Теория пограничного слоя Г. Шлихтинг под ред. Лойцянского Л.Г. (1013691), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Коу. Аего. '8ос. 45, 35 — 50 (1941). 6. б г и в с Ь и 1 х к Е., Р!е хигЬи1епхе Ке!ЬипеяясЫ«Ьх 1п еЬеаег 8хгошипе Ье( РгисЬвЫя11 ип«( Ргисйапвк!е8. 1пе.-АгсЬ. 2, 321 — 346 (1931). 7. Н а г Х г е е Р. К., Оп ап едиаыоп ос«их!пд Га Ра1йпег апб Я)«ап'в арргохппаке Хгеазхпепх о11Ьеедизз!опв о11ЬеЬоипбягу !ауег. Ргос. СахаЬг.
РЫ1. 8ос. 33, Рвгк Н, 223— 239 (1937). 8. ч. К а гш а а ТЬ., ОЬег 1вш!ваге ипб ХпгЬи1еше Ке!Ьипн. ЕАММ 1, 233 — 253 (1921). Англкйсккй перевод: НАСА ТМ 1092; см. также Со!!есх. Чуогйя, т. Н, 70 — 97, Ьопбоп 1956. 9. Ь и с Ь е г х Н. 1., ОЬег б!е 1пхедгях!оп бег Р1Негепх1а181е1сЬипе ешег б1е!РясЫсЫ 1и хаЬег Р!йвв!8йе!!. Диссертация, Вег1ш 1933. Напечатана а 8сЬг1Неп сЬ шаХЬ. Яеш!пагв и. 1пв!. 1. япее«ч. МаХЬ.
»Ь х'и!Чегв!Хб! Вег1ш 1, 245 (1933). ч0. М в и 8 1 е г ЧЧ., ЬМе «вЬп1!сЬеп» Ьбвипееп бег Ргапб«1всЬеп бгепхвсЫсЫ81е(сЬип8еп. ЕАММ 23, 241 — 251 (1943). 156 ОБЩИЕ СВОЙСТВА УРАВНЕНИЙ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ !ГЛ. ЧПХ 11. ч. М ! в е я В., ВешегЬш8еп хпг Ну«)гойупаш!Ь. ЕАММ 7, 425 — 431 (1927). 12. М ! !с Ь е11 А. В., Т Ь о гп в о и 1. у., Ршйе й!Негевсе ше!Ьойя о1 во1Ы!ои оу ХЬе чоп М1яев Ьопп«)агу 1ауег ецпаНопв г«!!Ь врес!а! ге1егепсе «о сопйН!опв пеаг «Ье з1пЕп!ап«у.
ЕАМР 9, 26 — 37 (1958). (Ииеется русскин перевод и сб. «Механика», 1959, № 4 (56).) 13. )«( 1 с Ь е 1 К., В!ие е1п1асЬе АЬвсЬаЧгип8 81г СгепхвсЫсЫеп. 1пЕ.-АгсЬ. 31, 85 — 100 (1961). 14. Р г а п й ! 1 Ь., Епг ВегесЬиип8 Лег СгепхзсЫСЫеп. ЕАММ 18, 77 — 82 (1938); сы. также Сеяашше1!е АЬЬЙ18п. Н, 663 — 672; 1. Воу. Аего. Яос. 45, 35 — 40 (1941) и МАСА ТМ 959 (1940). 15.
В 1 е 8 е!в Р., Е а ах 1., Еши НЬег8ап8 чоп СгепхясЫСЫеи 1п «Не пп8евхог«е Я!гопп~п8. )«)асЬг. А1сад. !Ч!вв: Сох!!п8еп, Ма«Ь. РЬув. К1аяве, 42 — 45 (1947). 16. В о я е в Ь е а д Ь., Я ! гп р в о п 1. Н., Хохеоп «Ье че1ос!«уй!в«НЬп!Ыв ш «Ьет«аЬе ЬеЫпй а Пах р!а!о р1асе«( а!оп8 !Ье вхгеап». Ргос. СагаЬг. РЫ1. Яос. 32, 285 — 291 (1936).
17. Я с Ь г 5 й е г К., Чегъеибпп8 дог В!НегепхепгесЬипи8 хпг ВегесЬппи8«)ег1аш!нагов бгепхясЫсЫ. Ма«Ь. ХасЬг. 4, 439 — 467 (1951). 18. Я с Ь и Ь Н., СЬег д!е «аЬп1!сЬеп» Ьояав8еи бег !пвхаНовагеи 1аппиагеп 6гепгвсЫсЬ«- 8!е!СЬпп8 1п ш1«огаргеяя1Ыег Я!гоппш8. В книге «Рйп(х!8 1аЬге СгеигвсЫ«Ы1огясЬш8», 147 — 152.
