Теория пограничного слоя Г. Шлихтинг под ред. Лойцянского Л.Г. (1013691), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Граничными условиями теперь, вместо условий (5.49), будут (5. 53) 6=1, 6=0 Н=О, Р=О при ь"=О; при Ь = оо. Р=О, Р= О, Решение системы уравнений (5.53) впервые было дано Т. Карманом (хз) приближенным способом. Впоследствии В. Кохрэн [з) вычислил значения функций Р, 6, Н, Р более точно посредством численного интегрирования '). Эти значения даны в таблице 5.2 (стр. 104); на рис. 5.12 они изображены в виде графиков. г) Решение Кохрзна заключалось в следую|цем: для каждой из искомых функций составлялся сначала степенной ряд для значения 4 = О, а затем — асимптотическое разложение для больших значенин 4,после чего оба ряда смыкались при некотором среднем значении 4. 103 О 2) ДРУГИЕ ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ Схема решения системы уравнений (5.53) в точности такая же, как и для пространственного течения в окрестности критической точки: сначала из уравнения неразрывности и двух уравнений движения для направлений, параллельных стенке, определяется поле скоростей, а затем из третьего уравнения движения для направления, перпендикулярного к стенке, вычис- од ляется распределение давления.
Из рис. 5.52 видно, что расстояние от вращающейся стенки, на котором окружная скорость течения понижается до половины окружной скорости стенки, равно 05.5 = ~/ —- дд (д дд гд хд .Р7 дд д Далее, полученное решение показы- ~ л)Е)." воет, что если толщина б ж )/ у~'О) мала Рис. 5Л2. Распределение скоростей вблиеи диске, врещеющегося в неподвижной жидкото составляющие и и Р скорости имеют сти. Си. также таблицу 5.2.
заметные значения только в тонком слое толщиной )г' т)го. Составляющая скорости гд, перпендикулярная к стенке, пропорциональна величине )г тю и, следовательно, мала во всем пространстве. Вообразим, что стенка неподвижна,' а жидкость на большом расстоянии от диска вращается; тогда для определения угла, образуемого относительными линиями тока около стенки с окружным направлением, мы получим уравнение г ди/дл 5 5" (О) 0,510 28гро= — ~ — ) = —, = ' =0,838, 1 до/дл у =О 6'(О) 0,616 Откуда 'ро = 39,6'.
Хотя предыдущие вычисления выполнены для бесконечно протяженного диска, тем не менее полученные результаты можно применить к круглому диску конечного радиуса Л, если только этот радиус велик по сравнению с толщиной б слоя, увлекаемого диском. Вычислим момент сопротивления такого диска. Кольцо шириной Нг и радиусом г дает момент сопротивления 5)М = — 2яг сгг гт,, где "' ) (дл)о есть окружная составляющая касательного напряжения на стенке. Следовательно, момент сопротивления всего диска, смачиваемого жидкостью с одной стороны, будет в М= — 2я) гйт, 5(г. о Окружная составлятощая т, касательного напряжения на стенке, в соответствии со вторым нз равенств (5.52), равна т, = ргрт~тотлЖ' (О).
