Теория пограничного слоя Г. Шлихтинг под ред. Лойцянского Л.Г. (1013691), страница 24
Текст из файла (страница 24)
26а) Таким образом, жидкость вблизи стенки совершает колебательное движение с убывающей по мере удаления от стенки амплитудой Усе "~ "~~", причем з) И ата задача сначала была рассмотрена Г. Г. Отекаем [ , 'и только затем — 'Рай- !ем ли [зз[. слоистые течения 8. Общий класс нестационарных решений уравнений Навье — Стокса.
Уравнения Навье — Стокса допускают точные решения также в том случае, когда составляющие скорости течения не зависит от координаты з в направлении, параллельном стенке. Таким точным решениям соответствуют нестационариые течения. Система уравневий (3.32) и (3.33) принимает для плоского течения вид ди до 1 др дзи — +о — = — — — +т —.
д1 ду р дз дуз до 1 др дг р ду — =О. ди ду (5.27в) (5.276) Пусть около стенки имеет место постоянная скорость о, ч, О (скорость отсасывания). Тогда уравнение (5.27в) сразу удовлетворяется подстановкой г = оо, а из уравнения (5.27б) следует, что давление р не зависит от у. Положив в соответствии с этим 1 др сК~ р дэ дг ' где (1(1) есть «внешняя скорость» на очень большом расстоянии от стенки, мы получим из уравнения (5.27а) следующее уравнение для определения и (у, 1): ди ди д(1 дзи — +зо — = — +т —. дг ду Ш дуз Как показал Дж. Т. Стюарт (зз), для проиавольной внешней скорости и П) = По [1 + ) (1)) (5 29) (5.28) существует точное решение уравнения (5 28), имеющее вид и(Уо 1) = По (4(У) + д(Уо 1))~ где (5.30) ~ (у) 1 езоо/о Подставив выражения сг (1) и и (у, 1) с учетом равенства (5.31) в получим для определения неизвестной функции д (у, 1) = д (Ч, Т) производных (5.31) уравнение (5 28), мы уравнение в частных дг дд дзд — — 4 — =Т(Т)+4— дТ дт) дт)з с граничными условиями у=о при о)=О; у=( при о)= оо.
(5.32) В уравнение (5.32) введены безразмерные переменные У ( — оо) гоо Ч Т=— т ' 4о (5.33) ') Решение (5.26а) к его графическое изображение на рис. 5.8 представляют также распределение температуры в поверхностном слое Земли, возникающее вследствие периодических, связанных с временами года, изменений температуры поверхности Земли. колебание слоя жидкости, находящегося от стенки на расстоянии у, имеет по сравнению с колебанием стенки смещение по фазе у у'п12т в направлении, противоположном движению стенки. На рис. 5.8 изображены кривые распределения скоростей для различных моментов времени.
Два слоя, находящиеся один от другого на расстоянии 2лй = 2л'у'2~!и, колеблются в одинаковой фазе. Это расстояние можно рассматривать как своего рода длину волны колебания. Слой х<идкостн, приводимый стенкой в колебательное движение, имеет толщину б у'тгп. Следовательно, он тем тоньше, чем больше частота колебаний и чем меньше кинематнческая вязкость 1).
точные Решения УРАВнениИ нАВье — стОксА (гл. Решения уравнения (5.32) исследованы Дж. Ватсоном [") при помощи преобразования Лапласа для некоторых специальных функций ( (Т). В частности, были рассмотрены следующие типы внешнего течения Г (5): а) незатухающие и затухающие колебания; б) скачкообразное изменение скорости от одного постоянного значения к другому; з) линейное увеличение скорости от одного постоянного значения к другому. В частном случае постоянного зо времени внешнего течения, т. е.
з случае, когда у (5) = О,из уравнения (5.32)получается простое решение д (гь Т) =- О. При таком решении профиль скоростей, соответствующий распределению (5.30), переходит з асимптотическяй профиль ((4.6], получающийся при отсасывании пограничного слоя. 3 2.
Другие точные решения Особая простота слоистых течений, исследованных в предыдущем параграфе, заключается в том, что для всех них конвективное ускорение, делающее уравнения движения нелинейными, всюду тождественно равно нулю. Рассмотриы теперь несколько примеров течений, для которых конвективное ускорение не равно нулю, но уравнения Навье — Стокса, на этот раз уже нелинейные, тем не менее допускают точное решение.
Однако во всех этих случаях речь будет идти о ста- Г -'— ционарных течениях. 0 9. Плоское течение вблизи критической' точки. Первым — у, простым примером указанного !а а х Р ! рода течений является плоское ь,рз .;;АР -чье~~ з." У5охж"~„т"А;": течение вблизи критической точки (рнс. 5.9). При таком течеРию 5Я. Плоское течезие в окрестзчотз критиччеиоа гочки. нии жидкость подходит из бесконечности к стенке, поставленной поперек течения, и далее течет вдоль нее в противоположные стороны от критической точки О. Совместим ось х со стенкой, ось у направим перпендикулярно к стенке, а начало координат расположим в критической точке.
