Теория пограничного слоя Г. Шлихтинг под ред. Лойцянского Л.Г. (1013691), страница 39
Текст из файла (страница 39)
/ 2 Р Таким образом, мы получили дифференциальное уравнение для определения полного давления д(х, г[г). Граничными условиями будут а=р(х) при гу=О; у=р(х)+ — 'Р Юг=совах при г[г=со. Для получения картины течения в плоскости ху следует перейти от пере- менной ф опять к переменной у посредством преобразования Уравнение (8.30) сходно с уравнением теплопроводности. В самом деле, уравнение одномерного распространения тепла, например в стержне, имеет вид дТ дгТ вЂ” =а —, дг дхг (8.31) где Т есть температура, 1 — время, х — координата, измеряющая длину, и а — коэффициент температуропроводности (подробности см. в главе ХН).
Правда, уравнение (8.30), в отличие от уравнения (8.31), нелинейное, так как в него вместо температуропроводности а входит величина ти, зависящая как от независимой переменной х, так и от зависимой переменной у. На стенке, где ф = О, и = О, д = р, уравнение (8.30) имеет неудобную для исследования особую точку. В самом деле, левая часть уравнения принимает на стенке значение ду Ыр — = — ФО; дх дх 152 ОБЩИЕ СВОЙСТВА УРАВНЕНИЙ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ )ГЛ.
ЧП2 в правой же части мы имеем множитель и =- О, следовательно, дгд — = оо. д92 Существование этой особой точки внутренне связано с особым поведением профиля скоростей на стенке, обусловленным контурными связями (см. 9 3 настоящей главы), и сильно затрудняет выполнение численного интегрирования. Подробное исследование уравнения (8.30) дано Л. Прандтлем Р'1, знавшим это преобразование задолго до появления работы Р. Мизеса,но не опубликовавшим его '). Практическую проверку уравнения (8.30) выполнил Г. И. Люккерт Р) на примере пограничного слоя на продольно обтекаемой пластине. Критические замечания к полученным результатам дали Л. Розенхэд и Дж.
Симле [22). Для пограничного слоя с повышением давления уравнение Мизеса (8.30) было проинтегрирована А. Р. Митчелом н Дж. Томсоном РЧ численным методом продолжения. Наличие особой точки на стенке было введено в расчет посредством соответствующим образом подобранного разложения скорости вблизи стенки в ряд, причем были учтены контурные связи.
3 5. Теорема импульсов и теорема энергии для пограничного слоя ди ди Ю 1 чо (и — +и — — Π— ) е)у= —— де дд де ) р (8.32) ') См. примечание на стр. 79 работы Л. Правдтзя [22), а также письмо Л. Пракдтлн в журнал ЕАММ 8, 249 (1928). Полный расчет пограничного слоя для заданного тела путем решения дифференциальных уравнений требует во многих случаях столь обширной вычислительной работы, что может быть выполнен только на электронных вычислительных машинах. Это особенно ясно будет видно из примеров, которые будут рассмотрены в главе ГХ (см., в частности, 9 11). Поэтому в тех случаях, когда точное решение уравнений пограничного слоя невозможно при умеренной затрате времени, возникает необходимость применения приближенных способов, и притом иногда даже таких, которые оставляют желать лучшего в смысле точности.
Для получения приближенных способов необходимо отказаться от требования, чтобы дифференциальные уравнения пограничного слоя удовлетворились для каждой частицы жидкости, и ограничиться, во-первых, выполнением граничных условий и контурных связей на стенке и при переходе к внешнему течению и, во-вторых, выполнением только суммарного соотношения, получаемого из дифференциальных уравнений пограничного слоя как 'некоторое среднее по толщине слоя. Такое среднее дает уравнение импульсов, получающееся из уравнения движения посредством интегрирования по толщине пограничного слоя. В дальнейшем, излагая приближенные способы решения уравнений пограничного слоя, мы неоднократно будем пользоваться уравнением импульсов, которое часто называется также интегральным соотношением Кармана [21. Выведем это соотношение, причем ограничимся случаем стационарного плоского течения несжимаемой жидкости, следовательно, будем исходить из уравнений (7.10) и (7 11) и граничных условий (7.12).