464 ТОЧНЫБ РБШБНИЯ УРАВНБНИИ НАВЬБ — СТОКСА [ГЛ, У Т а б л и ц а 5.2. Значения фуккпий, определяющих распределеиие скоростей и распределекие давления в пограничном слое ка диске, вращающемся в иеподвйжиой жидкости (по В. Г. Кохрэяу (е)); ср. с соотиошеииями (5.52) 6=ив т Подставив это значение в выражение для момента ЛХ и удвоив последний, мы получим момент сопротивления диска, смачиваемого жидкостью с обеих сторон: 2М = — ярЛ' (таз)тЖ (0) 0 616ярА' (тозе)г7г (5.54) В технических расчетах принято вводить в выражение момента сопротивления безразмерный коэффициент См= (5.55) ,г77з р 2 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,8 3,0 3,2 3,4 3,6 3,8 4,0 4,2 4,4 0 О, 046 О, 084 0,114 0,136 0,154 0,166 0,174 0,179 0,181 0,180 0,177 0,173 0,168 0,162 0,156 О, 148 0,141 0,133 0,126 0,118 0,111 0,104 0,097 0,091 0,084 0,078 0,068 0,058 0,050 0,042 0,036 О, 031 0,026 0,022 0,018 0 1,0 0,939 0,878 0,819 0,762 0,708 0,656 0,607 0,561 0,517 0,468 0,439 0,404 0,371 0,341 0,313 О, 288 0,264 0,242 0,222 0,203 0,186 0,171 0,156 0,143 0,131 0,120 0,101 0,083 0,071 0,059 0,050 0,042 0,035 0,029 0,024 0 0 О, 005 0,018 0,038 0,063 0,092 0,124 0,158 0,193 0,230 0,266 0,301 0,336 0,371 0,404 0,435 0,466 0,495 0,522 0,548 0,572 0,596 0,617 0,637 0,656 0,674 0,690 0,721 0,746 0,768 0,786 0,802 0,815 0,826 0,836 0,844 0,886 0 0,092 0,167 0,228 0,275 0,312 О, 340 0,361 0,377 0,388 0,395 0,400 0,403 0,405 0,406 0,406 0,405 0,404 0,403 0,402 0,401 0,399 0,398 0,397 0,396 0,395 0,395 0,395 0,395 0,395 0,394 О, 394 0,393 0,393 0,393 0,393 0,393 0,510 0,416 0,334 0,262 0,200 0,147 0,102 0,063 0,032 0,006 — 0,016 — О, 033 — О, 046 — О, 057 — О, 064 — 0,070 — 0,073 — О, 075 — 0,076 — 0,075 — О, 074 — 0,072 — 0,070 — О, 067 — О, 065 — О, 061 — О, 058 — 0,052 — О, 046 — О, 040 — О, 035 — О, 030 — О, 025 — О, 022 — О, 019 — О, 016 0 0,616 0,611 0,599 0,580 0,558 0,532 0,505 0,476 0,448 0,419 0,391 0,364 0,338 0,313 0,290 0,268 О, 247 О, 228 0,210 0,193 0,177 0,163 0,150 0,137 0,126 0,116 0,106 0,089 0,075 0,063 0,053 О, 044 О, 037 0,031 0,026 0,022 0 105 дртгие точные Решения 5 2) составленное для радиуса и окружной скорости, и учесть, что — 2я6' (О) = = 3,87, 3,87 С, йеЕЛ2 (5.561 Зта формула для момента трения графически изображена на рис.
5.13 в видо кривой 1. На этом же рисунке отмечены для сравнения экспериментальные значения См [85[ До числа Рейнольдса Нн = 3 10' совпадение теории 7() й3К~ г() г(у 4с г г гугг)г г г гу1ян г г гув)г г Р~о) Рг= — ~— Рис. 5.18.
Ксеффипнент момента сопротивления См песка, вращающегося в неподвижной жидкости: кривая (1) соответствует ламииарному течению (формула (5.58)), а кривые (у) и (а) — турбулентному течению (формулы (21.25) и (2!.28)]. [формула (5.56)) с измерениями очень хорошее. При ббльших числах Рейнольдса около диска возникает турбулентное течение. При таком течении, которое подробно будет рассмотрено в главе ХХ1, для безразмерного коэффициента См получаются кривые 2 и 3.
Более старые измерения, также удовлетворительно совпадающие с теорией, были выполнены Г. Кемпфоа( [15) и В. Шмидтом [та!. Еще раньше Д. Рябушинский ['а[, [та) из очень тщательных измерений вывел эмпирические формулы для момента сопротивления вращающихся дисков, которые хорошо совпадают с найденными впоследствии теоретическими формулами. Секундный объем жидкости, отбрасываемой наружу вследствие центробежного эффекта с одной стороны диска, равен (г= 2я1( ') и ([2, с=0 В нашем случае этот коэффициент, в соответствии с формулой (5.54), равен Епо' (О) тмз См=— Л 1/2 или, если ввести число Рейнольдса )(тю Йе= —, 106 точные Решения уРАВнений навьи — стоксА [гл.
