Теория пограничного слоя Г. Шлихтинг под ред. Лойцянского Л.Г. (1013691), страница 44
Текст из файла (страница 44)
(7'(х) О з(х) с Граничные условия (9.3) для функции г" (С, Ч) прииимают вид (9.36) г"=О, Рч=О при т)=О; (9.37) Рч=1 при Ч=оо. Параметры, определяющие частвый вид рассматриваемого потевциальиого течения (( (х), входят в дифференциальное уравнение (9.35) только через посредство одного коэффициеита () (э). Этот козффициеит мо>кко представить в виде б, '(х) и' (х) чо (х) 6938) где чо( ) = и и (ч — Р 6. ЧВ (9.39) а б, (х) есть толщина вытеснения пограничного слоя, определяемая формулов (8.33). В простейшем частном случае, когда 8 (С) =.
Оэ = сопз1, получаются, очевидно, рассмотреикые в 1 1 настоящей главы «подобные» решения, для которых ()е оэкачает угол при вершине клина (рис. 8.1). Далее можно повевать, что если скорость (1 (х) внешнего течения представить в виде степенного ряда, то величину р (5) также можно разложить в ряд по возрастающим степеням с, причем коэффициеиты ряда для 8 (с) можно вычислить по заданному распределекию скоростей (7 (х). Наконец, раавериув в ряд безразмерную функцию тока Р (э, Ч), можно найти увиверсалькые, ке зависящие от частного вида рассматриваемой аадачи коаффициеиты-функции.
Эти коэффициенты-функции и были вычислены Г. Гертлером (ээ), показавшим, что новый ряд обладает лучшей сходимостью по сравнению с рядом Блазиуса '). Новый ряд поаволяет исследовать большое число случаев, для которых до настоящего времени были известиы только приближенные решения. Сравнение с результатами других точных решений показывает, что новый ряд может быть использован почти до самой точки отрыва. Решение, получаемое посредством нового ряда, иногда может быть улучшеио применением подходящего численного метода продолжения (см. 1 10 настоящей главы).
9 6. Спутное течение позади плоской пластины, обтекаемой в продольном направлении Применение уравнений пограничного слоя не связано обязательно с наличием твердых стенок. Эти уравнения могут применяться и в том случае, когда внутри потока имеется слой жидкости, в котором преобладающую роль играют силы трения. Такой случай имеет место при соприкосновении внутри потока двух слоев жидкости, текущих с разными скоростями, как это, например, происходит в спутном течении позади тела или при истечении жидкости из отверстия. В этом и следующих параграфах мы рассмотрим два примера таких течений.
В дальнейшем, при изучении турбулентности, мы вновь с ними встретимся. В качестве первого примера возьмем спутное течение позади плоской пластины, обтекаемой в продольном направлении (рис. 9.10). На задней кромке пластины оба профиля скоростей в пограничных слоях над и под пластиной сливаются в один профиль, образуя профиль скоростей спут- ного течения. Скорость этого течения в его центральной части по мере удаления от пластины уменьшается, а ширина течения — увеличивается. ') Однако большое количество числевкых расчетов показало, что сходимость нового ряда ие всегда удовлетворительна.
$73 ч с) СПУТНОЕ ТЕЧЕНИЕ ПОЗАДИ ПЛОСКОЙ ПЛАСТИНЫ Н4У/ Граница кантральнай поверхности Количество протекающей жиднасти Составляющая иннульса е направлении я АВ а ь ~ и„ар и — Ь илу ь -ь~ (и„— ) йу с рЬ ~ и„лд с ААл — рЬ ~ идйу В — рь ~ и (и,— и) Ау с АлВ, Сумма площадей граничных поверхностей равна площади контрольной поверхности Сумлла количеств протекающей жидкости равна нулю Сумма потоков импульса равна сопротивлению Размеры впадин профиля скоростей спутного течения непосредственно связаны с сопротивлением тела. Однако, как мы увидим ниже, в остальном форма профиля скоростей на большом расстоянии от тела не зависит от формы тела (с точностью до некоторого масштабного множителя); в непосредственной же близости за телом форма профиля скоростей спутного течения, конечно, определяется пограничным слоем около тела и отрывом пограничного слоя (если только он А происходит).
Зная- распределение скоростей в А спутном течении, мы можем вычислить с помощью теоремы импульсов сопротивление пластины. Для этой А цели мысленно построим около плас- В,,е В тины прямоугольную контрольную поверхность ААлВВл так, как показано на рис. 9АлО. Пусть граничная плоскость А,В„параллельная плос- и„ кости пластины, удалена от последней настолько что она всюду распо- рис.
ело. пр менение теоремы инптльсае для \ определения сопротивления продольно абтекаелагается в области невозмущенной ыай пласт ны на распределен скоростей ° скорости П . Пусть, далее, на всей контрольной поверхности давление постоянно, следовательно, силы давления не дают составляющих потока импульса сквозь контрольную поверхность. При составлении такого пото ка необходимо иметь в виду, что вследствие неразрывности через граничную поверхность А,В, жидкость должна вытекать наружу и притом в количестве, равном разности между количеством, втекающим через поперечное сечение АА„и количеством, вытекающим через поперечное сечение ВВ,. Граничная плоскость АВ не дает составляющей потока импульса в направлении х, так как на ней поперечная скорость из соображений симметрии равна нулю.
