Теория пограничного слоя Г. Шлихтинг под ред. Лойцянского Л.Г. (1013691), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Примем так же, как мы это сделали при расчете пограничного слоя на плоской пластине, что 176 точные Решения уРАВнений погРАничнОРО слОя [РЛ. 1Х так как постоянная интегрирования при ц = 0 исчезает вследствие первого граничного условия. Проинтегрировав еще раз, мы найдем А = а-йа!4. Мультипликативную постоянную интегрирования общности принять равной единице,так как распределение скоростей (9.45) уже содержит в себе свободную мультипликативную постоянную С. 10 Эту постоянную мы найдем из ус- Р ловия, что сопротивление пластины, определяемое формулой (9.46) как потеря импульса, должно быть равно сопротивлению трения той же пластины. (9. 48) можно без ограничения Рис.
9.11. Асимптотическое распределение скоростей в плоскои ламинарном спутнам течении (уравнение (9.49Д. Рис. 9.12. Распределение скоростей в ламинарном спутном течении позади плоской пластины, обтекаемой в продольном направлении. Вычислив интеграл, входящий в формулу (9.46), мы получим + е +» ~ д(у)) с(у)= ~ е-и"естли =2)/я, а потому 2И'=2 1У ЛСЬрС' )/— В то же время сопротивление трения пластины, смоченной с обеих сторон, определяется формулой (7.33) и равно 2И'= 1,3285р(7* ~, Отсюда следует, что 2С)у'я = 1,328, т. е.
С= — ' Таким образом, скорость спутного течения позади плоской пластины, 1бтекаемой в продольном направлении, равна (9.49) Распределение скоростей, соответствуюн4ее этому асимптотическому реше- нию, изображено на рнс. 9.11. Примечательно, что по форме оно совпадает с кривой Гаусса для нормального распределения ошибок. Согласно сде- 1 77 ПЛОСКАЯ СТРУЯ 177 ланному предположению формула (9.49) справедлива только для болыпих расстояний позади пластины, а именно, согласно подсчетам В. Толмина, примерно для значений х ) 31. Вычисление второго приближения асимптотического решения путем подхода сзади выполнил С. Голдстей ['в).
Р ч "н асчет спутного течения путем подхода спереди произвел как ж был о сказано, С. Голдстеин [ ) методом продолжения. Представление обо 1в всем поле скоростей в спутном течении дает рис. 9.12. Спутное течение позади пластины, а также позади любого другого тела в действительности в большей части случаев является турбулентным, а не ламннарным. Даже если пограничный слой остается ламинарным до конца пластины, как это бывает прн малых числах Рейнольдса, 10в о ьдса, примерно до [те,( 10, спутное течение все же получается турбулентным, так как в нем профили скоростей, все без исключения имеющие точку перегиба, особенно неустойчивы. Именно позтому спутное течение становится т блентн ым уже при сравнительно малых числах Рейнольдса. Турбулентное спутное течение, называемое также аэродинамической тенью, мы подробно рассмотрим в главе ХХ[Ч. з 7.
Плоская струя ,7=р ~ из в[у= сопз1. (9. 50) 12 г. шяяягяяг Другим примером течения без ограничивающих стенок, допускающим применение теории пограничного слоя, является истечение струи из отверстия. Мы рассмотрим здесь только плоскую задачу, следовательно, ст ю, вытекающую из длинной узкой щели. После истечения струя смешивается с окружающей жидкостью. Эта задача была решена Г. Шлихтингом [вв[ и У. Биклн [в). И в атом случае течение в действительности получается обычно турбулентным, а не ламинарным. Тем не менее мы подробно остановимся на рассмотрении ламинарной струи, так как турбулентная струя, которой мы займемся в главе ХХ[Ч, математически исследуется совершенно таким же способом. Вследствие трения струя захватывает с боков некоторую часть покоящейся жидкости и увлекает ее за собой.
В результате возникает течение, Ряс. влз. лсяяясряся яясся сссасяяся картина линий тока которого изображена на рис. 9.13. Введем систему координат, начало которои лежит в щели, а ось х совпадает с осью струи. Вследствие трения струя расширяется вниз по течению, в то время как средняя скорость течения уменьшается. С целью упро ени р , щ л есконечно узка, поэтому для того, чтобы количество протекающей жидкости„а также импульс имели конечные значения, скорость в щели должна быть бесконечно большой. 'Гак же, как и в предыдщем примере, градиентом давления ввр/Их в направлении х можно пренебречь, поскольку давление в струе определяется постоянным давлением ОКРУжаЮЩЕГО СТРУЮ ПОКОЯЩЕГОСЯ ВОЗДУХа.
НО тОГДа ПОЛНЫЙ ИМПУЛЬС г в направлении х не должен зависеть от координаты х, следовательно, мы будем иметь 178 ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ 1Гл. тх Для того чтобы найти подходящее выражение для распределения скоростей, следует учесть, что н теперь, подобно тому как это было при продольном обтекании плоской пластины, профили скоростей и (х, у) должны быть аффинно-подобны между собой, так как в рассматриваемой задаче.
также не имеется какой-либо характерной длины. Поэтому предположим, что скорость и является функцией от у/Ь, где Ь есть подходящим образом определенная ширина струи. Примем эту ширину пропорциональной хч,. в соответствии с чем функцию тока возьмем в виде р-х)(Ь) — х(( т) Оба неизвестных показателя р и д определим из следующих условий: 1) поток импульса в направлении х не зависит от координаты х [равенства (9.50)); 2) в уравнении (9.1) инерционные члены и член, зависящий от трения, одинаковы по порядку своих величин. Эти условия дают для определения р и д два уравнения: 2р — у=О, 2р — 2д — 1=р — Зд, откуда р=-1/3, д=2/3. Введем новую независимую переменную 1 у Ч= —— ЗттИ гтз (постоянный множитель добавлен с целью упрощения последующих вычислений).