у где В есть радиус диска. Вычислив интеграл, мы получим для () формулу )',) = 0,886я1[зУтю = 0,886Л1(ею[те Ю'. (5.57) Такой же секундный объем жидкости притекает к диску в осевом направлении. Так как давление около диска имеет одинаковый порядок с величиной рты, то при малой вязкости оно изменяется очень мало, и притом только в направлении, перпендикулярном к стенке; в радиальном направлении оно остается постоянным.
М. Г. Роджерс и Г. Н. Леус ['Ч обобщили рассмотренную задачу исследован случай, когда жидкость в бесконечности вращается с угловой скоростью,ьз = зю. Для такой обобщенной задачи второе из уравнений системы (5.53) заменяется уравнением Рз + ГН вЂ” 6з — г'к + зз = О, аз второе граничное условие для функции 6 (Ь) принимает вид с' (оо) = г (см. в связи с этим рассмотренное в $ 1 главы Х1 вращательное движение жидкости над неподвижным диском).
Численные решения для случая вращения жидкости и диска в одну и ту же сторону (з ) О) даны в работе [зЧ. В случае вращения жидкости и диска в противоположные стороны (г ( — 0,2) решения, имеющие физический смысл, возможны только при применении равномерно распределенного отсасывания в направлении, перпендикулярном к плоскости диска. Течение около вращающегося диска, помещенного в кожух, будет рассмотрено ниже, в главе ХХ1. Особый интерес представляет следующее обстоятельство.
Только что полученное точное решение уравнений Навье — Стокса для течения около вращающегося диска, а также ранее полученные точные решения для течений в окрестности критической точки обладают свойствами, характерными для пограничного слоя (в смысле, поясненном в предыдущей главе). В самом деле, эти решения показывают, что в предельном случае очень малой вязкости область течения, на которую распространяется влияние трения, заключена в весьма тонком слое вблизи твердых стенок, в то время как во всем остальном пространстве течение происходит практически так же, как если бы трения не было, т. е. как если бы течение было потенциальным. Далее, рассмотренные примеры показывают, что толщина слоя, в котором проявляется действие трения, имеет величину порядка )Iт,.
Решения, полученные в предыдущем параграфе для слоистых течений, также обладают свойствами, характерными для пограничного слоя. В этой связи упомянем также о полученном Г. К. Бэтчелором [Ч решении уравнений Навье — Стокса для течения между двумя дисками, вращающимися в противоположные стороны; см. по этому поводу также работу К. Стюартсона [зЧ. Обобщение изложенного выше решения на случай равномерно распределенного отсасывания жидкости от диска дано Дж. Т. Стюартом ([зЧ в главе Х1Ч). г2.
Течения в суживающемся и расширяющемся каналах. Дальнейший класс точных решений уравнений Навье — Стокса получается следующим образом. Предположим, что в плоском течении все лучи, проходящие через некоторую точку, являются ливиями тока. Пусть, далее, скорость течения на отдельных лучах различная, т.
е. изме- ляется вместе с полярным углом ф. Те лучи, на которых скорость равна нулю, могут рассматриваться как стенки суживающегося или расширяющегося канала. Уравнение неразрывности выполняется, если скорость на каждом луче изменяется обратно пропорционально расстоянию от нулевой точки.
Следовательно, радиальная скорость и должна удовлетворять соотношению р Р(ф) т мли, если потребовать, чтобы величина г (ф) была безразмерной, соотношению т к — р (ф). г ДРУГИЕ ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ Окружная скорость о всюду должна быть равна нулю. Введем эти значения скоростей в уравнения Навье — Стокса в цилиндрических координатах (3.33) и исключим из уравнений для направлений г и (р давление: тогда для определения функции р ( р) мы получим дифференциальное уравнение 2РР'+ 4Р' + Р« = О, из которого после однократного интегрирования найдем Рв + 4Р + Р" + К = 0 (5.58) Постоянная К в этом уравнении равна радиальному градвенту давления на стенках, т. е. др гз К= — —— р дг »з — -С»==-ж — [5= еужоуоющодея иоиеи О/(е) Ое роеюеряюи/оогя /оияи Ое Ое Ог На стенках, где (р= а и (у = — а, функция р равна нулю При ф = 0 равна нулю производная р'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
