Теория пограничного слоя Г. Шлихтинг под ред. Лойцянского Л.Г. (1013691), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Так как соз ~р сЬ = дх, где х измеряется в направлении, параллельном, направлению скорости набегающего потока, то формулу (7.19) можно переписать в следующем виде: ( д ) я — 0 (7.20) 9» В случае плоского обтекания цилиндрического тела мы получим для сопротивления трения формулу 9(Ы и(у/ тв 132 УРАВнениЯ пОГРАничнОГО слОЯ пРи плоском течении !ГЛ РП причем и в этом случае интегрирование должно быть выполнено вдоль всей обтекаемой поверхности от передней критической точки до задней кромки. Таким образом, для вычисления сопротивления трения требуется знание градиента скорости на стенке. Этот градиент может быть определен только путем интегрирования дифференциальных уравнений пограничного слоя.
Ксли отрыв пограничного слоя возникает до задней кромки обтекаемого тела, то вычисление по формуле (7.20) следует произвести только до точки ' отрыва. Далее, если ламинарный пограничный слой в каком-либо месте переходит в турбулентный, то интегрирование в формуле (7.20) следует выполнить до точки перехода. Позади этого места сопротивление трения подсчитывается иначе, а именно в соответствии с законами турбулентного течения, о чем будет сказано подробно ниже, в главе ХХП. При отрыве пограничного слоя распределение давления при подходящих обстоятельствах значительно отклоняется от теоретического распределения, соответствующего потенциальному течению жидкости беэ трения, что влечет за собой появление сопротивления давления.
Следовательно, теория пограничного слоя объясняет возникновение не только сопротивления трения, но и сопротивления давления. Однако для вычисления величины сопротивления давления теория пограничного слоя не дает простого способа. О приближенном определении сопротивления давления будет сказано в главе ХХЧ. з 5. Пограничный слой на пластине Прежде чем перейти в следующей главе к изложению ряда общих свойств дифференциальных уравнений пограничного слоя, рассмотрим здесь один конкретный случай, который позволит нам сразу войти в существо дела. Простейшим примером применения уравнений пограничного слоя является течение вдоль очень тонкой плоской пластины. Такое течение было исследовано в гйттингенской диссертации Г. Блаэиуса Р) как первая иллюстрация применения уравнений Прандтля.
Расположим начало координат в передней точке пластины, а ось х направим вдоль пластины параллельно направлению набегающего потока, имеющего скорость 17 (рис. 7.6). Длину пластины примем бесконечной, а течение будем предполагать стационарным. Таккак в рассматриваемом случае скорость потенциального течения постоянна, то дд =О, и уравнения пограничного слоя (7.10) — (7.12) принимают вид ди ди дзи и — +Р— =у —, дх ду диз (7.22) причем граничными условиями будут и=и=О при у=0; и= 17 при у=оо. (723) Так как вся рассматриваемая система не имеет. какой-либо характерной длины, то само собой напрашивается предположение, что профили скоростей и(у) на различных расстояниях х от переднего края пластины аффннноподобны между собой, т. е.
могут быть приведены в совпадение один с другим, если для и и у подобрать соответствующие масштабы '). В качестве в) С более общей точки зрения вопрос об аффвяяоств (вля вподобввв) профилей скоростей в пограявчвом слое будет рассмотрен в главе Ч!! !. Более строгая теория показывает, что взлагаемые виже соображения ве могут быть распространены ва вепосредствеввую окрестность передней промяв пластины; см.
об етом ниже, ва стр. 188. ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ НА ПЛАСТИНЕ масштаба для и выберем скорость 77 набегающего потока, а в качестве масштаба для у — толщину пограничного слоя 6 (х), возрастающую с увеличением координаты х. Тогда предположение о том, что все профили скоростей в пограничном слое аффинно-подобны между собой, может быть записано в виде где 6 есть время, отсчитанное от момента возникновения движения.
В применении к рассматриваемой задаче мы можем взять за 6 время, которое требуется частице жидкости для того, чтобы продвинуться от передней кромки пластины до точки с координатой х. Если частица течет время равно Рис. 7.6. Пограничный слой на плоской пластине, обтекаемой в продольном направленви.
вне пограничного слоя, то зто к Г7о, Следовательно, в'нашем случае для толщины пограничного слоя мы будем иметь оценку 6-1/ — '* . и Введем теперь вместо координаты у другую, безразмерную координату, разделив для этого у на 6, т. е. положим ч=— у 6 или, после замены 6 его значением, (7.24) Далее, с целью интегрирования уравнения неразрывности введем, как было указано в з 3 настоящей главы, функцию тока тр (х, у). Примем, что ф = У *(7-1(ч), (7.25) где 7" (Ч) есть безразмерная функция тока. Тогда для продольной составляю- щей и скорости мы получим выражение и = — = — — = 67 1' (Ч). дф дф д71 ду дч ду (7.26) где штрих у буквы / означает дифференцирование по Ч, а для поперечной составляющей и — выражение дф 1 / ж~У~ = — — = — у — "(ч~' — 1). дл 2У л причем функция ф должна быть одной и той же для всех расстояний х от передней кромки пластины.
