Теория пограничного слоя Г. Шлихтинг под ред. Лойцянского Л.Г. (1013691), страница 51
Текст из файла (страница 51)
' которому удовлетворяет точное решение [см. равенство (7.15)1. П р и м е р ы. Проверим пригодность изложенного способа приближенного расчета пограничного слоя на некоторых примерах. Качество приближенного расчета, очевидно, в значительной мере зависит от того, насколько удачно выбрано распределение скоростей (10.6). Как уже упоминалось, выбранная функция 1(у[) в любом случае должна исчезать при т[ = О, так как иначе не будет выполнено условие прилипания на стенке. Далее, функция 1' (т[) должна иметь при больших значениях т[ постоянное значение, равное единице.
Переход функции 1 (т[) к единичному значению может происходить при грубом приближении с изломом, а при более хорошем приближении — с непрерывным изменением производной (((/([у[. Какая бы форма ни была выбрана для функции 7'(Ч), числа которые легко определить посредством формул (10.8) — (10.17), всегда будут безразмерными. Результаты расчета для четырех частных видов функции 1 (т[), из которых первые два изображены на рис. 10.2, сведены в таблицу 10.1. Линейная функция удовлетворяет только условиям ( (0) = 0 и ((1) = 1; кубическая функция — дополнительно еще двум условиям (' (1) =- 0 и 7" (0) = О, а функция четвертой степени — также условию 1" (1) = О.
Функция ейп ( — т[) удовлетворяет тем же граничным условиям, что и функция четвертой степени, за исключением условия 7 (1) = О. Полиномы третьей и четвертой степени, а также функция з(л ( — т[) дают для касательного напряжения на стенке значения, отличающиеся от точного значения меньше чем на 3%, что следует рассматривать как вполне хороший результат. Значения толщины вытеснения 61, даваемые указанными приближениями, также удовлетворительно совпадают с точными значениями. 197 овтекАние с РРАдиентом дАВления Т а б л н ц а 10.1. Результаты приближенного расчета пограничного слоя на плоской пластине, обтекаемой в продольном направлении Раснрелелевне скоростей и — =г(ч) У„ к ст — = нте ат 1 6 39 280 37 315 4 — я 2я 1 2 3 8 3 10 я — 2 0,289 1,155 3,00 1,732 1(ч) =ч 3 2 3 1 1 (ч) = — ч — — т(з 2 2 2,70 1,292 0,323 1,740 1,372 1,752 0,343 2,55 1 (тб = 2Ч вЂ” 2т(з+ Ч е 1(Ч) =гбв ( — Ч) Точное 1,310 0,327 2,66 1,741 1,328 2,59 1,721 0,332 113 1 гт б' с 1т тл Итак, изложенный способ приближенного расчета пограничного слоя на продольно обтекаемой плоской пластине дает вполне удовлетворительные результаты.
Особо следует подчеркнуть чрезвычайную простоту приближенного расчета по сравнению с точным решением. 8 2. Применение теоремы импульсон к обтеканинт с градиентом давления Если выбрать для распределения скоростей подходящее выражение и с его помощью вычислить толщину потери импульса, толщину вытеснения и касательное напряжение на стенке, то совершенно такиы же путем, как в предыдущем параграфе для пограничного слоя на плоской пластине, мы получим из уравнения (10.18) обыкновенное дифференциальное уравнение для определения толщины пограничного слоя.
При выборе выражения для распределения скоростей следует руководствоваться теми же сообра- Изложенный в предыдущем параграфе приближенный расчет пограничного слоя на продольно обтекаемой плоской пластине можно распространить на общий случай плоского пограничного слоя с наличием градиента давления вдоль обтекаемой стенки. Впервые это было сделано К.
Польгаузеном Р'1, однако мы приведем здесь способ К. Польгауаена не в его первоначальном, а в современном виде, рааработанном Г. Хольштейном и Т. Боленом (т). Введем, как н раньше, систему координат, н которой х оаначает длину дуги вдоль обтекаемой стенки, а у — расстояние от стенки. Будем исходить иа уравнения импульсов для плоского пограничного слоя, которое получается из уравнения движения путем его интегрирования по у от у =- 0 (стенка) до значения у = Ь (х), соответствующего точкам за пределами пограничного слоя. Такое интегрирование мы уже выполнили в 3 5 главы тт111 и получили уравнение (8.35), которое перепишем теперь в следующем виде: (10.18) 198 пРивлиженные РешениЯ УРАВнений погРАничного слОЯ (гл. х жениями, как и при расчете пограничного слоя на плоской пластине, т. е.
следует подобрать распределение скоростей так, чтобы были выполнены необходимые условия на стенке и на внешней границе при смыкании с потенциальным течением. Кроме того, в общем случае, когда вдоль обтекаемой стенки имеется градиент давления, следует предусмотреть, что профили скоростей могут быть как без точки перегиба (область понижения давления), так и с точкой перегиба (область возрастания давления). Далее, для того чтобы приближенный расчет мог дать также положение точки отрыва, следует предусмотреть выполнение условия (ди!ду)у=, —— О, т.
е. воэможность существования профиля скоростей, имеющего на стенке касательную, совпадающую с нормалью к стенке. Но зато теперь нельзя требовать, чтобы профили скоростей в различных сечениях были аффинно-подобны между собой. Введем вместо размерного расстояния у от стенки безразмерное расстояние и, следуя К. Польгаузену, возьмем зависимость скорости и от т) в виде поли- нома четвертой степени, т.
