Теория пограничного слоя Г. Шлихтинг под ред. Лойцянского Л.Г. (1013691), страница 43
Текст из файла (страница 43)
9.8 показаны для сравнения значения кривизны профиля скоростей на стенке, вычисленные на основании равенства (9.25)(штриховая кривая), и точные значения УгасГЫе, вычисленные на основании равенства (9.23) (сплошная кривая). Мы видим, что получается полное совпадение даже несколько дальше точки отрыва пограничного слоя. Таким образом, для круглого цилиндра ряд Блазиуса, оборванный на члене хп, удовлетворяет первой контурной связи даже несколько дальше точки отрыва. Однако отсюда вовсе не следует, что оборванный ряд Блазиуса всегда в такой же мере хорошо передает и распрейо РУ" Г7л2 деление скоростей.
Соответствую- щую пповерку выполнил Г. ГертРнс. 9.6. Раслределенме скоростей а ламинарном лограничном слое на круглом цилиндре; и — аан- лер [99], использовав для этой цели экспериментальное распределение давления, найденное для круглого цилиндра К. Хименцем [ао]. Проверка показала, что незадолго до достижения точки отрыва распределение скоростей, вычисленное посредством ряда Блазиуса, начинает несколько отклоняться от точного решения, полученного численным методом. Как уже было упомянуто, в случае обтекания тонких тел для получения распределения скоростей вплоть до точки отрыва требуется взять в ряде Блазиуса значительно болыпее количество членов, чем это было сделано выше.
Однако определение дальнейших коэффициентов-функций, сверх уже вычисленных, наталкивается на очень большие трудности, которые заключаются не столько в том, что с прибавлением каждого нового члена в ряде Блазиуса увеличивается число подлежащих решению дифференциальных уравнений, сколько в том, что для вычисления коэффициентов- функций при все более высоких степенях х требуется знать коэффициенты- функции при менее высоких степенях х с все более и более возрастающей точностью. Именно это обстоятельство и ограничивает использование метода 169 течение ОкОлО цилиндРА (Ряд БлАЗиусА) Блазиуса. В этой связи упомянем, что в недавнее время Г.
Гертлер указал для распределения скоростей другое разложение в ряд, обладающее значительно лучшей сходимостью (см. $5 настоящей главы). Л. Хоуарт (вг] распространил метод Блазиуса на несимметричный случай. Однако табулирование коэффициентов-функций было сделано только для ряда, оборванного на члене х'. Н. Фресслинг Н4] применил метод Блазиуса также к осесимметричному случаю, к которому мы вернемся ниже, в главе Х1.
Экспериментальные измерения распределения давления около круглого цилиндра были выполнены еще К. Хименцем в его диссертации [ао! и положены им в основу своего расчета пограничного слоя. Измерения Хименца показали, что точка отрыва лежит при азимуте (()отр — — 81', в то время как вычисления, основанные на использовании экспериментального распределения давления, дали для этого азимута значение (р„р — — 82'. Впоследствии весьма тщательные измерения распределения давления около круглого цилиндра были выполнены О. Флаксбартом (см. рис, 1.9). Они показали, что изменение давления вдоль контура цилиндра сильно зависит от числа Рейнольдса. Прн докритических числах Рейкольдса минимум давления получается уже при (() = 70', а затем давление на всей 1() Рис.
9.9. Пэовеэка первой контурной свяви (соотношение (9.27)) для ламинарного пограничного слоя на круглом цялиндре (Рис. 9.9). Первая контурная связь выполняется даже несколько дальше точка отрыва. Рис. 9.7. Зависимость касательного напряжения на стенке круглого цилиндра от угла о при ламинарном пограничном слое. задней половине цилиндра остается почти постоянным. При сверхкритических числах Рейнольдса минимум давления лежит примерно при (э = 90', т. е. совпадает с минимумом теоретического потенциального распределения давления, и вообще вся картина распределения давления получается более близкой к теоретическому потенциальному распределению, чем при докритических числах Рейнольдса. При переходе от докритических чисел Рейнольдса к сверхкритическим, происходящем при критическом числе Рейнольдса, равном примерно Ю Р)и = 3 10', коэффициент сопротивления круглого цилиндра внезапно резко уменьшается (см. рис.