ВгаппясЬ»че!8 1955. 19. Т о 11 ш ! е п )Ч., ()Ьег дав ЧегЬаКеп е1пег Я«гоппш8 1ап в ешег Чуань аш апявегев Каиб 1Ьгег Ке!Ьпп8ввсЫСЫ. В книге «Ве!г-рев«всЬг1й», 218 — 224 (1945). 20. Т е г е г ч ! п )«(., Ь ! и С. С., А Еепега1 !и!е8га! 1опп о1 !Ье Ьоппйагу!ауег запах!ои 1ог 1псошргевв1Ые Нов»ч!«Ь ап арр1№аНои хо «Ье са1си1аНои о1 !Ье верагаВоп рош! о! !пгЬп!еп! Ьоппйагу 1ауегв.
НАСА-Вор. 1046 (1951). 21. ЪЧ ! е 8 Ь а г д 1 К., СЬег ешеи Епег8!еяахг хпг ВегесЬппп8 !аш!пагег СгеихясЫсЫеп. 1вЕ.-АгсЬ. 16, 231 — 242 (1948). 22. В г о»ч п Я. Х., Я ! е»ч а г 1 з о в К., Ьаш!паг яерагаНоп. Статья и Ашша1Кеч!етч о1 Р1пЫ МесЬ. (е«). %. В. Яеагв) 1, Ра1о А1!о, Са)!!.
Апина! Не»беня, 1пс. (1969). Глава 1Х Точные решения уравнений пограничного слоя для стационарного плоского течения В настоящей главе мы рассмотрим некоторые точные решения дифференциальных уравнений пограничного слоя. Под точными решениями мы будем понимать такие, которые представляют собой полные решения уравнений пограничного слоя, безразлично, получаются ли они аналитическим или численным способом. В противоположность этому в главе Х мы рассмотрим приближенные решения, получающиеся не из дифференциальных уравнений, а из некоторых интегральных соотношений, например из уравнения импульсов или уравнения энергии, выведенных в З 5 предыдущей главы.
Сначала мы остановимся на точных аналитических решениях. Такие решения охватывают сравнительно узкий класс задач. Получение аналитических решений уравнений пограничного слоя наталкивается, как правило, на весьма значительные математические трудности, как мы это уже видели на примере продольного обтекания пластины. Подлежащие решению дифференциальные уравнения обычно являются нелинейными и в большей части случаев могут быть решены только путем разложения в ряд или же численным способом. Перепишем уравнения пограничного слоя для стационарного плоского течения вместе с граничными условиями: ди ди дн дзи и,— + и — = Г7 — + т —, 'дз ду дх дуз (9.1) ди до — + — =О, д ду (9.2) О при у = О; и = — У (х) при у = оо и=О, (9.3) дЧ и= —, ду дх 'Тогда для функции тона мы получим дифференциальное уравнение дф дзф дв дзф |Ш дзф — — — =У вЂ” +т— ду дк ду дк дуз дх дуз (9.4) '(см.
уравнения (7.10) и (7.11) и условия (7.12) в Я 1 главы Ч11). Кроме граничных'условий должен быть задан профиль скоростей и (О, у) в начальном поперечном сечении, относительно которого мы будем предполагать, что оно проходит через точку с координатой х = О. Для интегрирования уравнения неразрывности целесообразно'ввести функцию тока ф (х, у), т. е. принять, что 158 тОчные Решения уРАВнений пОГРАничнОГО слОя тгл.
тх (см. уравнение (7.18) в з 3 главы У11), причем граничными условиями будут — =О, — =-О при у=О (на стенке), дф дф ду ' дх — = 5'(х) при у= оо. д) ду з 1. Течение около клина Особенно простым классом точных решений уравнений пограничного слоя являются «подобные» решения, уже рассмотренные в з 2 главы У111 н обладающие тем свойством, что для них профили скоростей и (х, у) на различных расстояниях х от передней точки обтекаемого тела могут быть приведены в совпадение посредством соответствующего выбора масштабов для координат и и у.
Прн существовании «подобного» решения система уравнений в частных производных (9.1) и (9.2) сводится к одному обыкновенному дифференциальному уравнению. В $ 2 главы У111 мы показали, что «подобные» решения существуют в том случае, когда скорость потенциального течения пропорциональна степени текущего расстояния х, измеряемого от передней критической точки, т.
