Теория пограничного слоя Г. Шлихтинг под ред. Лойцянского Л.Г. (1013691), страница 41
Текст из файла (страница 41)
(9.12) Граничные условия вытекают из усло- вий (9.3) и будут У'=0 при И=О, /' = 1, ~" = 0 прн 11 = оо. слж х Рис. 9,2. Течение в еуживаюшемея канале. И зто течение является частным случаем «подобных» решений, исследованных в общей форме в т 2 главы Ч111. В самом деле, уравнение (9.12) можно получить из общего дифференциального уравнения (8.15) для «подобных» течений в пограничном слое, если в уравнении (8.15) положить а = О, (1 = +1. Рассматриваемый частный случай являетоя одним из тех редких случаев, когда дифференциальные уравнения пограничного слоя интегрируются в замкнутой форме. Умножив уравнение (9.12) на ~" и проинтегрировав его один раз, мы получим )"2 2 (1, 1)2(~'+2) .то тогда дифференциальное уравнение для функции )' (»1) = и/(7 будет иметь вид +ш"1 17у+(17) (9.8а) ТЕЧЕНИЕ ОКОЛО ЦИЛИНДРА (РЯД ВЛАЗИУСА) 161 где а есть постоянная интегрирования.
Так как при т) -4- со производные /' =1,/" =О, то а =О и поэтому и = )/ з (/' 1) (/' + 2)' Проинтегрировав это уравнение, мы найдем н 3 ( л/' 2 .) )/(/ 1)9(/ +2) ' причем аддитивная постоянная интегрирования опять равна нулю, так как согласно граничным условиям /' = 1 нри т) = ос.
Полученный интеграл может быть вычислен в замкнутой форме и равен т)=1 2 (Аг $Ь вЂ” АгйЬ |,г — ~ (' 2+/' /'= —,=31Ьг( ~ +1 146) (9.13) Преобразованию (9.10) можно придать другой вид, если ввести полярный угол д = у/х и подставить /) = 2ягбг, где г есть радиальное расстояние от источника; тогда мы получим - (а (9.14) Г 4Г, хр' и Распределение скоростей (9.13) изображено на рис.
9.3. Примерно прн т) = 3 пограничный слой смыкается с потенциальным течением. Следовательно, толщина пограничного слоя равна дл йл 4Р «49 вфла 6=3х~/ —, Рис. 9.9. Распрепелеине сноростеа и ламинарном пограничном слое при течении и суимеаюшемся пенале. т. е. и здесь она одного порядка с величиной 1/)г йе. Приведенное выше решение впервые было дано К.
Польгаузеном (99). Как уже было сказано в п. 12 $2 главы т' (стр. 108), течение в расширяющемся канале также является, согласно Г. Хамелю, точным решением уравнений Навье — Стокса. Некоторые численные результаты этого решения представлены на рис. 5.14. См. в связи с этим работу Б. Л. Ривза и Ч. Дж. Киппенхана (еаа).
в 3. Течение около цилиндра (ряд Блазиуса) Рассмотренные выше «подобные» решения уравнений пограничного слоя охватывают сравнительно узкий класс течений, который почти полностью исчерпывается приведенными примерами продольного обтекания плоской пластины, плоского и осесимметричного течений вблизи критической точки, течения около клина и течения в суживающемся канале. Способ расчета пограничного слоя для общего случая двумерного течения около цилиндрического тела с осью, перпендикулярной к направлению течения, впервые был дан Г.
Блазиусом (4). Впоследствии этот способ был 41 Г. Шлиттннг или, после решения относительно /' = и/П и замены АРФЬ)г'2/3 его значением 1,146, 162 ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИИ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ [гл. Гх усовершенствован К. Хименцем Р'! и Л. Хоуартом [г'[. Следует различать два случая поперечного обтекания цилиндрического тела, которые мы будем называть симметричным и несимметричным случаями; в симметричном случае поперечное сечение тела имеет ось симметрии, параллельную направлению набегающего потока на большом расстоянии от тела, в несимметричном же случае поперечное сечение такой оси не имеет.
В обоих случаях скорость потенциального течения представляется в виде степенного ряда относительно переменной х, которая означает расстояние от критической точки, измеряемое вдоль контура тела. Распределение скоростей в пограничном слое представляется таким же степенным рядом относительно х, но уже не с постоянными коэффициентами, а с переменными, причем эти переменные коэффициенты являются функциями координаты у, измеряемой в направлении, перпендикулярном к стенке (ряд Блазиуса). Л. Хоуарту удалось найти для распределения скоростей такой ряд, в котором коэффициенты-функции, зависящие от у, имеют универсальный характер, т.
е. Не зависят от величин, определяющих форму обтекаемого профиля. Это обстоятельство имеет особую важность, так как онсь дает возможность вычислить коэффициенты-функции заранее и раз навсегда. Имея таблицы этих функций, довольно просто рассчитать пограничный слой около заданного тела, конечно, при условии, что табулирование указанных функций выполнено для достаточно большого числа членов ряда. Однако применение намеченного в общих чертах способа Блазиуса сильно ограничивается тем, что для тонких тел, особенно важных в практическом отношении, требуется брать очень большое число членов ряда, болыпе, чем это возможно для составления таблиц с допустимой затратой времени. Причина этого заключается в следующем: для тонких тел„например для эллипса, обтекаемого в направлении длинной оси, или для крылового профиля, скорость потенциального течения вблизи критической точки возрастает очень резко, а дальше, позади критической точки, она изменяется на большом участке профиля незначительно, приближенное же представление такого рода функции в виде степенного ряда с малым числом членов получается плохим.