Баланс составляющих импульса в направлении х дан в следующей таблице: 174 точные Решения уРАВнений НОРРАничного слОя (гл. »х В этой таблице количества жидкости, втекающие внутрь контрольной поверхности, считаются положительными, а количества жидкости, вытекающие наружу,— отрицательнымн.
Через Ь обозначена ширина пластины. Полный поток импульса в направлении х равен в рассматриваемом случае сопротивлению И' пластины, смоченной с одной стороны. Таким образом, мы имеем И'=Ьр ~ и(У вЂ” и) с(у. Р=О (9.40) Замена в этом интеграле верхнего предела у = Ь на у = оо допустима потому, что для у ) Ь подынтегральное вырахсение исчезает. Сопротив- ление пластины, смоченной с двух сторон, равно 2И'=Ьр ~ и(П вЂ” и) ду. (9.41) Зта формула справедлива не только для плоской пластины, но и для любого цилиндрического тела при условии, что интеграл взят на таком большом расстоянии позади тела, на котором статическое давление остается невозмущенным.
При продольном обтекании плоской пластины формула (9.41) применима на любом расстоянии позади пластины, так как при таком обтекании разности давлений отсутствуют как в продольном, так и в поперечном направлении. Более того, формула (9.41) применима даже в пределах длины самой пластины; в этом случае она дает сопротивление части пластины от передней кромки до рассматриваемого места. Интеграл в формулах (9.41) и (9.40) физически означает потерю импульса вследствие трения и тождественно совпадает с произведением толщины потери импульса 6» на квадрат невозмущенной скорости П (см. формулу (8.34)); поэтому формулу (9.40) иы можем переписать также в следующем виде: И =ЬРПи. (9.42) Вычислим теперь распределение скоростей в спутном течении позади продольно обтекаемой плоской пластины на большом расстоянии х позади пластины.
Зто вычисление может быть выполнено двумя способами: 1) путем подхода к рассматриваемому месту х спереди, т. е. исходя из профиля скоростей в пограничном слое на задней кромке пластины, вычисленного по способу Блазиуса; 2) путем подхода сзади. Последний способ представляет собой своего рода асимптотическое решение на больших расстояниях позади тела, не зависящее от формы тела; при таком решении скорость спутного течения, равная и~ (х, у) = П вЂ” и (х, у), (9.43) предполагается настолько малой по сравнению с П, что можно пренебрегать при вычислениях членами, в которые скорость и, входит в квадрате.
Вычисление «спереди» было выполнено С. Голдстейном (»») методом продолжения, который подробно будет изложен ниже, в з 10 настоящей главы. Исходным профилем при таком вычислении, на котором мы здесь не будем останавливаться, является профиль скоростей пограничного слоя на задней кромке пластины, определенный по способу Блазиуса. Асимптотическое вычисление «сзадн» было выполнено В.
Толмином (»»). Коротко на нем остановимся, так как оно является типичным для всех задач, связанных со спутным течением; мы встретимся с ним вновь при изучении турбулентного спутного течения, в практическом отношении более важного, чем ламинарное спутное течение. СПУТНОЕ ТЕЧЕНИЕ ПОЗАДИ ПЛОСКОЙ ПЛАСТИНЫ Так как в уравнении движения пограничного слоя (9.1) член, содержащий давление, в рассматриваемом случае равен нулю, то после подстановки в это уравнение значения и1(х, у) из уравнения (9.43) и последующего отбрасывания членов, квадратичных относительно и, и и„мы получим ди1 дэи1 Ь7 — = и —, ди дуэ (9.44), причем граничными условиями будут — =0 при у=О; ди1 ду и,=О при у=со. (см.
равенство (7.24)); кроме того, для скорости и, возьмем следующее выра- жение: и,=У С ( — ") д(Ч), (9.45) где 1 есть длина пластины (см. рис. 9.10). Координата х взята в степени — 1!2 потому, что интеграл в правой части формулы (9.41), определяющей сопротивление пластины, смоченной с обеих сторон, не должен зависеть от х. Отбросив в подынтегральном выражении формулы (9.41) члены, квадратичные относительно им мы приведем эту формулу к виду + 2И'= ЬрУ ) и, Ыу. Подставив сюда вместо и1 его выражение (9.45), мы будем иметь -+ 2И'=ЬрП' ~Ц/ — ~ ~ у(Ч) ~(Ч. (9.46) Далее, внеся то же выражение и~ в уравнение (9.44) и разделив последнее на. мы получим для функции у (Ч), определяющей скорость спутного течения, дифференциальное уравнение у" + —,Ча'+ 2 у=О, (9.47) причем граничными условиями будут при Ч=-0 и у=О при Ч= со. Проинтегрировав один раз, мы получим И в этом случае уравнение в частных производных (9.44) можно свестк к обыкновенному дифференциальному уравнению путем преобразования подобия.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
