Теория пограничного слоя Г. Шлихтинг под ред. Лойцянского Л.Г. (1013691), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Это обстоятельство побудило Ф. Наме Л распространить гидродинамическую теорию смааки также на случай вязкости, аависящей от температуры; подробнее об этом будет сказано в главе ХП. При больших окружных скоростях вращения цапфы и при высоких температурах масла (малая вязкость) приведенное число Рейнольдса Яео, определяемое формулой (6.14), может стать близким к единице или даже больше единицы. Это означает, что теперь силы инерции сравнимы с силами трения, а потому выводы, сделанные на основе изложенной теории, становятся сомнительными. Можно попытаться распространить теорию на более высокие значения приведенного числа Рейнольдса следующим образом: использовав полученное выше решение, вычислить отброшенные ранее инерционные члены и затем найти улучшенное решение, учтя инерционные члены как известные активные силы.
Такой способ сходен со способом, примененным Озееном с целью улучшить решение Стокса для обтекания шара. Соответствующие вычисления выполнены В. Калертом Р). Они показали, что при повышении приведенного числа Рейнольдса примерно до яео = 5 силы инерции вносят в полученное ранее распределение давления поправки, не превышающие 10% (и для случая плоского ползуна, и для случая цапфы в подшипнике). Представление о совпадении теории с экспериментальными исследованиями можно получить иа работ Г.
Фогель- поля РЧ, (22). з 4. Течение Хнл-Шоу Решение уравнений (6.3) и (6 4) мы можем взять в следуюшем виде: и=ио(х у) (1 — — ), и ио(х, у) (1 — — ), и~=О, Р о ио (х1 у) о(х =- 2 ио (х у) о(у 22 (6.39) хо Другое весьма примечательное решение уравнений ползущего движения в трехмерном случае, т. е. уравнений (6.3) и (6.4), получается для течения между двумя параллельными плоскими пластинами, расположенными одна от другой на малом расстоянии.
Если между обеими пластинами поместить цилиндрическое тело с произвольным поперечным сечением, вплотную прилегающее своими основаниями к пластинам, то при течении жидкости между пластинами возникает такая же картина линий тока, как при потенциальном обтекании рассматриваемого тела. Таким путем Г. Хил-Шоу [о) определил картины линий тока для потенциального течения около тел самой различной формы. В том, что решение уравнений ползущего движения (6.3) и (6.4) действительно дает такие же линии тока, какие получаются при течении без трения, нетрудно убедиться следующим образом.
Воспользуемся прямоугольной системой координат, начало которой поместим в середине между обеими пластинами, оси х и у расположим в плоскости, параллельной пластинам, а ось з направим перпендикулярно н пластинам. Расстояние между пластинами обозначим через 2Ь. Пусть поток набегает на тело параллельно оси х со скоростью П .
На большом расстоянии от тела течение будет происходить так же, как в канале с параллельными стенками. В таком канале, как мы уже знаем из 3 1 главы т', имеет место параболическое распределение скоростей. Следовательно, в условиях настоящей задачи мы будем иметь 22 Ъ и = П (1 — — ), и = О, и2 = 0 при х = оо. 122 [гл. уг ПОЛЗУЩИЕ ДВИЖЕНИЯ где ио (х, у), эо (х, у) и ро (х, у) суть распределение скоростей и распределение давления при двумерном потенциальном обтекании рассматриваемого тела. Следовательно, функции ио, эо и ро удовлетворяют дифференциальным уравнениям дио дио г дро ио — + эо — = — —— дх ду р дх ' и — +э — = — —— доо доо $ дро О д„ О ду — р ду (6.40) дио доо 1 — + — =О.
дг ду 'Сразу видно, что решение (6.39) удовлетворяет уравнению неразрывности (6.4) и третьему из уравнений движения (6.3), т. е. уравнению движения для направления г. В том, что решение (6.39) удовлетворяет и двум другим уравнениям движения, легко убедиться путем подстановки в них выражений (6.39). При этом необходимо только учесть, что, поскольку функции ио и эо относятся к потенциальному течению, для них выполняется условие отсутствия вращения частиц, т. е.
дио доо — — — =0; ду дх следовательно, эти функции удовлетворяют уравнениям Лапласа Лио = О, Лэо — — О, где Л = дг/дхг + д'/ду' Первые два из уравнений (6.3) упрощаются и приводятся к виду др дги др дго =М 1 =)г дг дгг ду дгг ' Решение (6.39) удовлетворяет и этим уравнениям, в чем легко убедиться подстановкой в них выражений (6.39). Таким образом, распределение скоростей и распределение давления (6.39) действительно являются решением дифференциальных уравнений ползущего движения. Течение, определяемое уравнениями (6.39), имеет такие же линии тока, как и плоское потенциальное обтекание рассматриваемого тела, причем линии тока во всех слоях г = сопзй, параллельных пластинам, конгруэнтны.
