Теория пограничного слоя Г. Шлихтинг под ред. Лойцянского Л.Г. (1013691), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Денисом и Т. К. Фаннелепом. Старые методы. Г. Гертлер Р'] видоизменил только что рассмотренный метод продолжения, заменив дифференциальное уравнение пограничного слоя развостным уравнением. Это значительно упростило и улучшило численный расчет и позволило при пользовании настольным арифмометром сократить время расчета одного шага (для 10 — 15 точек профиля] до одного часа. В указанной работе Г. Гертлер сравнил результаты своего приближенного расчета с точными профилями скоростей, полученными Л. Хоуартом (см. 9 4 настоя- У т-7 пг пг 7 пг" щей главы) для пограничного слоя в замедляющемся течении.
Совпадение получилось весьма удовлетворительным. Г. Виттинг в своих двух работах ('л],(л'] еще больше упростил оба разностных метода. Раз- т-/п гп,п пг+/,п постный метод, сходный с методом Ге)гтлера, еще ду раньше был предложен К. Шредером [л ]. Этот ме- т-бп-/ пгп-/ тяп-7 и-гг тод был использован А. В. Квиком и К. Шредером [4Ч для расчета ряда численных примеров пограничного слон на волнистых стенках.
При этом выяснилось, что ламинарный пограничный слой очень чувствителен к периодическим колебаниям давле- ,х ния. Правда, эта чувствительность сказывается в унс. 9.17. Схема узлов сетки для увсосновном только вблизи стенок, по мере же удале- чета погувннчнога слоя,разноотнмн вия от вих волнистость линий тона сглаживается. Расчеты ламинарных пограничных слоев на волнистых стенках выполнил также Г.
Гертлер Р'], [вв). Полученные им результаты были подтверждены последующими расчетами Квика и Шредера. Современные методы. В последние годы для выполнения трудоемких численных расчетов все в большей мере используются в качестве мощного вспомогательного средства электронно-вычислительные машины. В связи с этим в настоящее время разрабатываются методы расчета пограничного слоя, позволяющие использовать такие машины.
Изложим здесь в общих чертах один разностный метод, особенно удобный для расчета на электронно-вычислительных машинах л). Так как атот метод пригоден также длн расчета осесимметричных пограничных слоев, то выпишем уравнения пограничного слон в безразмерных координатах в следующем обзцем виде: 188 ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ [ГЛ. 1Х Каждый узел сетки отмечается дзойвым ивдексом (т, д).
Зависимая перемеввая— продольвая скорость и — предполагается вавестиой на прямых х = х„, и х = хт, Подлежат определевию веиззествые значения и вдоль прямой х = х,„+, = х, + Ьх. Использование схемы цевтральвых конечвых разностей приводит в направлевви х к погрешвости обрыва процесса порядка (Ьх)з, а з напразлевии у — к погрешвости порядка (Ьу)', т. е. получается ура звозешевная система. Поэтому примевим для нашего расчета именво такую схему.
Необходимые формулы для ковечворазвоствых отношевий можво найти з любом руководстве по числеввому анализу, см., вапример, (11). Для частных произзодвых продольвой скорости и получим следующие выражения через конечкоразкоствые отвошения: ди Зит,1 „— 4ит, д+ит 1 д 1 ох 2Ьх 3 Ьх """* (9. 82) ди ит+1, и+1 "тзм «-1 1 2Лу 6 дти ит,1 пл1 — 2«тл1, «+итл1, и-1 1 12 (9.83) (9.84) Для лкнеаризации развоствых уразвевий используем соотвошевие ите1, «2«т,«ит«1 «+ Лх их«+ В ливеаризозанной форме выражения вида и (ди!дх) замевяются следующими: 3« +1, « — 4«т, «+ ит-1. « ~ (2ит, « — ит-1, «) 2Лх (9.85) После подстановки этих развоствых зыражевпй з ураввения погравичвого слоя мы получим разкоствое уразвевие -4пит+1,п-1 + Впитплз,п + Спитл1,«л1 = Рп (9. 86) причем Ьх Ьх Ап = — — (2«т, « — ит-1, «) — т 2Ьу ' ' (Ьу)т 3 2Ьх В«= (2ит и — ит-1.«)+ (Ьу)з Ьх Лх С« — — — (2лт, «ит-1.
и) 2ЬУ ' ' (Ьу)з /АР) В« —— — (2«т « — ит 1, и) (4ит, «ит — 1, «) Ьх ~ ) 2 Ах т+1,'« (9.87) (9.88) (9.89) (9.90) (9.91) где ип есть звачевие и на знсшвей гравице погравичвого слоя. Далее примем, что имеет место соотношение 1) (9.93) ип — — Еда«+, + Вп. Если мы всполье)ем гравичиое услозие и, = О и потребуем, чтобы соотвошение (9.93) соблюдалось ксзазисилю от ширивы шага Ьу, то найдем, что Е1=0, В,=О.
(9.94) ') Обоскозанве можво найти з работе Р. Д. Рихтмиера (лз). Л' — 1 уразневвй (9.86), из которых каждое содержит три веиззествых и +,,« „ ит+1, и и ип,+1,«+, (« =2, 3, ..., Л1), связаны одво с другим и могут быть решены как сйстема созыестйых алгебравческих ураввевий, так как общее число веизвествых равво числу уразневий. Матрица, соответствующая неизвестным ит+,,«, такова, что допускает использовать прямой путь решевия, ве требующий составления обратвой матрицы. Это приводит к акачительвому сокращению времеви зычислительвой работы.