е. если ст(х) = итх . Преобразование подобия для независимой переменной у, приводящее систему уравнений (9.1) и (9.2) к обыкновенному дифференциальному уравнению, имеет, согласно формуле (8.24), следующий внд: '(9.5) Уравнение неразрывности интегрируется путем введения функции тока, которую в соответствии с формулами (8.11) и (8.23) следует взять в виде т-~-1 тР (х, у) = — у' тит х з 1(тт).
Тогда составляющие и и и скорости будут и = итх™)' (тт) = 5т)' (ц), = — У'~~ *" (1~- †„,мг) ) (9.6) Внеся зти значения и и Р в уравнение движения (9.1), сделав далее для сокращения записи подстановку (8.21), т. е. В 2»т ит =— 2 — В»1+1 и отбросив общий множитель всех членов титх» ', мы получим для 1 (т)) обыкновенное дифференциальное уравнение (9.
7) 7" + 71" + В (1 — Г") = О, (9.8) уже известное нам из з 1 главы У1Н (см. уравнение (8.15)). Граничными условиями будут ~ = О, ~' = О при т~ = О; 1' = 1 при т) = оо. Уравнение (9.8) впервые было выведено В. М. Фокнером и Сильвией Скан, а решения его позже были исследованы Д. Р. Хартри (см.
литера- 159 течение ОкОлО клинА туру к главе У1П). Результат этого исследования изображен графически на рис. 9.1. Мы видим, что для ускоренного течения (т ) О, р ) 0) профили скоростей не имеют точки перегиба, а для замедленного течения (т < О,р < О) они имеют такую точку.
Отрыв пограничного слоя происходит при р =- — 0,199, т. е. при т = — 0,091. Отсюда следует, что ламинарный пограничный слой может прилегать к телу без,отрыва только при очень малых замедлениях течения. К. Стюартсон ( ) тщательно исследовал всю совокупность решений уравнения (9.8) и обнаружил, что в области повышения давления ( — 0,199 < р < 0) существует, кроме решения Хартри, дру- а, ' (п гое решение, которому соответствует профиль скоростей с возвратным течением (см. З 6 ах главы Х). Потенциальное течение с лэ распределением скоростей О'(х) = и„х 4у возникает при обтекании клиновидного тела вблизи передней критической точки (см.
рис. 8.1). Угол, раствора этого клина равен яр и определяется формулой (9.7). Плоское течение вблизи критической точки (р = 1, т = 1), а также пограничный слой на плоской пластине, обтекаемой в продольном направлении ((1 = О, т = 0), представляют собой частные случаи обтекания клиновидного тела и в то же время частные случаи «подобных» решений. Примечателен случай, когда р = 1/2, т = 1/3.
Дифференциальное уравнение для 1 (ц) при этих значениях р и т принимает вид +И+ (1 12)=0. Произведем в этом уравнении подстановку ц=~~ 2, еч еь ' тогда мы получим для ~р (Ь) уравнение р" + 2 рр" + 1 — р" = О, которое совпадает с дифференциальным уравнением (5.47) осесимметричного течения вблизи критической точки. Это означает, что расчет пограничного слоя осесимметричного течения вблизи критической точки можно.
свести к расчету пограничного слоя плоского течения около клина с углом раствора яр = л!2. К более общему рассмотрению связи между плоским и осесимметричным пограничными слоями мы вернемся ниже, в главе Х1. Если в качестве независимой переменной воспользоваться вместо вели- чины ц, определяемой формулой (9.5), величиной 160 ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ 1ГЛ.
1Х В частном случае, когда т = О, это уравнение переходит в уравнение (7,28) для продольно обтекаемой пластины. з 2. Течение в суживающемся канале С течением около клина родственно потенциальное течение Ое(х) =— (9.9) которое также приводит к «подобным» решениям и для и1 ) 0 может быть истолковано как плоское течение в суживающемся канале с плоскими стенками (течение со стоком, рис. 9.2). Количество протекающей жидкости при полном угле раствора 2я и при высоте слоя, равной единице, составляет Ч = 2ли«. Выполнив преобразование подобия (9.10) и введя функцию тока ар(х, у) = — 1 тк1 7(т1), мы найдем составляющие и и и скорости: и=с17", и= — У Ук1 — 7'. Г Ч е л (9 11) Внеся зги значения в уравнение (9.1), мы получим для функции тока дифференциальное уравнение 7'" — /" + 1 = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
