Теория пограничного слоя Г. Шлихтинг под ред. Лойцянского Л.Г. (1013691), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Исключив из уравнений (8.17) и (8.18) Р, мы получим сначала распределение скоростей потенциального течения, а затем — масштабный множитель д: (8.19) д=фх (2а — р) — ( — ) (8.20) или 2т т+2 Подставив это значение р, а также а = 1 в равенства (8.19) и (8.20), мы получим (8.22) /" 2 х К В' т+т е н (8.23) Следовательно, вторая из формул (8.10), устанавливающая преобразова- ние поперечной координаты, принимает вид ./т+г и т,=у~; 2 хх (8.24) $0Р Случай, когда 2а — р = О, должен быть исялючен. Из уравнений (8.14) видно, что у функций а и р общего мноя ителя не может быть, так как если бы он существовал, то его всегда можно было бы ввести в функцию г. Следовательно, до тех пор, пока а чь О, можно без ограничения общности принять, что а = + 1.
Далее, для физического истолкования потенциального течения (8.19) целесообразно ввести новую постоянную т, связанную с р соотношением го =— (8.21) 2 — б ОБЩИЕ СВОЙСТВА УРАВНЕНИЙ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ 1ГЛ. ЧШ (т' (х) = Сх™, (8.25) Итак, мы пришли к следующе»ту результату: уравнения пограничного слоя имеют «подобные» решения в том случае, если скорость потенциального течения пропорциональна некоторой степени длины дуги, измеряемой вдоль стенки от критической точки.
Такого рода потенциальные течения действительно возникают при обтекании окрестности передней критической точки клинообразного тела с углом раствора яр (рис. 8.1). Как легко подсчитать, при таком потенциальном течении скорость равна где С есть постоянная, причем показатель т и угол р связаны между собой соотношением (8.21). Частные случаи для «« = 1.
а) Если р = 1, то т = 1. Распределение скоростей (8.22) принимает вид ет (х) = ах, Рис. «Л. Течение около клине; в непосредственной онреотноотн вершины имеет место теоретическое нотенПиелвное реепределение онороотез О (х) = Схш. которое получается из уравнения (8.15) после подстановки р = О, отличается от ранее решенного уравнения (7.28) отсутствием множителя 2 в первом члене. После пересчета на одинаковые т) оба дифференциальных уравнения совпадут одно с другим.
Решения для других значений т будут рассмотрены ниже, в главе 1Х. Случай «« = О. Ранее исключенный случай а =- О приводит, как это видно из уравнения (8.19), при всех значениях р к потенциальным течениям со скоростью Г7(х), пропорциональной 1!х. В зависимости от знак» перед Ст такие потенциальные течения представляют собой либо течения около источника, либо течения около стока, которые мои«но рассматривать как течения в расширяющемся и соответственно в суживающемся канале с плоскими стенками. И эти течения мы рассмотрим подробно в главе 1Х. Наконец, второй, не рассмотренный выше случай, когда 2а — р =- О, также приводит к «подобным» решениям, если только У (х) пропорционально е"", где р есть .положительная или отрицательная постоянная.
На подробностях, связанных с этим случаем, здесь мы не можем останавливаться. Вопрос о «подобных» решениях для уравнений пограничного слоя при нестационарном течении исследован Г. Шу ['8).' В $ 4 главы Х1П мы вернемся к этому вопросу при рассмотрении снсимаемых пограничных слоев. т. е. мы имеем плоское течение с критической точкой, уже рассмотренное в и. 9 $ 2 главы т' как точное решение уравнений Навье — Стокса. При а = 1 и р = 1 дифференциальное уравнение (8.15) переходит в ранее рассмотренное уравнение (5.39). Аналогичным образом формула преобразования для поперечной координаты (8.24) после подстановки в нее Ст/х = а переходит в формулу (5.38), использованную в з 2 главы т'.
б) Если р = О, то т = О. В этом случае скорость С (х) постоянна и равна У, т. е. имеем мы обтекание плоской пластины в продольном направлении. Формула (8.24) принимает вид в1 2»х ' Это выражение т( отличается от выражения (7.24) только множителем 1/)т'2, в связи с чем дифференциальное уравнение ~ з] пРОБлемА «пРОдОлжения» Решения. контуРные сВязи 149 з 3.
Проблема апродолжения» решения. Контурные связи При расчете пограничного слоя вдоль тела с заданным контуром часто возникает следующая задача: до некоторого сечения х пограничный слой задан; требуется продолжить его вдоль контура тела, т. е. вдоль стенки за пределы сечения х. Для решения этой задачи, называемой задачей ~родояхеения, можно воспользоваться, например, численным методом (см. з 10 и 11 главы 1Х), основанным на разложении функции и (х, у), определяющей профиль скоростей в заданном сечении х, в степенной ряд относительно у с коэффициентами а, (х), зависящими от х. Следовательно, необходимо оперировать рядом и(х, у)=а>у+ 2', ух+ ~', у'+ (8.26) При использовании такого ряда встает весьма важный и глубокий вопрос: могут лн все коэффициенты а„а„... иметь произвольные значения или же они как-то связаны один с другим и, может быть, определенным образом зависят от внешнего, т.
