Теория пограничного слоя Г. Шлихтинг под ред. Лойцянского Л.Г. (1013691), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Путем дальнейшего преобрааования уравнений (8.1) и (8.2) можно привести их к такому виду, который не содержит числа Рейнольдса. В самом деле, положив с — и /У 1 и и у"=у' Уйе= —," 1/ — "', (8.4) мы1получим вместо уравнений (8.1) и (8.2) следующие: , ди' „ди', дд' дхи' дх' ду" дх' ' ду"2 ' (8.5) —,+ — „=О ди' дол дх' ду" (8.6) с граничными условиями и'=О, и"=О при у"=О; и'=У при у" = оо. У, С7 х являются Функциями безразмерных координат и этн функции не зависят больше)от числа Рейнольдса. .Практическое применение этого закона подобия относительно числа Рейнольдса состоит в том, что достаточно выполнить для заданного тела один только расчет пограничного слоя в укаэанных безразмерных переменных, чтобы сразу же получить картину развития пограничного слоя для всех В уравнениях (8.5) и (8.6) число Рейнольдса отсутствует.
Это означает, что решения системы уравнений (8.5) и (8.6), т. е. и' (х', у") и и" (х', у"), также не зависят от числа Рейнольдса. Изменение числа Рейнольдса влечет эа собой только аффннное преобразование пограничного слоя, увеличивающее поперечную координату и скорость в поперечном направлении в 11'уКе раз. Иными словами, для заданного тела безразмерные составляющие ско- рости 144 ОБЩИЕ СВОЙСТВА УРАВНЕНИЙ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ 1ГЛ.
Ч1Н чисел Рейнольдса, при которых течение еще остается ламинарным. Отсюда, в частности, следует, что положение точки отрыва на теле не зависит от числа Рейнольдса,но угол, под которым. отходит от тела линия тока, начинающаяся в точке отрыва (с»1. рис. 7.2), с увеличением числа Рейнольдса уменьшается в отношении 1Ф Йе.
Что касается отрыва течения от тела; то он остается и при предельном переходе (тн — ь оо, т. е. при переходе к жидкости, лишенной трения. Следовательно, для тел такой формы, которая приводит к отрыву течения, теория пограничного слоя даже в предельном случае (те — ь оо дает совершенно иную картину течения, чем теория потенциального течения жидкости без трения. Сказанное еще раз подтверждает то, на что мы обратили особое внимание в з 5 главы 1«', а именно: предельный переход к жидкости, лишенной трения, следует производить не в дифференциальных уравнениях Навье— Стокса, а в решениях этих уравнений, так как иначе могут получаться результаты, лишенные физического смысла. з 2. «Подобные» решения уравнений пограничного слоя Другим весьма важным вопросом, возникающим при решении уравнений пограничного слоя, является вопрос об условиях, при которых существуют «подобные» решения.
Под «подобными» решениями мы будем понимать такие, для которых продольная составляющая скорости обладает следующим свойством: профили скоростей и (х, у) в двух различных поперечных сечениях х отличаются один от другого только масштабом координат и и у '). Следовательно, для «подобных» решений профили скоростей во всех сечениях х, перпендикулярных к стенке, можно привести в совпадение, если построить их в безразмерном виде, разделив для этого координаты и н у на соответствующие масштабы. Будем называть такие профили скоростей также аффинно-подобными профилями. В качестве масштаба для скорости и наиболее удобно взять соответствующую сечению х скорость потенциального течения 17 (х), так как тогда безразмерная скорость и (х) в каждом сечении будет изменяться от нуля до единицы.
В качестве масштаба для расстояния у следует взять некоторую величину А' (л), пропорциональную толщине пограничного слоя в рассматриваемом сечении. Следовательно, требование «подобия» сводится к тому, чтобы продольная составляющая и (л, у) скорости в пограничном слое удовлетворяла в любых сечениях х1 и хз уравнеяию (8.7) П(. 1) П( з) Одним из примеров «подобного» в указанном смысле решения уравнений пограничного слоя является рассмотренный в $ 5 главы '11!1 пограничный слой на плоской пластине, обтекаемой в продольном направлении. Масштабным множителем для и там была скорость с) набегаю)цего потока, а масштабным множителем для у — длина пропорциональная толщине пограничного слоя.
Профили скоростей, построенные в безразмерных координатах и/17 и у/д = уф' П /тх = т)„получились совпадающими для всех сечений л (см. рис. 7.7). Плоское и пространственное течения в окрестности критической точки, рассмотренные в $2 1) В советской литературе «подобные» решения называются также «автомодельными» решениями.— Прим. ред.
% 2! ° ПОДОБНЫЕ» РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИИ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ 145 главы т', также являются «подобными» решениями уравнений пограничного слоя. Вопрос о «подобных» решениях важен прежде всего с математической точки зрения. Если имеются «подобные» решения, то, как мы сейчас увидим, дифференциальные уравнения пограничного слоя, представляющие собой систему уравнений в частных производных, могут быть сведены к одному обыкновенному дифференциальному уравнению, что в математическом отношении означает, конечно, существенное упрощение. Примером такого упрощения может служить опять пограничный слой на плоской пластине, обтекаемой в продольном направлении; в самом деле, после выполнения преобразования подобия /' ц «[=у [т Проинтегрируем уравнение неразрывности путем введения функции тока Ф (х, у), т. е.
