Теория пограничного слоя Г. Шлихтинг под ред. Лойцянского Л.Г. (1013691), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Только первое из уравнений системы (9.21), определяющее (э функцию 7„нелинейное. Оно тождественно с уравнением (5.39), полученным в з 2 главы У для плоского течения вблизи критической точки. Все остальные дифференциальные уравнения системы (9.21) линейные, причем входящие в них коэффициенты определяются предыдущими функциями.
ФУнкции 7з и 7з были вычислены Уже К. Хименцем ['Ч. Графики функций [; и /; Раз. ЗЛ. Етнзцаз б а т; ряда Вэзззт- ИЗОбражЕНЫ На рнС. 9.4; фуНКцИя (; ПрЕдетаВ- лена также на рис. 5.10 и в таблице 5.1 (там она обозначена через ф'). Л. Хоуарт [зЧ улучшил таблицу значений функции 1з, Н. Фресслинг ['Ч вычислил дз и Ь„а затем А. Ульрих [зз] продолжил вычисление коэффициентов-функций вплоть до члена ряда (9.18) в девятой степени включительно.
Наконец, А. Н. Тиффорд [ Ч вычислил коаффициенты-функции для члена хы и уточнил значения ранее вычисленных функций. В таблице 9.1 (стр. 166 и 167) для всех коэффициентов-функций[ вплоть до члена хн включительно даны их первые производные, необходимые для вычисления составляющей скорости и по формулам (9 19) н (9.20). Кроме того, в таблице 9.1 даны для значения и = 0 вторые производные всех функций, необходимые для определения касательного напряжения на стенке и положения точки отрыва (см. приводимый ниже пример). Таким образом, в настоящее время для симметричного случая полностью табулированы коэффициенты-функции для первых шести членов ряда Блазиуса (9.18).
Пример: обтекание круглого цилиндра. Применим изложенный способ расчета пограничного слоя к обтеканию круглого цилиндра, причем для получения однозначных соотношений возьмем в качестве основы для расчета теоретическое потенциальное распределение давления, хотя в литературе за такую основу обычно берется эксперимента лысое распределение давления. Пусть потенциальное течение набегает на круглый цилиндр радиуса Л со скоростью П, направленной параллельно оси е, н пусть обтекание цилиндра происходит без циркуляции.
Е г=4Г 165 ! З! течение ОкОлО пилиндРА (Ряд БлАзиусА) Распределение скоростей около цилиндра при таком обтекании опреде- ляется формулой У (х) = 2У зш — = 20' з1п (р. В (9.23) Развернув з(п(х)Л) в степенной ряд, мы получим для скорости У (х) разложение вида (9.15), а именно: 0'(*)=2П ~ и — Я вЂ”;)'+ —,', (+)'— На рис. 9.5 показано, как функция (9.23), т. е. скорость потенциального течения, приближенно представляется степенным рядом (9.24), если последний оборвать сначала на члене с первой степенью д, а аатем последовательно на членах с более высокими степенями х. )) Р (У ( Мы видим, что для получе- (( ния хорошего приближения (с г ! (ч скорости П (х) посредством ряда (9.24) вплоть до задней УР ! х ЯЗШЗЗ критической точки следует взять в этом ряде члены до х' включительно, а это влеРе Х чет эа собой необходимость, в соответствии со сказанным выше, сохранить в ряде(9.20) для и члены с показателями не до й =- 9, а до 2я — 1 = = 17, т.
е. члены до хм включительно. Только тогда при разложении скорости с( в ряд можно будет вычислить все члены до хе включительно. Но так как коэффициенты-функции в таблице 9.1 затабулированы только до хи включительно, то необходимо оборвать ряд для и прея(девременно, что приводит к какой-то ошибке, которую необходимо оценить. Из сравнения рядов (9.24) и (9 15) мы имеем га з() и зр !.у(з) уяу ~но нп ю Я' Рнс. З.б. Приближение скоростн потенднального течення около круглого пнлнндра посредством степенного ряда (З.ЗЕ), оборванного на члене с х в первой степенн (крнвая Р1), на члене с х в третьей степени (крнвая Р,), на члене с х в пятой степени (крнвая Рс') н т. д.