е. потенциального, течения 77 (х)7 Сейчас мы покажем, что только некоторые из коэффициентов а„аз,... могут быть выбраны произвольно, остальные же связаны со свободно выбираемыми коэффициентами определенными соотношениями, которые называются яонтурн ми связями. С некоторыми такими связями мы уже познакомились в з 2 главы >>11.
А именно, из равенства (7.15) следует, что кривизна профиля скоростей и (у) около контура (стенки) определяется перепадом давления потенциального течения, что в настоящей постановке вопроса приводит к соотношению ду раз .=— ах Даяее, из равенства (7.16) следует, что а =О. Эти соотношения и являются контурными связями для коэффициентов ах и а,.
Для вывода контурных связей в общем виде будем исходить из безразмерных уравнений пограничного слоя (8.5) и (8.6), но с целью упрощения записи не будем пользоваться штрихами для обозначения безразмерных величин; тогда уравнения (8.5) и (8.6) примут вид ди ' ди др дзи и — +и —,+ — = —, дх ду' ' дх дуз (8.27а) ди — + дх — — О, (8.276) = 0 (на стенке), = Оо. у э причем граничными условиями будут и=О,Р=Оприу и=с> при у Таким образом, в уравнениях (8.27а) и х заменяет собой (8.276) х У 150 ОБЩИЕ СВОЙСТВА УРАВНБНИЙ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ 1гл.
УН1 Внеся в уравнение неразрывности (8.27б) вместо и его выражение через ряд (8.26) и выполнив интегрирование по у, мы найдем поперечную составляющую и скорости: -Р= — "у'+фу'+ — ", у'+... причем штрихи обозначают дифференцирование по х. Затем, подставив это выражение и, а также вырал1ение и, определяемое рядом (8.26), в уравнение (8.27а), введя, далее, для сокращения записи обозначение 1(х) =— и приравняв коэффи1[иенты при одинаковых степенях у, мы получим для коэффициентов аы аю...
следующие уравнения или готовые значения: а1 выбор свободен, аз=1(х); аз — — 0; аь=а1а,', следовательно, выбор свободен; аз =2а11'; а,=211', (8.28) ат = 4а,'а, — а,а',2, следовательно, выбор свободен; аз — — 10а,'1" — 1за1а,'1'+ 9 (а,а", + а,") 7; аз = 40а111" — 16а11'". Таким образом, свободно могут быть выбраны только коэффициенты а1, а,, а„аш,... Все остальные коэффициенты связаны с а„а„а„а1ю... контурными связями.
Как показали Л. Прандтль ПЧ и Г. Гертлер ['[, для возможности реше- ния сформулированной выше задачи продолжения необходимо, чтобы кон- турные связи (8.28) с достаточной степенью точности удовлетворялись как для исходного профиля скоростей, так и для дальнейших профилей и (х, у), расположенных вниз по течению. Отдельные подробности численного реше- ния такой задачи продолжения будут показаны в 4 10 и 11 главы [Х.
Как установил К. Шредер ПЧ, грубое нарушение контурных связей при решении задачи продолжения приближенным численным способом приводит к совер- шенно беспорядочному виду последовательно вычисленных профилей скоро- стей. Прн расчете плоского ламинарного пограничного слоя приближенными способами, излагаемыми в главе Х, контурные связи также играют важ- ную роль.
Смыкание пограничного слоя с внешним, т. е. с потенциальным, тече- нием также налагает некоторые общие ограничения на вычислительные операции. Этому вопросу посвящены исследования В. Толмина РЧ, Ф. Ригельса РЧ и А. Бетца П). В работе К.
Никкеля ПЧ даны некоторые оценки для толщины вытеснения пограничного слоя, а также для касатель- ного напряжения на стенке, а тем самым — и для положения точки отрыва, причем все это сделано без точного решения уравнений пограничного слоя. з 4. Преобразование уравнений пограничного слоя в уравнение теплопроводности В 1927 г. Р. Мизес [ВЧ указал на возможность примечательного преобразования уравнений пограничного слоя к виду, более четко раскрывающему их математические особенности. Для такого преобразования прямоугольные координаты х и у заменяются новыми независимыми переменными: координатой х и функцией тока ф. Вычислим в новых координатах $ = х, т) = ф производные ди/дх и дЫду.
Имея в виду, 151 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ чтО д$ д1у и = \ У= —— ду дх \ мы найдем ди ди дг ди дч ди ди — = — — + — — = — — У вЂ” р дх д1 дх дв дх д$ дф ди ди дг ди дч ди — = — — + — — =О+и —. ду д1 ду дч ду д1у Внеся эти выражения в уравнение (7.10), мы получим ди 1 др д у ди т и — + — — = ти — (и — ! д1 р с$ дф '1 дф! Далее, введем так называемое полное давление Š— — Р+ — У, Р г (8.29) (весьма малой величиной руг!2 мы пренебрегаем); тогда предыдущее урав- нение, если опять перейти от $ к х, примет вид д, дг, — = Ри —, дх дтг (8.30) причем необходимо помнить, что теперь, и = ь — [у — р(х)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