положив, что дту дту И= —, Р= — —. ду' дх Тогда уравнение движения примет вид дф дхф дф д»ф дСт д»ту — — — — — = «т' — + У вЂ”, ду дх ду дх дух дх ду» (8.9) и граничными условиями будут — =О, — =0 при у=О дф дф дх ' ду и — = «т' при у = оо. дф ду Так же, как и в $ 1 настоящей главы, перейдем к безразмерным величинам, разделив для этого все длины на некоторую подходящим образом выбранную длину Ь, а все скорости — на некоторую подходящим образом выбранную скорость (т' . Тем самым лпе введем в расчет число Рейнольдса тт' 7. Одновременно введем для поперечной координаты у безразмерный масштабный множитель д(х), следовательно, положим .т у [/ке = Еу(х) «0 г.
шннхтннг [уравнение (7.24)! мы получили для функции тока 1(т[) обыкновенное диф- ференциальное уравнение (7.28). Выясним теперь, при каких потенциальных течениях (вне погранич- ного слоя) возможны «подобные» решения уравнений пограничного слоя, причем ограничимся случаем стационарного плоского течения несжимаемой жидкости. Этот вопрос впервые был весьма подробно исследован С. Голд- стейном [«[, а затем еще раа — В. Манглером ['«). Для стационарного плоского течения несжимаемой жидкости урав- нения пограничного слоя (7.10) и (7.11), выведенные в т 1 главы т'11, при- нимают, с учетом уравнения (7.5а), следуюший вид: ди ди ~К' д»и и — „+ Р—. = Г7 — + У =, (8.8) — + — =О, дх ду причем граничными условиями будут и=-У=О приу=О и и=(7 при у=со.
146 ОБЩИЕ СВОЙСТВА УРАВНЕНИИ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ 1ГЛ. ЧП» [поперечная координата у умножена на У Яе из тех же соображений, как и в предыдущем парагафе, см. равенство (8.4)). Безразмерную функцию тока ) ($, «)) возьмем в виде (8.11) причем 0' =— д» Граничными условиями для уравнения (8.13) будут )=0,) =Оприт[=Он) =1прнт)=со. «Подобные» решения будут существовать только в том случае, если ~ н ~' не зависят от $, т. е. если правая часть уравнения (8.13) исчезает. Но тогда одновременно не должны зависеть от х коэффициенты а и в левой части уравнения (8.13), т. е. эти коэффициенты должны быть постоянными.
Это дает два уравнения для определения скорости С' (х) потенциального течения и масштабного множителя д (х) для поперечной координаты. Таким образом,.для существования «подобных» решений уравнений пограничного слоя функция тока ) (т[) должна удовлетворять следующему обыкновенному дифференциальному уравнению: ~" + а~~" + р (1 — ~") = 0 (8. 15) с граничными условиями ~ = О, ~' = 0 при т[ = 0 и ~' = 1 при») = со. (8.16г Уравнение (8.15) впервые было выведено В. М. Фокнером и Сильвией Скан [»), а его решения подробно были исследованы Д. Р.
Хартри [«). К уравнению (8.15) мы еще вернемся в следующей главе. ф (», у] ~/Йе 1 (у т[) = ьц'( Таким образом, составляющие и и и скорости будут и = — = 51 — = 5') ', дч д1 ду дч — )гй~. =У йе д, = Ь1 — „, (51») + 51а [ д5 — ~ —,, т))') где штрих у ~ означает дифференцирование по т[, а у д — дифференцирование по х. Из равенств (8.12) сразу видно, что профили скоростей будут «подобны» в указанном выше смысле в том случае, если функция тока зависит только от одной переменной»), определяемой вторым из равенств (8.10), следовательно, при условии, что зависимость ~ от $ отпадает.~НО в этом случае уравнение в частных производных (8.9) для функции тока должно свестись к обыкновенному дифференциальному уравнению относительно ~ (Ч).
Если мы теперь исследуем, при каких условиях возможно указанное упрощение уравнения (8.9), то тем самым найдем условия, которым должно удовлетворять потенциальное течение 51 (х) для того, чтобы существовали «подобные» решения. Введя в уравнение (8.9) безразмерные переменные (8.10) н (8.11)„ мы получим для ) ($, т[) дифференциальное уравнение Г+~И'+[1(1 — 1") = — И'(à —,— à —,' )), (8.13) где через а и р обозначены для сокращения следующие функции от»п "= и„,ь ( ~» ~ =- и„у' ' Ьд д С (8 14) 5 23 «подовные» Решения РРАВнений погганичного слОя 147 Теперь нам остается выяснить, для каких Ох (х) и д (х) возможны «подобные» решения. Из уравнений (8.14),мы имеем 2сс — р = — — „(д У), г следовательно, если 2а — р Ф О, то — Ф = (2сг — р)— У Ь (8.17) Далее, нз тех же уравнений (8.14) мы получаем А а — р= — дд И У или, после умножения обеих частей на У'/У, откуда после интегрирования находим ( — ")" в=8~в, (8.18) где К есть постоянная.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