1.4), что объясняется изменением формы течения в пограничном слое — оно становится из ламинарного турбулентным (см. з 6 главы Х((П1). Ламинарный пограничный слой на круглом цилиндре был исследован также А. Томом (ьг] до числа Рейнольдса П Аг)т = 28 000 и А. Фэйджем (в] при числах Рейнольдса 5( 1))'т от 1,0 10а до 3,3 10'.
Некоторые сведения о сопротивлении давления и сопротивлении трения в области докритическнх чисел Рейнольдса имеются в работе Л. Шиллера и В. Линке (аа]. При числах Рейнольдса между 60 и 5000 позади цилиндра образуется вихревая дорожка с правильной структурой (рис. 2.7 и 2.8). Частоты отрыва вихрей в такой дорожке тщательно исследованы Г. Бленком, Д. Фуксом и Г. Либерсом, а в недавнее время — А. Рошко (см. з 3 главы 11). $70 ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ (Гл, гх 3 4.
Пограничный слой для потенциального течениЯ ю'(х) = сэ — ах" Другой класс точных решений уравнений пограничного слоя указали Л. Хоуарт 1зэ] и И. Тани [ээ]. Зти решения получаются в том случае, когда внешним течением является потенциальное течение (Г (х] = Пе — аха (э = 1, 2, 3,...). (9. 28) Ч)чевидно, что такое течение можно рассматривать как обобщение продольного обтекания плоской пластины (см.
1 5 главы ЧП), в которое оно переходнт при а = О. Л. Хоуарт исследовал простейший случай, когда и = 1, следовательно, когда течение (9.28) можно понимать как потенциальное течение в канале, одна часть которого ограничена параллельными стенками (скорость Уе), а другая часттч примыкающая к первой,— сходящимися (а < 0) или расходящимися (а > 0) стенками '). И в этом случае профили скоростей в пограничном слое не аффинны между собой. Л.
Хоуарт вводит, подобно тому как это было сделано при исследовании продольного обтекания плоской пластины, вместо у новую переменную 1 ./Пе Т,=, -,/'— 2 тх (9.29) и для сокращения записи пользуется обозначением ах хФ чх* > 0 прв замедленном, х" < 0 при ускоренном течении).
Тогда способом, аналогичным примененному в 9 3 настоящей главы для обтекания цилиндра, можно представить функ- цию тока ф (х, у) в виде ряда по степеням х с коэффициентами, являющимися функциями от у. Выполнив это, мы получим ф (х у) = У'(гота [1о (г)) — (Зх*) 11 (г)) + (Зхэ) 1г (г)) — + ° ° .]. (9.30) Следовательно, продольная скорость равна е [1е(гй (Зхэ)1[(л)+(Зхэ)э1з(э) +" ] (9. 31) Подставив это значение и в уравнение движения (9.1)'и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях х, мы получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений .для определения функций 1, (т)), 1, (и),... Первые три дифференциальных уравнения имеют следующий вид: 1е" +1е1е=О 1[" + 1с1[ — 21о1[+ 31о11 = — 1 1 1з" +1оП 11е(э+51о[з= 8 +21[ 31г1[ Граничными условиями будут 1е=1о=О 1о= 2 1з=11 — — 0 при г)=0; 1з=О при г)= 1г=-1[=0, 1 1'= —, г — А Только первое па этих уравнений нелинейное, причем оно совпадает с аналогичным уравнением для продольного обтекания плоской пластины э).
Все остальные уравнения линейные и все содержат в своих левых частях первую функцию 1е, в то время как неоднородные члены состоят из других фукнций 1 . Л. Хоуарт решил первые семь таких уравнений (до 1с включительно) и составил таблицы для 1„, 1„..., 1е. г) Если уравнение (9.28) для л = 1 записать в виде (г (х) = (ге (1 — х)Г,), то это течение можно понимать как потенциальное течение вдоль плоской стенки, начинающееся при х = О, а при х = Ь наталкивающееся на вторую стенку, неограниченную и перпендикулярную к пластине, т.