Решение (6.39) удовлетворяет условию прилипания на обеих пластинах г = ~Ь, но не удовлетворяет условию прилипания на поверхности тела. В случае течения Хил-Шоу, так гце как и в случае течения смазочного масла в щели между ползуном и опорной поверхностью, отношение сил инерции к силам трения определяется приведенным числом Рейнольдса й'Б Ь (сео = — ", ( —,)~ (( 1о где Ь есть характерный линейный размер тела в плоскости ху. Как только число (тео становится больше единицы, силы инерции начинают играть существенную роль, и получаются отклонения от решения (6.39). Решение (6.39) можно улучшить таким х<е способом, как это было сде.лано в случае решения Стокса для обтекания шара или в случае решения для ползущего течения.
Для этой цели инерционные члены вычисляются из первого приближения и затем вводятся в уравнения в качестве внешних сил. Для случая течения Хил-Шоу около круглого цилиндра это было сделано Ф. Ригельсом (го). При (тео )1 жидкие струйки, расположенные в различных параллельных стенкам слоях, 'больше не конгруэнтны. Частицы жидкости, движущиеся вблизи обеих пластин, отклоняются при обтекании тела сильнее, чем частицы в середине между пластинами, так как скорость первых больше скорости вторых. Вследствие этого возникает своего рода размыв литнглтуРА к главк ч1 линий тока, который позади обтекаемого тела выражен сильнее, чем впереди (рис.
6.5). Гсвк.ння, нолучаемыо для ползущих движений, цо своей природе ограничены очень малыми чиснамн Рейиольдси. 1!разде, существует принци-. Часть вторая Ламннарные пограничные слон Глава тП Уравнения пограничного счоя при плоском течении. Пограничный слой на пластине 5 1. Составление уравнений пограничного слоя для течения вдоль плоской пластины 1 у Перейдем к рассмотрению второго предельного случая, случая очень малой вязкости или, в более общем виде, случая очень большого числа Рейнольдса. Знаменательный успех в исследовании движений жидкости при больших числах Рейнольдса был достигнут в 1904 г. Л. Прандтлем Ре), показавшим, каким образом проявляет себя вязкость при больших числах Рейнольдса и каким путем можно упростить дифференциальные уравнения Навье — Стокса для того, чтобы получить их приближенные решения в предельном случае очень малой вязкости.
С целью наиболее физически наглядного пояснения способа, позволяющего упростить уравнения Навье — Стокса для случая очень малой вязкости, остановимся на простом примере плоского течения около тонкого цилиндрического 91е1 ' тела (рис. 7.1). На некотором расстоянии от поверхности тела внутри жидкости преобладают, вследствие малой вязкости, силы инерции, действие же вязкости там почти не проявляется. Скорость течения почти до самой поверхности тела имеет порядок скорости у вдали от тела.
Картина линий тока, а также распределение скоростей внутри жидкости практически имеют такой же вид, как и при потенцигее. тл. пеереее нпв геев ее альном течении жидкости без трения. Однако более точные наблюдения показывают,что жидкость не скользит по поверхности тела, как при потенциальном течении, а прилипает к ней. Переход от нулевой скорости на стенке к полной скорости, существующей на некотором расстоянии от стенки, совершается в очень тонком слое, называемом пограничным слоем или слоем трения. Следовательно, мы должны различать в рассматриваемом течении две области, между которыми, правда, нельзя провести резкой границы: 1.
Первая область — очень тонкий слой в непосредственной близости от тела. В этой области градиент скорости ди/ду в направлении, перпендикулярном к стенке, очень велик (пограничный слой), а вязкость р, как бы она ни была мала, оказывает существенное влияние на течение, поскольку здесь касательное напряжение т = р ди/ду, вызванное трением, может принимать большие значения. 125 состАВление уРАВнений НОРРАничнОРО слОя 1 1 бз ди ди ди др 1 — +и — +и — = — — +— д1 дх ду дх йе (7.1) для направления х б б ди ди ди — +и — +у — = д1 дх ду б 1 б б др — — +— ду Йе (7.2) для направления у 1 б бй Безразмерным уравнением неразрывности будет — + — =.
О. ди ди (7.3) 1 1 Граничными условиями будут: прилипание жидкости к стенкам, т. е. и=у=О при у=О, и совпадение скорости и на внешнем крае пограничного слоя со скоростью 77 внешнего течения, т. е. и = П при у-и со. 2. Вторая область — все остальное течение вне пограничного слоя. В этой области градиент скорости не достигает таких больших значений, как в пограничном слое, поэтому действие вязкости здесь не играет роли и можно считать, что течение здесь потенциальное.
Как правило, пограничный слой тем тоньше, .чем меньше вязкость нли, в более общей формулировке, чем больше число Рейнольдса. В главе у' мы выяснили на основании некоторых точных решений уравнений Навье— Стокса, что толщина пограничного слоя пропорциональна корню квадратному из кинематической вязкости, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