Проинтегрируем уравнение движения (7.10) по у от у = 0 (стенка) до у = Ь, причем й выберем так, чтобы слой у = й лежал всюду вне пограничного слоя; мы получим 153. ТЕОРЕМА ИМПУЛЪСОВ И ТЕОРЕМА ЭНЕРГИИ В правую часть мы ввели вместо )с(ди~ду)о касательное напряжение то на стенке; поэтому уравнение (8.32) можно применять как к ламинарным, так и к турбулентным течениям, если в последнем случае под и и и понимать осредненные по времени составляющие скорости.
Далее, проинтегрировав уравнение неразрывности по у, мы найдем поперечную скорость ди о Подставив это выражение и в уравнение (8.32), мы получим Проинтегрировав по частям второй член в левой части, мы найдем л р Л А (д г д у) у д у ~ .д о=о о о Ъ (8. 32а) и уравнение (8.32а) примет вид да ди ЫО' о хо (2и — — П вЂ” — П вЂ” ) с(у= — —, дх дх дх ) р о илн — (и (П вЂ” и)) Иу (- — ) (П вЂ” и) иу =- — . д дГГ хо дх дх Р (8.326).
Так как в обоих интегралах подынтегральные выражения вне пограничного слоя равны нулю, то в качестве верхнего предела интегрирования можно взять также й — ~ оо. Кроме того, в первом интеграле можно переменить последовательность дифференцирования по х и интегрирования по у, так как верхний предел не зависит от х. Введем теперь в расчет толщину вытеснения 6, и толщину потери импульса бю определяемые (см. з 5 главы ч'П) соотношениями 6,О' = ) (Π— и) с)у (толщина вытеснения), о-о бг?Р = ~ и (У вЂ” и) с(у (толщина потери импульса). (8.34) о'-о Тогда уравнение (8.32б) примет вид (8.35) Это и есть уравнение мпульсов для плоского несжимаемого пограничного слоя.
Поскольку о касательном напряжении то не было сделано никаких особых допущений, уравнение (8.35) можно применять и к ламинарным, и к турбулентным течениям. В приведенной здесь записи уравнение импульсов впервые было выведено Е. Грушвитцем (о). Оно широко используется для приближенных способов расчета ламинарного и турбулентного пограничного слоя (см. главы Х, Х1 и ХХ11). ОБЩие сВОйстВА УРАВнений пОГРАничнОГО слОЯ 1Гл.
Чгп Аналогичным образом К. Вигхардт Р'! ') вывел уравнение энергии для ламинарного пограничного слоя. Приведем этот вывод. Умножим уравнение движения на и и затем проинтегрируем по у от у = 0 до у = Ь ) б (х). Подставив в полученное равенство вместо и его значение из уравнения неразрывности, мы будем иметь р~ [и д ив (~ д «1у) и11 Н 111у=р~ и ~ а«(у. о Проинтегрировав второй член в подынтегральном выражении в левой части по частям, мы найдем и у А ( ) д г«у)) с«у= 2 ) (11 — и ) д с(у. о 'о о Первый н третий члены подынтегрального выражения в левой части можно представить в следующем виде: Г гди дП1 1 С ( и' — — и11 — ) с(у= — ) и — (и« вЂ” (7г) Ыу. дг дг ) 2) дх Ъ о Наконец, проинтегрировав по частям правую часть и учтя равенство (7.16), получим уравнение энергии Ф 2 д ~ и(17~ и~)««у=1«~ ( д ) с«у о о (8.36) Π—" ,)' и ((7г иг) 1у о есть не что иное, как поток потери энергии, а вся левая часть равенства (8.36) дает изменение потока потери энергии на единицу длины в направлении х.