е. примем, что — = 7' (т)) = ат) + Ьт)2+ ст)'+ т(т)' (10.19) при 0 < т) ( 1, но в то же время и — =1 н при т) )~ 1. Это означает, что теперь, как и в случае продольного обтекания плоской пластины, ставится требование о смыкании пограничного слоя с потенциальным течением на конечном расстоянии у = 6 (х) от стенки. Для определения свободных постоянных а, Ь, с, д потребуем, чтобы выполнялись граничные условия д2и У вЂ” = ду2 ди О т др ди — — = — ст— р Ых дх дэи — — 0 дут при у=О, (10.20) при у =б.
и=О, Эти условия, как показывают уравнения (7.10) и (7.11) и условия (7.12), выполняются и для точных решений. Так как функция (10.19), выбранная для распределения скоростей, с самого начала удовлетворяет условию прилипания, то условий (10.20) вполне достаточно для определения постоянных а, Ь, с, д.
Особенно важно второе из условий (10.20) при у = О, совпадающее с условием (7.15), обязательным для каждого точного решения. Это условие определяет кривизну профиля скоростей вблизи стенки и обеспечивает требуемое точным решением отсутствие точки перегиба в области понижения давления и, наоборот, наличие такой точки в области повышения давления (см. э 2 главы ттП и рис. 7.3 и 7.4).
Введя для сокращения записи безразмерную величину 62 д(т Л= —— т дх (10.21) т(= 1 —— а=2+ —.; Ь= — —; Л, Л 1 с= — 2+ —; Л 1 и выполнив простые вычисления, мы найдем для коэффициентов а, Ь, с, а следующие значения: 199 ОБТЕКАНИЕ С ГРАДИЕНТОМ ДАВЛЕНИЯ Внеся эти значения а, Ь, е, (3 в уравнение (10.19), мы получим У р (Ч)+ Л0(Ч) =(2Ч вЂ” 2т['+ Ч') + 6 (Ч вЂ” Зт['+ ЗЧ' — т['), (10,22) где р(Ч) = 2т[ — 2т[з+Ча 1 (1 — Ч)з (1+Ч) а(ч)= —,(ч — зч +зч — ч) = —,ч(1 — ч) . 2 з а '1 з (10.23) Из уравнения (10.22) мы видим, что профили скоростей, рассматриваемые как функции от Ч = уЯ (х), образуют семейство кривых, зависящих от одного безраамерного параметра Л, называемого (бормпараметром.
Величину Л можно представить также в следующем виде: ар б Л= — — = — — —, ал ал (3[) ' б откуда виден ее физический смысл: она представляет собой отношение сил давления к силам трения. Правда, чтобы придать формпараметру Л настоящий физический смысл, следует в выражении для Л заменить толщину пограничного слоя б физически определенной величиной, например толщиной потери импульса, что ниже и будет сделано. ::у (' 44 48 40 4б 4б (б у' Рис.
10,3. Графики функций У (ц) и С (аз, определяющих распределение сноростей в пограничном слое [см. уравнения (10.22) и (10.23)). Рис. !Ось Однопараметричесное семейство про- филей скоростей [уравнение (10.22)Ь) Графики обеих функций г"' (Ч) и б (Ч), определяемых уравнениями (10.23) и в сумме дающих распределение скоростей (10.22), изображены на рис. 10.3.
Профили скоростей для различных значений формпараметра Л показаны на рис. 10.4. Профиль, соответствующий значению Л = О, получается для НПдх = О, следовательно, либо для продольного обтекания плоской пластины, когда градиент давления всюду равен нулю, либо для обтекания криволинейной стенки, но только в том сечении, в котором скорость потенциального течения имеет максимум илн минимум.
Для Л = 0 распределение скоростей (10.22) тождественно совпадает с полиномом четвертой степени, испольаованным в предыдущем параграфе (см. таблицу 10.1) при расчете пограничного слоя на плоской пластине. Профиль скоростей в точке отрыва определяется условием (ди/ду)0 = О, следовательно, в этом случае а = 0 и Л = — 12. Для профиля скоростей в передней критической точке формпараметр равен, как будет показано ниже, Л = 7,052.
Значениям Л ) 12 соответствуют в пограничном слое значения и('1)') 1, что при стационарном пограничном слое невозможно. Позади точки отрыва, для 200 ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ 1ГЛ Х 6, 3 Л 61 37 Л Лг (10.24) 6 10 120 ' 6 315 945 9072 ' Далее, подставив распределение скоростей (10.22) в равенство то М ( э„ ) мы найдем то6 Л вЂ” =2+ —.
„17 — Е Для определения пока еще неизвестного формпараметра Л (х), следовательно, и для определения толщины 6 (х) из уравнения (10.21) используем уравнение импульсов (10.18). Умножив его на бг/ус1, мы придадим ему безразмерную форму (10.25) (10.26) Толщина пограничного слоя 6 явно не входит в это уравнение. В этом обстоятельстве нет ничего удивительного, так как толщина 6 вводится в приближенный расчет в качестве довольно произвольной величины и, следовательно, не имеет особого физического смысла. Зато в уравнение (10.26) входят физически важные величины: толщина вытеснения 61, толщина потери импульса бг и касательное напряжение то на стенке.
Поэтому целесообразно вычислить из уравнения импульсов (10.28) сначала величину бг„ а затем уже, посредством второго из соотношений (10.24), перейти к 6. Для этой цели, следуя Г. Хольштейну и Т. Болену (1), введем наряду с первым формпараметром Л, определяемым равенством (10.21), второй форм- параметр 61 'йг7 х= — '— йх о (10.27) отличающийся от первого только заменой толщины пограничного слоя 6 на толщину потери импульса бг. Если для сокращения записи применить обозначение Е= — ", (10.28) которой, как только что было указано, Л = — 12, возможность расчета пограничного слоя отпадает.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
