стенке выражение дги/ду'— — / (х) квадратически исчезает. Это означает, что на стенке должно быть (дг) =/(хо) и ( з) =0 р=.о о=о Иными словами, численный метод продолжения приводит к результату только тогда, когда заданный профиль скоростей и (хо, у) удовлетворяет первым двум контурным связям (8.28). Тогда раскрытие неопределенности 0: 0 в равенстве (9.79) приводит к значению дои дд»=-о у+ дз у=о Таким образом, вторая и третья производные скорости и по у в начальном поперечном сечении при у = 0 не могут иметь произвольные значения; напротив, они должны иметь вполне определенные значения, равные соответственно /(хо) и нулю. Далее, для построения последующего профиля скоростей решающую роль играет значение четвертой производной скорости и по у при у = О.
При следующем шаге расчета новый профиль будет содержать производную д'и/ду4. Применив к этому шагу предыдущие соображения о пределах, мы увидим, что пятая и шестая производные скорости и по у при у = — 0 такя'е доля'ны удовлетворять контурным связям и что для перехода к следующему сечению решающую роль играет значение седьмой производной д'и/ду". Если исходный профиль скорости и (хо, у) задан, как это обычно и бывает, в виде таблицы или кривой, то определение высших производных по табличным значениям или графически по кривой с требуемой для расчета точностью возможно далеко не всегда.
Г. Гертлер (го) показал, что в таких случаях целесообразно развернуть функцию и (хо, у), определяющую профиль скоростей в начальном сечении х .=- х, и заданную например, в виде таблицы, в ряд по степеням у: и (хо у) = щу+ з1 у + 3' у + ' ' " гхэностные мвтоды коэффициенты которого зависят от х. Решающим обстоятельством для успеха этого приема является такой подбор коэффициентов аш чтобы оии удовлетворяли контурным связям [8.28). Трудность вычисления подобного рода коэффициентов делает предложенный Г. Гертлером способ довольно утомительным. 9 ]].
Разиостиме методы ди ди др дзи и — ]-о — = — — + —, дх иу дх дуз д (гли) д (г1о) дх ду (см. 9 1 главы Ч111). Граничными условиями будут (9.80) (9.81) и=О и о==О приу=О; и= (7 при у = оо. При плоском течении) =- О, при осесимметричном течении 1 = 1 (см. уравнения (11.27)]. Для применения разиостного метода производные, входящие в дифференциальные уравнения (9.80) и (9.81), заменяются конечнрразностными отношениями. Далее, полу- бесконечная полоса, ограниченная стенкой, прямой х = х; и подходящим образом определенной внешней границей пограничного слоя, покрывается сеткой иа двух семейств прямых, параллельных соответственно оси х и оси у (рнс. 9.17).
Пусть х == х; есть сечение пограничного слоя, в котором профиль скоростей задан. Для дальнейших вычислений существенно, чтобы расстояния 7(у в направлении у между прямыми сетки были одинаковымп. Расстояния ох в направлении х обычно также выбирают одинаковыми. Решение первоначальной задачи, т, е, решение дифференциальных уравнений (9.80) и (9.81), дало бы искомые значения во всех точках рассматриваемой области течения. В отличие от этого решение развостных уравнений может дать искомые значения только в узлах построенвой сетки, т. е. в точках пересечения проведенных прямых, параллельных соответственно оси х и оси у. ') Следующий ниже текст любезно предоставлен в мое распоряжение Ирмой Флюгге-Лотц, Р. Т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