Следовательно, координатами критической точки будут х = О; у = О. В окрестности критической точки составляющие скорости потенциального течения, т. е. течения без трения, равны У=ах, )' = — ау, где а есть постоянная. Давление в потенциальном течении определяется из уравнения Бернулли и равно р — р= — ', (П'+~ )= 2 "(х'+у') и = х)' (у), и = †1(у), р — р= 2 а'Ф+Р(у)1. (5.34) (5.35) Распределение скоростей (5.34) тождественно удовлетворяет уравнению неразрывности (4.4а), и для определения функций ) (у) и Р (у) остаются где ро есть давление в критической точке, а р — давление в произвольной точке течения. Но в то время как прн потенциальном течении жидкость скользит вдоль стенки, при вязком течении она должна прилипать к последней. В соответствии с этим примем, что в вязком течении в окрестности критической точки распределения скоростей и давлений определяются формулами ДРУГИЕ ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ в ю два уравнения Навье — Стокса (4.4) плоской задачи.
Подставив в них значения и, и и р из равенств (5.34) и (5.35), мы получим для определения 7' и Г два обыкновенных дифференциальных уравнения: У" — )/" =а' + у~", П' = — Г' — 1". 2 На стенке, т. е. при у = О, обе составляющие скорости и и и должны быть равны нулю; на большом расстоянии от стенки, при у,= оо, составляющая и должна быть равна и = П = ах; кроме того, давление в критической точке должно быть равно р = рю Следовательно, граничные условия, которым должны удовлетворять функции 7' (у) и Г (у), будут 7"=О, 7'=О, Г=О при у=О; а при у = оо.
Уравнения (5.36) и (5.37) представляют собой два дифференциальных уравнения для функций 7 (у) и Г (у), определяющих распределение скоростей и распределение давления. Так как первое уравнение не содержит функции Г (у), то сначала можно определить из него функцию ) (у), а затем, зная эту функцию, найти из второго уравнения функцию Г (у). Нелинейное уравнение (5.36) не может быть решено в замкнутой форме.
Для численного решения целесообразно сначала преобразовать его так, чтобы постоянное слагаемое ат и постоянный множитель у выпали. Этого можно достичь посредством следующего аффинного преобразования: т) = ау, ~ (у) = А~р (т(). После такой подстановки уравнение (5.36) примет внд а'А' (~р" — ~р~р") = а' + уАаз~р"', где штрихи у ~р означают теперь дифференцирование по т).
Из полученного уравнения видно, что все его коэффициенты будут равны единице, если положить атАт = а', уАаа = ат, следовательно, принять, что А = )/ уа, ст = ~/— Подставив эти значения в формулы аффннного преобразования, мы получим т(= ~г — у, 7 (у) = — )/ау ~р (тО. (5.38) Таким образом, вместо уравнения (5.36) мы имеем теперь более простое дифференциальное уравнение ~р"' + ~р р" — ~р" + 1 = 0 (5.39) с граничными условиями ср' = 0 прн т) =- 0; р=О, ф = 1 при т~ = сс. Разделив и на ст, т.
е. составляющую скорости вязкого течения, параллельную стенке, на такую же составляющую скорости потенциального течения, мы получим ц = —,Г(у)=ч'(тО 7 Г. Шлиттзнг ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ НАВЬŠ— СТОКСА 'егл. тг 98 Численное решение дифференциального уравнения (5.39) впервые было выполнено К. Хименцем [м[, а ватем более точно — Л. Хоуартом Ра]. Графически полученное решение изображено на рис. 5.10 (см. также таблицу 5.1). Кривая ~р'(Ч) начинается при нулевом значении т[ и вблизи этого аначения имеет прямолинейный участок; затем она асимптотически приближается к значению <р'(т[) = 1.
Приблизительно при Ч = 2,4 функция ~р' = 0,99, т. е. отличается от своего конечного эначения на 1%. Приняв расстояние у от стенки, соответствующее эначению т[ = 2,4, за толщину 6 пограничного слоя, мы получим из первого равенства 4Б (5.38) следующую формулу для толщины пограничного слоя: 6 = т[5 ~/у — ' = 2,4 ~/ — ' . (5. 40) /Б Б Д, «Б УБ /Б ББ ~5 ББ ББ у-фуу «-фг ББ Таким обрааом, при плоском течении в окрестности критической точки толщина слоя, на который распространяется влияд4 ние трения, при малой вяакости мала и пропорциональна квадратному корню иэ ББ кинематической вязкости,,т.
е. изменяется при уменьшении у так же, как и при течениях, рассмотренных в э 1. Поперечный "градиент давления др/ду пропорциоРис. 5лс. Распределение скоростеа при пален ра [/уп, следовательно, при малои плоском и пространственном течении в ок- Вяэкости очень мал. рестности критическое точки (см, также таблицу 5 л Ь Необходимо обратить внимание на следующее примечательное обстоятельство: безразмерное распределение скоростей и/6/ и толщина пограничного слоя 6, определяемая формулой (5.40), не аависят от координаты лт т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