е, в этом случае мы имеем течение, аналогичное заторможен- лому течению около критической точки х = Ь, изображенному на рис. 2.15. з) Заметим, что используемая здесь независимая переменная г) отличается от аналогичной переменной в 1 3 главы ЧП присутствием множителя 112. 171 РЯД ГЕРТЛЕРА 7,б и' и бб фб б4 бб бб /б ГЗ 44 бб lб Дб бб б4 йб Рис. 9.9. Распределение скоростей з ламинарном пограничном слое лля случая знеюнего течения П(Ю = П. — пи, По Хоуарту Рой Мы видим, что н в этом случае все профили скоростей при замедленном течении имеют точку перегиба.
Расчеты Л. Хоуарта впоследствии были проверены Д. Р. Хартри ["[; полученные им результаты подтвердили правильность вычислений Л. Хоуарта. Д. К. Ф. Лей ["[ еще более точно выполнил расчеты для случая а/сге = 0,125, и при этом в особенности тщательно вблизи точки отрыва. У него получилось, что эта точка лежит при зи = 0,1198. И.
Тани [зз[ продолжил расчеты Л. Хоуарта для случаев, когда и > 1 (при а > О). Однако в своей работе он не приводит таблицу для вычисленных им коэффициентов-функций и только указывает полученные результаты для и = 2, 4 и 8. И при таких значениях и сходимость применяемого ряда недостаточна для точного определения положения точки отрыва; поэтому вблизи точки отрыва И. Тани прибегнул к методу продолжения, использованному Л. Хоуартом. 9 5. Ряд Гертлера В то время как ряд Блазиуса (1 3 настоящей главы) позволяет рассчитать пограничный слой на любом цилиндрическом теле, обтекание которого начинается с критической точки, ряды Л.' Хоуарта и И. Тани (1 4 настоящей главы) пригодны только для плоских пластин при их обтекании потенциальным течением (Г (з) = Пе — аз", причем на более или менее значительном расстоянии от критической точки или от передней кромки ила~тины сходимость этих рядов неудовлетворительна.
Вто объясняется прежде всего тем, что для выполнения граничных условий на внешней границе требуется брать много членов зтнх рядов. Г. Гертлер поставил перед собой задачу обобщить результаты своих предшественников н подобрать такие новые ряды, которые обладали бы лучшей сходимостью по сравнению со старыми рядами. Для получения своего ряда, пригодного для любой формы передней кромки обтекаемого тела, Г. Гертлер ввел следующие безразмерные переменные: х 1 Г ч= — ) (г(и) Ыи, о Ч у(Г(х) (9.32) (9 ЗЗ) х 2т ~ (Г (з) би о а функцию тока ваял в виде ф (з, у) = т [/29 б ($, г)). (9.34) Для полученных значений [, ряд (9.31) хорошо сходится в области — 0,1 ~( ии 4 ~( — , '0,1.
При замедленном течении (ии > О) точка отрыва пограничного слоя лежит при ии = — 0,12, но при таком значении ии сходимость ряда (9.31) уже не обеспечена. Для доведения своего расчета до точки отрыва Л. Хоуарт применяет вблизи этой точки численный метод продолжения (см. [ 10 настоящей главы). Профили скоростей для некоторых значений ии как при ускоренном, так и при замедленном течении изображены на рис. 9.9. 172 точные Решения РРАВнений пОГРАничнОГО слОя (ГЛ. 1Х Определив отсюда составляющие скорости и, и и подставив их в дифференциальные уравиеиия пограничного слоя (9.1) и (9.2), мы получим для определения функции Р (С, Ч) уравнение в частных производных Рччч+Ррчч+Р(~) (' — Рч) =21(Р Рзч — ~'Грчч) (9.35) где х () (с) =2 — ~ (1(х) дх.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