2с(сс и(= —, В 2 и„2 и Езмх — "Змх + 3! лз ' ' 5! Лс следовательно, (9.24а) у .,/2(( Л вЂ” 7! ()() 7т+ з! (л) 7е — ((! (Л) 1;,+ ), (925) Подставив эти выражения и(г и„и„... в ряд (9.20) и разделив все члены на с), мы получим 166 точные Решения уРАВнений НОГРАничнОГО слОя 1ГЛ. 1Х Табл н па 9И. Значения первых шести членов ряда Блааиуса (9.18) По А. П. Тнф 'в л; в в 0 0 0,0962 0,0173 0,0016 0,1563 0,0030 0,0044 0,1879 — 0,0286 0,0096 0,1994 — 0,0637 0,0174 0,1980 — 0,0925 0,0271 0,0141 О,ОИ7 — О,ООИ вЂ” 0,0177 — 0,0331 0,2 0,2266 0,4 0,4145 0,6 0,5663 0,8 0,6859 1,0 0,7779 0,1251 0,2129 0,2688 0,2997 0,3125 0,1072 0,1778 0,2184 0,2366 0,2399 О, 0884 0,1413 0,1669 0,1740 0,1700 О,ОИ2 — 0,0079 — 0,0417 — 0,0760 -0,1019 1,2 0,8467 1,4 0,8968 1,6 0,9323 1,8 0,9568 2,0 0,9732 — 0,0442 — 0,0499 — 0,0504 -0,0468 — 0,0406 — О,И57 — О,И76 — О, И 01 — 0,0965 — 0,0798 0,3133 0,3070 0,2975 0,2871 0,2775 0,2341 0,2239 0,2123 0,2012 0,1916 0,1896 0,1782 0,1665 0,1558 0,1469 О, 0369 О, 0452 0,0506 0,0525 0,0510 0,1604 0,1489 0,1375 0,1276 О, И 95 — О,И02 — О, И 59 — О,И14 — О, 0997 — 0,0839 — 0,0628 — 0,0470 — 0,0337 — 0,0231 -0,0152 2,2 0,9839 2,4 0,9905 2,6 0,9946 2,8 0,9970 3,0 0,9984 0,1839 0,1781 0,1740 0,1712 0,1694 — 0,0332 — 0,0257 — 0,0189 — 0,0133 — 0,0089 — 0,0669 — 0,0507 — 0,0367 — 0,0254 — 0,0168 0,2695 0,2632 0,2586 0,2554 0,2532 0,1400 0,1349 0,1313 0,1288 0,1273 О,И32 0,1087 0,1055 0,1033 0,1020 О, 0466 О, 0402 О, 0330 0,0257 0,0191 -0,0096 — 0,0058 — 0,0034 — 0,0019 — 0,0010 3,2 0,9992 3,4 0,9996 3,6 0,9998 3,8 0,9999 4,0 1,0000 — О, 0057 — О, 0035 -0,0021 — 0,0012 — 0,0006 — 0,0107 0,0135 — 0,0065 0,0091 — 0,0038 0,0059 — 0,0021 0,0036 О,ООИ 0,0021 0,2519 0,2510 0,2506 0,2503 0,2501 0,1682 0,1675 0,1671 0,1669 0,1668 0,1263 0,1257 0,1254 0,1252 0,1251 0,10И 0,1006 0,1003 0,1002 0,1001 О.ввв ( О.дввв О.СО~в 0,6347 О,И92 0,1520 0 1,2326 0,5399 0,7244 ~;=а'+ —,Ь; 10 1' =-а'+7Ь'-+ 3 Ь' );=4",+12Ь;+ 5 Ьв+847'в+ 280Чв );в = савв + 3 Ь;, + 66Ь;в + 2207';в+ + 4629,', + 1540лв'„+ и'„.