Тогда функция тока примет вид ,~,, т ~2 Агз т(т1) следовательно, составляющие скорости будут равны 1!2 Р = — —, (1 — 2т(1'). (9. 51). Подставив эти значения в уравнение (9.1) без члена б'ИИх, который согласно предположению равен нулю, мы получим для определения функции тока 7 (т1) дифференциальное уравнение (9.52) причем граничными условиями будут (да У=О, .— =-О при у=-О; и=О при у=со ду или, после перехода к переменным т1 и 7, (9.53)' /" = О при т1 =- О; (' = О при т1 = оэ. 7'=О, Интегрирование уравнения (9.52) выполняется чрезвычайно просто. Проинтегрировав один раз, мы получим 7Ц'+ 7'™ = О.
$ = ат(, 1' = 2аР Д), Постоянная интегрирования равна нулю вследствие граничных условий. при т( = О. Получившееся дифференциальное уравнение второго порядка легко было бы проинтегрировать еще раз, если бы его первый член содержал множитель 2. Этого можно достичь посредством преобразования подобия 179 ПЛОСКАЯ СТРУЯ где а есть свободная постоянная, которую мы определим ниуке. Выполнив такое преобразование, мы приведем предыдущее уравнение к виду Р" + 2РР' = О, (9.54) здесь дифференцирование по Е Граничными причем штрих означает условиями теперь будут Р= О при 5=0 и Р'=0 при $=-оо.
(9.55) Проинтегрировав один раз уравнение (9.54), мы получим Р' + Р' = 1. (9.56) Постоянную интегрирования мы взяли равной единице на том основании, что без ограничения общности можно принять Р' (0) = 1, так как в выражение функции 1 входит, кроме Р, еще свободная постоянная а. Дифференциальное уравнение (9.56) представляет собой уравнение Риккатн и может быть проинтегрировано в замкнутой форме. Выполнив интегрирование, мы найдем Р— = — 1п — =- Аг 1Ь Р. ЛР 1 1+К 1 — Р2 2 1 — Р о -р -г -г -у () ( г г 4 Р= 1Ьз=, . (9.57) 1 — е-25 1+ е-" Наконец, подставив найденное значение Р в первое из равенств (9.51) и имея в виду, что — = 1 — 1Ь2 $ Н' мы получим ц азх — 1)з (1 1Ь2 2) 2 з (9.58) Распределение скоростей, вычисленное по этой формуле, изображено на рнс.
9.14. Остается вычислить постоянную а. Для этого воспользуемся условием (9.50), согласно которому поток импульса в направлении х не зависит от координаты х. Подставив значение и, определяемое формулой (9.58), в равенство (9.50), мы будем иметь ,Г разт(/2 ) (1 1Ь2 $)2 с)р — рази()2 6 16 3 9 '0 (9.59) Пусть поток импульса ) есть заданная для струи постоянная. Она пропорциональна избытку давления, под которым струя вытекает иэ щели.
Введя понятие иинемапьичесного импульса л/р = К, мы получим из равенства (9.59), что а=0,8255( 1 ) Обратив это решение, мы получим иско- мую функцию тока: Рис. 9.14. Распределение скоростей и плоской и круглой сзободиых струях (формулы (9.58) и (11.15)1. Для плоской струи 5 = 0,225К ) у)(тх) С; для круглой 2 =0,25(К'Пти)тл (через К и К' обозначен кинематический импульс г)р). 180 ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ [гл. тх Таким образом, распределение скоростей будет иметь вид и = 0,4543 ( — ) (1 — 1Ьз Е), Р = 0,5503 ( — ) [2$ (1 — 1Ьз $) — $Ь З), (9.60) где 5=0,2752 ( — з) з,з . Поперечная скорость на краю струи равна и = — 0550 ( —,) (9.61) (9.62) 3 8.
Ламинарный слой на границе раздела двух потоков В качестве следующего примера, иллюстрирующего возможности применения уравнений пограничного слоя, рассмотрим вкратце ламинарный слой на границе раздела двух параллельных течений с различными скоростями. Постановка задачи схематически изображена на рис. 9.15: два первоначально раздельных и невозмущенных параллельных течения, имеющих различные скорости П1 и Пю вследствие трения начинают взаимодействовать. В результате возникает распределение скоростей, покдзанное на рис.
9.15 слева наверху. Можно принять, что переход от скорости П1 к скорости О', осуществляется в тонкой зоне перемешивания и что поперечная составляющая скорости и везде мала по сравнению с продольной составляющей и. Тогда к обеим областям 1 и 11 можно применить дифференциальное уравнение пограничного слоя (9.1), причем принять, что член, учитывающий давление, равен нулю. Совершенно так же, как и в случае пограничного слоя на пластино (з 5 глава Ч11), введем безразмерную поперечную координату и функцию тона Расход струи, т.
е. количество жидкости, протекающей в струе внутри слоя толщиной в единицу, равен +» ~=р ) иду=3,3019(Хух)'~'. » Следовательно, по мере удаления от щели расход увеличивается, как и должно быть, так как струя увлекает за собой с боков покоящуюся жидкость. Расход растет также с увеличением импульса. Аналогичная осесимметричная задача, когда струя вытекает из небольшого круглого отверстия, будет рассмотрена в главе Х1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