Уразневие (9.86) представляет собой рекурревтное соотвошевие, которое может быть решево простым способом, особенно пригодвым для использовавия ва электроввовычислительвой машиве. Для этого перепишем уразвевие (9.86) еще раз, причем опустим ивдекс т + 1. Мы получим А«и«+В,и«+ Спи«.и = Еп, 2 <и <Ф вЂ” 1, причем гравичвыми условиями будут й и,=О, ил1= С, (9.92) $89 РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ Далее, иа соотвошевия (9.93) следует ип-! = Еп -1ип + )дп-1' (9.95) Внеся это выражение ип ! в уравнение (9.91) и решив его относительно ип, мы получим — С„ Еп — Ап(7п-! ип пп ип+!+ Еп+'1пЕп — 1 Еп+АпЕп ! (9.96) Сравнив соотношения (9.96) и (9.93), мы вайдем — Сп Вп+ЛпЕп ! ' Еп — АпП -! Ип= Еп+.4пЕп — 1 (9.97) Имея соотношения (9.97) и значения (9.94), мы можем последовательно вычислить все Еп и Пп для возрастающих и (и = 2, 3,..., Л' — 1).
Далее, так как значсвке и„+! при и = Л! — 1 известно иа второго равенства (9. 92), то мы можем последовательно определить из соотношения (9.93) все ип для убывающих п (и = Л' — 1, Л! — 2,..., 2). На этом определение продольной скорости и заканчивается. После того, как значения и +„и вычислены для всех и, можно определить из уравнения неразрывности значения пт+,,„, поступая для этого в точности так же, как при вычислении значений ип!зз,п. Для численного решения ураввевия неразрывности удобио представить его в виде и д — — — (гзи) ду. г! о (9.98) Выполвив квадратуру при помощи правила трапеций, мы получим Ьугд д 3 Ауз 1 от+1, и=от+1, и-! — — ~ — (г!и)т+1, и+ — '(г!и)т+1, и 1 ~ — — «г!и(з, 1))]пуд (9.99) 2„1[ д дз' 12 где 1) есть некоторое значение между (п — 1)Ау и пду. Мы видим, что принятая схема центральных разностей при каждом шаге на расстояние Ау дает погрешность порядка (Аз!Ау) и (Ау)з.
Решение начинается от степки, на которой п равно нулю. Так как г и и при каждом шаге поперек пограничного слоя известны, то сначала мы можем определить и яа расстоявии одного шага от стенки, затеы на расстоянии двух шагов и т. д., пока ве будет достигнута внешняя граница пограничного слоя. Внешняя граница пограничного слоя считается достигнутой, когда после нескольких последовательных шагов Ау скорость и остается постоянной внутри некоторого наперед заданного предела точности. Этот контроль относительво внешней границы следует выполнять при каждом шаге Аз. При расчете погравичвого слоя представляютиитерес, кроме составляющих скоростей и и и, также некоторые другие величины, например касательное напряжение ва стенке и толщииа вытеснения.
Эти вычисления можно выполнить, используя различные приближения для звачевия ди/ду ва стенке. В частности, соотвошевие ( — ).—— ди! 1 — ) — (18итэы з 9ит+1 з+ 2ить1, 1),' ду )т ббу (9ИОО) дает градиент скорости ва стенке с точностью, совпадающей с точностью разностных уравлений (см. [зг]). Толщину вытеснения можно определить по формуле (7.36) г помощью правила Симпсона. Изложеияый метод конечных разностей сводит задачу расчета вогранпчного слоя, т.
е. задачу интегрирования уравнений в частных вроизводных, к более простой задаче, а имевво к решению системы линейных алгебраических уравнений. Так как рассмотренный численный метод всегда устойчив, то ширина шага определяется только погрешностью обрыва процесса, поэтому ее можно выбрать довольно большой, что позволяет сильно сократить время расчета.
При пользовании современными быстродействующими электронно- вычислительными машинами полный расчет ламиварвого погравичвого слоя яа крыловом профиле можно выполнить в течение немногих минут. О применении развостиого метода для расчета сжимаемых ламиварвых пограничных слоев можно найти сведения в работах [!1[ и ['з]. Недавно Т. Фавиелеп и Ирма ФлюггеЛотц Рзп] выполнили рассмотренным развоствым методом расчет сжимаемого ламияарвого погравичиого слоя ва волнистой стенке. Другой неявный метод решения уравнений несжимаемого погравичвого слоя ведавио предложен А.
М. О. Смитом и Д. В. Клаттером ['з). И этот метод пригоден для расчета 190 ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ ГЛ. 1Х на электронно-вычислительных машинах и дает высокую точность при малой затрате времени. Им можно пользоваться также длн расчета сжимаемого пограничного слоя.
О результатах особенно точного численного решения дифференциальных уравнении пограничного слон на круглом цилиндре, полученных посредством прнмененнн рааностного метода, будет сказано в и. 3 $3 главы Х. Литература к главе 1Х 1. А и й г а д е Е. М., ТЬе че!осНу дМКНЬиПоп ш а !$игЫ-!п!о-1щцЫ )е!. ТЬе р!апе)е! Ргос. РЬуя. 8ос., 1 опдоп 5$, 784 — 794 (1939). 2.
В а х ! е г П. С., Р 1 6 8 8 е -Ь о ! к 1., ТЬе яо!це!оп о1сошргеяМЫе 1апдпаг Ъоцпдагу ргоЫешя Ьу а ПпИе й!Негепсе шекЬод. Рагс. Н: РцгКЬег д)ясная!оп о! Пке гоекЬод апд сошрцкак!оп о1 ехашр1ея. ТесЬп. Вер. № 110, В)ч. Еп8. МесЬ. 8$ап!огй Ьп1ч. (1957); сокращенное изложение: ХАМР 9Ь, 81 — 96 (1958). 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