где (9.25а) — 2Г7 77 =8 ( — ", 0 — 4 ( — )," 0 + 6, ( — ) , "0— (в7 ) ~з (О) + д~ (77 ) )в (О) — 111 (у) 7вв (О) + ° ° . ) (9 26) Профили скоростей, определенные таким путем для различных вр, изображены на рис. 9.6. Профили для углов 1р, ббльших 90', имеют точку перегиба, так как они лежат в области повышения давления. Вычислив на основе распределения скоростей (9.25) касательное напряжение те на стенке, мы получим 167 течение ОкОлО цилиндРА (Ряд БлАзиусА) дяя плоского пограничного слоя на цилиндре (симметричный случай). форду [12] а;, а;, 0,0824 0,0074 0,1299 — 0,0145 0,1511 — 0,0489 0,1553 — 0,0816 0,1498 — 0,1046 0,0237 — 0,0359 0,0514 -0,0721 0,0863 — 0,1095 0,1267 — 0,1489 0,1666 — 0,1895 0,0951 — 0,0581 0,0910 — 0,0432 0,0882 — 0,0308 0,0863 — 0,0210 0,0851 — 0,0138 0,0843 — 0,0087 — 0,0100 0,0839 -0,0052 — 0,0060 0,0836 — 0,0030 — 0,0035 0,0835 — 0,0017 — 0,0019 0,0834 — 0,0009 — 0,0010 "11 11 0,5100 0,1323 0,0742 0,0572 — 0,0308 0,0607 0,0806 0,0516 0,1164 — 0,1796 или, если подставить сюда выражения (9.25а) для коэффициентов-функ- ций и численные значения из таблицы 9.1, — )т — =6,973 — * — 2,732 ( — ) +0,292 ( — *) — 0,0183 ( — ) + +- 0,000043 ( — *) — 0,000115 ( — ) +...
(9.26а) Зависимость этого напряжения от угла 1р для круглого цилиндра графически изображена на рнс. 9.7. Для определения полонгения точки отрыва следует левую часть равенства (9.26а) заменить нулем, так как в точке отрыва касательное напряжение то исчезает. Тогда, введя обозначение Астр= ( я ) мы получим уравнение 6~973 21732Хатр+О 292Хотр 0,0183Хотр+ 0 000043Хотр 0 000115Хотр=О. 0,0019 — 0,0112 — 0,0311 — 0,0501 — 0,0639 — 0,0704 — 0,0703 — 0,0649 — 0,0562 — 0,04 60 — 0,0359 — 0,0267 — 0,0190 — 0,0129 — 0,0085 -0,0053 — 0,0032 — 0,0019 — 0,0010 — 0,0006 0,0125 0,0288 0,0525 0,0833 0,1171 0,1480 0,1710 0,1829 0,1827 0,1718 0,1528 0,1290 0,1037 0,0795 0,0581 0,0406 0,0271 0,0173 0,0106 0,0062 — О, 0062 — 0,0124 — 0,0190 — 0,0262 — 0,0341 — 0,0423 — 0,0502 — 0,0567 — 0,0610 — 0,0625 — 0,0610 -0,0568 — 0,0504 — 0,0426 — 0,0344 — 0,0265 — 0,0!95 — 0,0137 — 0,0092 — 0,0059 0,1397 0,1283 0,1175 0,1083 0,1008 — 0,1152 — 0,1146 — 0,1055 — 0,0911 — 0,0746 — О, 0041 — 0,0368 — 0,0799 — 0,1181 — 0,1428 — 0,1520 — 0,1474 — 0,1330 — 0,1131 — 0,0912 — 0,0701 — 0,0516 — 0,0364 — 0,0246 — 0,0160 0,0165 0,0371 0,0651 0,0992 0,1342 0,1641 0,1841 0,1919 0,1876 0,1731 0,1515 0,1263 0,1003 0,0761 0,0552 О, 0383 0,0255 0,0162 0,0099 0,0057 0,1995 0,2202 0,2266 0,2190 0,2001 0,1737 0,1436 0,1133 0,0854 0,0616 0,0425 0,0281 0,0178 0,0108 0,0063 — 0,2288 — 0,2627 — 0,2874 — 0,2996 — 0,2982 — 0,2834 — 0,2575 — 0,2237 -0,1858 — 0,1476 — 0,1121 -0,0814 -0,0565 — 0,0375 — 0,0238 0,0103 0„0206 0,0307 0,0406 0,0503 0,0595 0,0678 0,0747 0,0796 0,0822 0,0820 0,0790 0,0733 0,0655 0,0563 0,0463 0,0365 0,0275 0,0199 0,0137 168 точные Решения уРАВнений пОГРАничнОГО слОя ггл.
ГХ Решив его, мы найдем положение точки отрыва: ф„р — — 108,8'. Если бы мы оборвали ряд для и на члене х', то тогда для положения точки отрыва мы получили бы угол гр„р —— 109,6'. В настоящее время можно достичь еще большей точности при помощи численных методов (см. п. 3 $ 3 главы Х). В том, что ряд Блазиуса, оборванный на члене ха, дает распределение скоростей с приемлемой точностью вплоть до точки отрыва, можно убедиться также путем проверки, в какой мере удовлетворяется прн таком обрыве первая контурная связь, имел ющая, в соответствии с формулой (7.15), следующий вид: На рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