Для оценки толщины пограничного слоя прибегнем к следующему способу. На основании ранее рассмотренных точных решений уравнений Навье — Стокса мы получили для толщины пограничного слоя, например, на пластине, внезапно приведенной в движение (см. З 1 главы т'), оценку 6 - 'у'т6, 134 РРАвнения пОГРАничнОГО слоя при плоском течении [гл. чп Подставив эти выралсения и и и в уравнение (7.21), мы получим для определения безразмерной функции тока 7'(т)) уравнение -— ' -'Ч)+ — '-()-а7-= — ' '-~-, 2х 2х .т'ч или, после упрощения, 2~" + 11" = О (7.28) т.
е. обыкновенное дифференциальное уравнение. Граничными условиями на основании равенств (7.23), (7.26) и (7.27) будут 1=0, 1'=О при 1)=О; 7'=1 при т)=со. (7.29) Таблица 7.1. Значения фуниции ) (Ч) для пограничного слоя на плоской пластине, обтекаемой в продольном направленнн. По Л. Хоуарту [м) тУО тх , У.Π—,. Ч=Р .„х и я=в О и я=в О 0,03897 0,02948 0,02187 0,01591 4,4 4,6 4,8 5,0 2,69238 2,88826 3,08534 3,28329 0,97587 0,98269 0,98779 0,99155 0 О, 00664 0,02656 0,05974 0,106П 0,16557 0 0,06641 0,13277 0,19894 0,26471 О,З2979 0,33206 О,33199 0,33147 0,33008 0,32739 0,32301 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 3,48189 3,68094 3,88031 4,07990 4,27964 0,01134 0,00793 0,00543 0,00365 0,00240 5,2 5,4 5,6 5,8 6,0 0,99425 0,99616 0,99748 0,99838 0,99898 0,23795 0,32298 0,42032 0,52952 0,65003 0,39378 0,45627 0,51676 0,57477 0,62977 0,31659 0,30787 0,29667 0,28293 0,26675 1,2 1,8 2,0 4,47948 4,67938 4,87931 5,07928 5,27926 0,00155 О,ООО98 0,00061 0,00037 0,00022 0,99937 0,99961 0,99977 0,99987 0,99992 6,2 6,4 6,6 6,8 7,0 0,78120 0,92230 1,07252 1,23099 1,39682 0,68132 0,72899 0,77246 0,81152 0,84605 0,24835 0,22809 0,20646 0,18401 0,16136 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0 5,47925 5,67924 5,87924 6,07923 6,27923 7,2 7,4 7,6 7,8 8,0 0,99996 0,99998 0,99999 1,00000 1,00000 0,00013 0,00007 0,00004 0,00002 0,00001 1,56911 1,74696 1,92954 2,11605 2,30576 0,87609 0,90177 0,92333 0,94112 0,95552 0,13913 0,11788 0,09809 0,08013 0,06424 3,2 3,4 3,6 3,8 4,0 8,2 8,4 8,6 8,8 6,47923 6,67923 6,87923 7,07923 О, 00001 О, 00000 0,00000 О, 00000 1, 00000 1,00000 1,00000 2,49806 0,05052 0,96696 4,2 Таким образом, применив аффинное преобразование, определяемое формулами (7.24) и (7.25), мы заменили два уравнения в частных производных (7.21) и (7.22) одним обыкновенным дифференциальным уравнением для функции тока.
Полученное уравнение — нелинейное и третьего порядка, следовательно, трех граничных условий (7.29) достаточно для полной определенности решения. Аналитические вычисления, необходимые для решения дифференциального уравнения (7.28), довольно затруднительны. Г.
Блазиус получил решение, применив разложение функции 7' (г)) в степенной ряд в окрестности точки а) = О и асимптотическое разложение для больших т) и затем сомкнув оба разложения в некоторой подходящим образом выбранной точке 7). Этот способ подробно изложен Л. Прандтлем в работе [ы). Позднее Л. Бэрстоу [г) и С. Голдстейн [а] еще раэ решили это уравнение несколько иным способом. 135 ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ НА ПЛАСТИНЕ Ч 57 До этого К. Тбпфер Р'! решил дифференциальное уравнение Блазиуса (7.28) путем численного интегрирования по способу Рунге — Кутта. Затем Л. Хоуарт [и! вновь решил это уравнение, выполнив все вычисления с большой точностью. Значения 7, 7", 7'", полученные Хоуартом, даны в таблице 7.1. В этой связи упомянем также о новом методе интегрирования„указанном Д.
Мексином !'а!. Распределение продольной скорости = 1'(ч); изображено на рис. 7.7. Мы видим, что теперь профиль скоростей, по сравнению со случаем течения в окрестности критической точки (рис. 5.10), имеет вблизи стенки очень небольпгую кривизну, но зато дальше от стенки он очень быстро приближается к асимптоте. На самой стенке профиль скоростей ,777 ~у'$! дз г г з л й г г й л л р-Ж у-Ф Рис. 7.7. Распределение скоростей в пограничном слое на плоской пластине. По Блааиусу рв Рис. 7.8. Поперечная скорость в погра- ничном слое на плоской пластине.
течения вдоль пластины имеет точку перегиба, так как при у = 0 вторая производная дви/дуе = О. Распределение поперечной скорости, определяемое формулой (7.27), изображено на рис. 7.8. Примечательно, что на внешнем крае пограничного слоя, т. е. при ч! -ь оо, поперечная скорость не равна нулю; вычисления дают для нее значение и =0,8604У Ь'~— у лет'ае Следовательно, на внешнем крае пограничного слоя имеется составляющая скорости, направленная перпендикулярно к плоскости пластины.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