Тем не менее способ Блазиуса не теряет практической ценности для тонких тел. В самом деле, в тех случаях, когда сходимости ряда недостаточно, чтобы довести расчет по способу Блазиуса до точки отрыва, можно поступить следующим образом: рассчитать по способу Блазиуса, т. е. аналитически и притом с болыпой точностью, только ближайший от критической точки участок пограничного слоя, а затем вести расчет дальше численно, например методом продолжения. Перейдем к более подробному изложению способа Блазиуса для симметричного случая, а затем применим его к круглому цилиндру. Пустт скорость потенциального течения дана в виде ряда П (х) = и,х + игх'+ игхг + игх', + и,х',-[- и„х" +... (9.15) Коэффициенты и„и„... зависят исключительно от формы тела; будем считать их известными. Умножив ряд (9.15) на его производную, т.
е. на, ИСОс[х, мы получим для определения давления ряд — — — =У вЂ” = и х+4и1и х'+х'(6и и,+Зи ) + 1 ар аи 3 2 аг аг з + х' (8и,и, + 8иги,) + х' (10и,из+ 10и,и;+ 5и',) -т+х" (12и1ии ле 12и,из+ 12иги,)+... (9.16) Уравнение неразрывности проинтегрируем опять путем введения функции тока ф (х, у).
Для дальнейших вычислений необходимо подобрать- подходящее выражение для функции тока, а вместе с ним — и для состав- 163 твчвнив около пилиндгь <гяд вллзиз слт ляющих и и и скорости. Само собой напрашивается представить функцию тока ф (х, у), по аналогии с рядами (9.15) и (9.16), также в виде степенного ряда, но с коэффициентами, зависящими от у.
Очевидно, что если степенной ряд для У оборвать на члене х~, то ряд (9.16) для давления оборвется на члене х'з '. Отсюда следует, что если для функции 5т взять приближение в виде степенного ряда до члена хз, то функцию т)т необходимо представить рядом, доходящим до члена хтз '. Если же ряд для ту оборвать раньше, что в приложениях иногда неизбежно, то это приведет при расчете пограничного слоя к ошибке, которая, очевидно, будет возрастать с увеличением расстояния от критической точки и, следовательно, в любом случае потребует особого исследования. Наконец, подбирая ряд для тр, необходимо, как уже было сказано, взять для его коэффициентов, являющихся функциями расстояния у от стенки, такие выражения, которые не зависели бы от коэффициентов и„и„..., характеризующих профиль обтекаемого тела, так как только при соблюдении этого условия указанные коэффициенты-функции могут быть вычислены раз навсегда.
Введем вместо расстояния у от стенки безразмерную координату ч = у ф'— (9.17) Для того чтобы коэффициенты-функции т'т, т'з,... не зависели от величин, характеризующих рассматриваемый профиль, т. е. от коэффициентов ит, и„..., необходимо представить функции т';, начиная с /з, в виде следующих сумм: и1з тз аз+ ~з изиз изз тт ет+ ~т+ )тт итит и)ит изит из 3 изиЗ . из з з Й = аз+ — йз+ йз+; )з+ з Чз итие итиз изиЗ идзиз изиз , изит изит ~тз уи+ и ип+ и ~тт+ *и !зт+ изизт итизт иззитт и из изи из и,"итз изизз изин (9 19) Тогда, обозначив штрихами дифференцирование по ц, мы получим для составляющих и и и скорости следующие ряды: и = изхз); + 4изхзт';+ 6изхзтз+ 8итхтт'; + 10изхзтз+ 12иттхттт"'„+..., (9.
20) и = — ), — (иА-+ 12изх'1з+ 30изхз7з+ 56итхз/т+ ит + 90изхз~з+132итзхзз7и+...]. (9.20а) Подставив в дифференциальное уравнение движения (9.1) вместо 5т, и, о их выражения (9.16), (9.20) и (9.20з) и приравняв коэффициенты при 11* которая получается из аналогичной координаты (7.24), введенной Блазиусом для расчета пограничного слоя на пластине, путем замены величины 5т первым членом ряда (9.15), т. е. величиной итх. По аналогии с рядом (9.16), определяющим давление, возьмем для функции тока ряд т)т = ~/ — (изхтт (т0 + 4изхзтз (ц) + бизхзтз (т)) + + 8итхт~т (т)) + 10изхзтз (т)) + 12ипхтз7зт (т~) +...). (9.18) 164 ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ [ГЛ.
зХ одинаковых степенях х, мы получим для определения функций 7„[„... систему обыкновенных дифференциальных уравнений. Первые четыре уравнения этой системы имеют вид г';* — Л,[",=1+1;", 4Ц; — З1;1з — У; =1+ ~,-, 67' д — 5~ дз — ~за," = 1+ дз"', 6зззЬз — 57зЬз зззЬз 2 + Ьз" — 8 (ззз зэк). (9.21) Граничные условия для функций 7'„7„... получаются и будут ~з — 1з=О, ~э= (з — О, ~з — — дз=О, Ьз=Ь,=О при ~з=1, ~з= —, зз= Е, Ь =0 из условий (9.3) Дифференциальные уравнения (9.21) для коэффициентов-функций ззз эзз . все имеют третий порядок, и каждый нз этих коэффициентов должен удовлетворять трем граничным условиям (9.22).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