Введем в дополнение к толщине вытеснения 61 н толщине потери импульса бг толщину потери энергии б„определяемую соотношением 17«б ~ и (с1« иг),(у о (8.37) «) Значительно раньше это уравнение было выведено Л. С. Лейбоноояом; см. ого работу «Эпергетвческая форма явтогрольного условия в теории пограничного слоя«, 'Груды ЦАГИ, выл. 240 (1935) илн «Собраняо трудов«, т.
1Ч, Москва 1955.— Прим. Аерев. Здесь мы опять заменили верхний предел интегрирования у = Ь на у = оо на том основании, что вне пограничного слоя подынтегральные выражения в левой и правой частях равны нулю. Величина )г (ди/ду)«в правой части равенства (8.36) представляет собой энергию единицы объема, преобра.зующуюся в течение единицы времени вследствие трения в тепло (так называемая диссинация, подробнее см. в главе Х11).
Величина р ((7« — и«)/2 в левой части равенства (8.36) означает механическую энергию (сумму энергии давления и кинетической энергии), теряемую в пограничном слое вследствие понижения скорости течения в нем по сравнению со скоростью потенциального течения. Следовательно, величина 155 ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ ЧП1 Тогда уравнение (8.36) можно будет переписать в виде — (Ьг~бз) =2ч ~ ( д ) с(у. в (8.38) Это соотношение выражает собой теорему энергии для плоского ламинарного пограничного слоя при несжимаемом течении 1). Для того чтобы сделать представление о толщине вытеснения, толщине потери импульса и толщине потери энергии более) наглядным, вычислим их для простого линейного распределения скоростей в пограничном слое (рнс.
8.2); мы получим для них следующие значения: толщина вытеснения: 6, = — 6, 1 толщина ~~~~ри ~~~ул~~а: 6,= — 6, 1 толщина потери энергии: бз = 4 6. Рмэ. З.х. Погранлчкый«лэй с линейным р««предел«вием СКОРОСтЕй, З вЂ” «ОЛП«яла Л«» Распространение изложенного в этом параграфе гр«ккчлэгэ слоя; з, — тэлприближенного метода на осесимметричный и трех шина эь ««ке я; я, — хэлжккз потеря ммиульсэ; я,— мерный пограничные слои будет дано в главе Х1.
»элщ я лэ«эра энергий. Приближенные методы для температурного пограничного слоя будут изложены в 3 7 главы ХП, для сжимаемого пограничного слоя — в 9 4 главы ХП1 и для пограничного слоя при нестационарном течении — в главе ХЧ. ') Для турбулентного течепкя теорема энергик звпксыаается в виде следующего соотаошенкя: д з Г т ди (Нзбз)=2 ~~ дк Э р ду е Литература к главе Ч1П 1. В е к к А., Епг Веге«Ьпипд бея ОЬегеапеев 1агшпагег бгепхвсЫсЫеп ш оВе Аиввепвхгбпшпе.
В кпкге «Рйп1х!8 1аЬге бгепхв«Ы«Ьх(огясЬип8», 63 — 70, ВгаипвсЬ»че!8 1955. 2. Р а 1 )«и е г Ч. М., Б Ь а и 8. ЪЧ., 8оше арргох1шахе во1иыопв о11Ье Ьоипбвгу !ауег едпаыопя. РЫ1. Маа. 12, 865 — 896 (1931); АКС-Керогк 1314 (1930). 3. б е1 я Т Ь., АЬа11сЬе СгеакясЫсЫеп вп Кохах!сия)«бгрегп. В книге «Рйп(х!8 1зЬге бгепхясЫсЬ«(огвсЬип8», 294 — 303, Вгяипя«Ь»че!8 1955.
4. б о 1 б в х е 1 и 8., А похе оа «Ье Ьоипбвгу 1ауег едивыоав. Ргос. СашЬг. РЫ1. 8ос. 35, 338 — 340 (1939). 5. б б г х! е г Н., )Че!хегепхм!с)«!ипд е1пев бгепкясЫсЫргой!ев Ье! чогееееЬепеш Рпк1«чег1аи1. ЕАММ 19, 129 — 140 (1939); см. также 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
