Теория пограничного слоя Г. Шлихтинг под ред. Лойцянского Л.Г. (1013691), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Для сжимаемой жидкости плоская ламинарная струя, вытекающая из узкой щели, исследована Бай Ши-и [зт) и М. Кшивоблоцким [з']. Измерения, выполненные Э. Н. Андраде [1) для плоской ламинарной струи, очень хорошо подтверждают приведенные выше теоретические результаты. Струя остается ламинарной примерно до [гн =- 30 (зто число Рейнольдса составлено для скорости истечения и для ширины щели).
Плоская и круглая турбулентные струи будут рассмотрены в главе ХХ1Ч. Сводное изложений всех задач струйного течения можно найти в книге Бай Ши-и [зв[ ПЛОСКОЕ ТЕЧЕННЕ В НАЧАЛЬНОМ УЧАСТКЕ КАНАЛА 1 а1 Тогда для определения безразмерной функции тока у мы получим обыкновенное дифференциальное уравнение (1" +21" =О. (9.63) Граничными условиями с учетом того, что иЮ1 = ~', будут )' =-1 при 1[= + оо; )' = — = )1 при 1) = — оо. (9,64) Н2 Ц1 В плоскости раздела у = О, а потому также т[ = 0; кроме того, в атой плоскости дг[ь1дл = О, следовательно, здесь граничным условием будет ( = 0 при т[ = О.
(9.65) Обыкновенное дифференциальное уравнение (9.63) с граничными условиями (9.64) и (9.65) не допускает решения в замкнутой форме и моукет быть решено только численным способом. Посредством асимптотических разложений при т) — ~ — оо и т[-ь+ оо и путем разложения в ряд в точке т[ = О,р-у й ц, щ~ можно получить точные численные реже- уа11а и=[ ь,' р л ния этого уравнения, некоторые из кото- а рых указаны Р. К. Локком [11].
На рис. 9.15 изображены профили скоростей для )1 = с'11'гг"1 = 0 и 0,5. Улучшенное численное решение для )1 = 0 дано А=гу В. Дж. Христианом [Ч. Этот частный случай представляет собой не что иное, как Яч)а перемешнвание между широкой однородной струей и прилегаюшнм неподвижным воздухом. Такое течение часто нааывается плоской полуструей. Р. К. Локк [аз[ рассмотрел задачу оламинарном слое на гравице раздела между двумя параллельными течениями также для случая, когда обе струи кроме различных скоростей имеют также различные значения плотности ааа1 арчам аа а аа грал аа рааагага и вязкости.
Примером такого течения мо- аауа лога двух аогоаоа. По Р. К. Лоачу жет служить движение воздуха над поверхностью воды. В этом случае в качестве нового параметра наряду с отношением скоростей )1 появляется безразмерная величина и = ра[ьа/рг[11. И для этого случая Локк указал несколько точных, а также приближенных решений.
Последние решения получены посредством использования уравнения импульсов пограничного слоя. Другой приближенный метод предложен О. Э. Поттером [аа[. Плоская полуструя сжимаемой жидкости рассмотрена Д. Р. Чепменом [ь[. Такого рода сжимаемые течения играют некоторую роль при расчете оторвавшихся свободных слоев в спутных струях [ 11, й 9. Плоское течение в начальном участке канала Плоский пограничный слой образуется также при течении а начальном участка канала, т.
е. з участке, следующем аа входным поперечным сечением. На большом расстоянии от входа а канал, ограниченный плоскими параллельными станками, скорость распределяется по ширине, как мы уже выяснили з главе Ч, вараболически. Пусть зо входном попеРечном сечении скоРость по всей шиРине канала одинакова и Равна гга ВслеД- стане трения яа обеих стенках канала обраауется пограничный слой, который сначала, т. а. на небольших расстоякиях от входа в канал, развивается совершенно так же, как ва плоской пластала, обтекаемой в продольяом направлении. В результате течение в канале разбивается на трн эоны: одну центральную, з которой жидкость движется ва некотором 182 ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИИ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ [ГЛ, 1Х участке ширины канала с одинаковой скоростью,— будем взвывать эту зону ядром течения — и иа две боковые, обраэоваииые пограничными слоями.
Так как через каждое поперечное сечение должно протекать одно и то же количество жидкости, то уменьшение расхода вследствие трения в боковых вовах, очевидно, компенсируется увеличением расхода в цектральиой зоне, т. е. увеличением скорости в ядре течения. Следовательно, теперь в противоположкость тому, как это было при продольном обтекании пластины, пограиичкый слой развивается под действием ускореикого внешнего течения. Затем па более удаленком расстоянии от входа в канал оба пограничных слоя сливаются, и иакокец профиль скоростей асимптотически переходит в параболический профиль течения Хагена — Пуазейля.
Дли аналитического исследования развития течения в начальном участке можно поступить следующим образом. Свачала течение рассчитываетси путем «подхода спередие, т. е. исследуется развитие пограничного слоя под действием ускореииого течения в ядре. бб б,г бб lбб -у .т '" -бг -бб б и и и б б а б г7 б г(бг~бббг(б(бб б б буй и Рис. ЗДЗ. Распределение скоростей лаиинарного течения з начальном участие наиале. а и г)у = (гоа. и=у (9.66) Введем в расчет толщину вытеснения б„определяемую равенством (8.33): ((à — и) бу =- Пбь о Отсюда, используя равенство (9.66), мы получим (7(я) — По — б — По ~( ) +( ) + (9.67) Непосредствеико после входа в канал пограничный слой развивается так же, как ка пло- Затем выполвяется исследование путем «подхода сзади« вЂ” вычисляется отклонение распределекия скоростей от параболического распределекия по мере приближения к входному поперечиому сечению.
В обоих случаях результаты представляются в виде ряда. Если затем в получевкых рядах ваять достаточно большое число членов, то можно сомкиуть оба эти ряда в каком-нибудь промежуточном поперечном сечении, а имекио в таком, для которого пригодны оба ряда. Таким путем получится распределение скоростей ка протяжеиии всего вачалького участка. Подобного рода расчет был выполвеи Г.
Шлихтикгом [««). Приведем его здесь в общих чертах. Введем систему коордикат, ось я которой совместим с осью канала (рис. 9. (6). При расчете путем подхода сзади будем отсчитывать поперечную координату у от оси канала, а при расчете путем подхода спереди — от одной иэ стенок, причем будем обозначать ее в отличие от у через у'. Скорость во входном поперечном сечении пусть ранка (7«. Скорость в ядре течения обозначим через П (я). Ширина канала пусть равна 2л.
Начнем с расчета путем подхода спереди. Прежде всего, ва основании уравиевия керазрывкости мы змеем 183 ПЛОСКОЕ ТЕЧЕНИЕ В НАЧАЛЬНОМ УЧАСТКЕ КАНАЛА 9 9) спой пластнне, свободно обтекаемой в продольном направлении. Для такой пластины на юсновании формулы (7.37) мы имеем бт -е тх — =(,72 9, — = —.(,72е=Кте, У а С где тх (9.68) у аз(79 есть безразмерная длина, которую можно рассматривать как длину, характерную для входа в трубу.
Ряд (9.67) мы можем переписать теперь в следующем виде: ~(9. 69) (7 (х) = (тю ((+ Кте+ Кзе'+...), =~/3' [см. формулу (7.24)! и представим функцию тока тр (х, у') и скорость и (х, у') в пограничном слое в виде таких же рядов по степеням е, как н для скорости С (х) ядра течения; мы будем иметь ф (х у ) — Пса (919 (т)) + ез(т (т)) + .. и (х у') =- Пе (19 (Ч) + е1! (Ч) + . 1 Подставив выражения (9.69), (9.70) н (9.71) в уравнение движения (9Л) и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях е, мы получим систему дифференциальных уравнений .для определения 19, 1„...
Дифференциальное уравнение для первого приближения имеет такой же вид, как и уравнение, полученное Г. Блазиусоы для плоской пластины, обтекаемой в продольном направлении, а именно: 191'е+ 21о" = О причем граничными условиями будут 19=19=0 при т)=О; 19=-$ при Ч=-са. Решение этого уравнения дано в 4 5 главы ЧП. Дифференциальное уравнение для второго приближения имеет вид 21т" + 191т — 1о1(+ 21о1т = — Кт (9.72) а граничными условиями 1т = 1' =- О при т) = О; 1т = Кт при т) = ео. Для следующих приближений получаются уравнения, построенные аналогичным образом.
При расчете путем подхода сзади примем, что скорость течения равна и = ие (у) — и' (х, у), где ие (у) означает параболическое распределение скоростей, следовательно, 3 уз из(У)= —,(те (1 — —,, ), а и' (х, у) есть добавочная скорость, при разложении которой в ряд можно в первом при- ближении пренебречь ее квадратичными членами. Приняв для и' выражение — =Сте ' тУт ( — ) +Сзе з тр' ( У ) (9.76) мы получим для определения функции тока ф, дифференциальное уравнение ф;- +З»,~ —,' (( — ', ) ф,"+ф,~=-о (9.74) причем К, = 1,72. Таким образом, мы представили скорость (т (х) в ядре течения в виде ряда относительно 1тх. По в то время как коэффициент К, известен иа решения Блазиуса для продольного обтекания плоской пластины, все остальные коэффициенты Кз, Кз,...
могут быть определены последовательно тольио после расчета исследуемого пограничного слоя. Далее, совершенно так же, каки при продольном обтекании плоской пластины, введем новую переменную $84 точные Решения уРАВнениИ пОГРАничнОГО слоя [Гл, гх с 2, в качестве собственного звачевия. Граничные условия для этого ураввевия получаются следующим образом. Из условий, что и = 0 и ди!ду = 0 при у = О, вытекает, что ф1=ф,"=0 при у=О и, кроме того, ф;=1 прп у=О, так как коэффициент С, можно выбрать свободно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
