Теория пограничного слоя Г. Шлихтинг под ред. Лойцянского Л.Г. (1013691), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Для этого введем функцию тока ф (х, у), т. е. положим Во евшие сВОИстВА УРАВыений НАВье — стОксА [ГЛ. 1У Одинаковая. При увеличении числа Рейнольдса на задней стороне шара возникает возвратное течение и отрыв. Вихревая напряженность концентрируется все более и более на задней стороне шара, область же впереди шара г) г) Рис. 0,1. течение вяакой я<иякости около шара при рааличиых числах Рейнолаяса яе = ушт, вычисленное по уравнению переноса вихрей 11.10).
а), б), г) — картины линий тока; г), д), г) — распределение вихревой напряженности ы О)Ю о), г) Яе = 5; с)у= 8,0; отрыва нет; б), д) Ке = 20; с)р= 2,9; отрыв прн о = 171', г), г) Яе = 10; си,= 1,9; отрыв прн т 118'. По В. Г. Иенсону И. Остается свободной от вращения частиц. Эти результаты, полученные из уравнений Навье — Стокса, хорошо показывают характерные изменения картины течения при увеличении числа Рейнольдса. Впрочем, необходимо отметить, что даже при наибольшем числе Рейнольдса(ухе = 40, рис. 4.1, д и 4.1, е) пограничный слой еще не. успевает полностью сформироваться.
в 4. Предельный случай очень больших сил вязкости (очень малое число Рейнольдса) При очень медленных течениях, а также прн течениях очень вязких ;кидкостей силы трения значительно больше, чем силы инерции. В самом деле, силы трения пропорциональны первой степени скорости, а силы инерции — квадрату скорости. Поэтому в первом приближении мы можем полностью пренебречь инерционными членами по сравнению с членами, зависящими от вязкости, и тогда вместо уравнения (4.10) мы будем иметь линейное дифференциальное уравнение схЛч() = О.
(4.11) Возможности для решения такого уравнения значительно птире, чем для решения полного уравнения (4.10). Течения, удовлетворяющие уравнению (4.11), называются иолзупгими движени ми. С математической точки зрения отбрасывание инерционных членов в предельном случае очень медленного движения вполне допустимо, так как при этом порядок дифференциального уравнения не понижается, и поэтому решения более простого пРедельный случАЙ Очень мАлых сил вязкости 81 дифференциального уравнения (4.11) позволяют удовлетворить такому же количеству граничных условий, как и решения полного уравнения (4.10).
Ползущие движения можно рассматривать как решения уравнений Навье — Стокса для предельного случая очень малых чисел Рейнольдса (ген — О), так как число Рейнольдса есть не что иное, как отношение сил инерции к силам трения. Решение уравнения (4.11) было получено Г. Г. Стоксом для шара и Г. Ламбом для круглого цилиндра. Решение Стокса применимо, например, к падению капель тумана в воздухе, а также к падению маленьких шариков в густом масле. В самом деле, в обоих этих случаях скорости настолько малы, что с большой степенью приближения можно пренебречь силами инерции.
Гидродинамическая теория смазки, в которой изучается течение смазочного масла в очень узком промежутке меягду цапфой и подшипником, также основана на уравнениях ползущего движения. Правда, при вращении цапфы в подптипнике скорости движения в слое масла отнюдь не малы, но очень малое расстояние между цапфой и подшипником и сравнительно большая вязкость смазочного масла приводят к тому, что силы трения получаются значительно ббльшими, чем силы инерции. Впрочем, необходимо отметить, что технические применения теории ползущего движения, если не считать теории смазки, весьма ораничены.
Наоборот, другой предельный случай, при котором в уравнении (4.10) члены, зависящие от вязкости, значительно меньше инерционных членов, имеет большое значение для практических приложений. Так как наиболее важные в техническом отношении жидкости — воздух и вода — обладают весьма малыми коэффициентами вязкости, то только что указанный предельный случай обычно имеет место при более или менее высоких скоростях. В этом предельном случае число Рейнольбса очень велико (йп-т- оо). Однако вытекающая отсюда воэможность математического упрощения дифференциального уравнения (410) требует весьма большой осторожности. Нельзя просто вычеркнуть члены, зависящие от вязкости, т. е.
всю правую часть уравнения (4.10), так как это понизило бы порядок дифференциального уравнения с четвертого до второго и поэтому решения упрощенного дифференциального уравнения не могли бы удовлетворять граничным условиям полного дифференциального уравнения. Поставленный вопрос об упрощении уравнений Навье — Стокса в предельном случае очень большого числа Рейнольдса является одним' из основных вопросов теории пограничного слоя . В следующем параграфе мы покажем на простом примере, какие общие выводы монгно сделать о решениях уравнений Навье — Стокса в предельном случае очень болыпого числа Рейнольдса, т. е. в случае, когда силы вязкости очень малы по сравнению с силами инерции.
5 5. Предельный случай очень малых сил вязкости (бчень большое число Рейнольдса) Наглядное представление о характере решений уравнений Навье— Стокса для предельного случая очень малой вязкости или очень малой величины сил трения по сравнению с силами инерции можно получить из следующей аналогии. Распределение температуры 0 (х, у) в окрестности нагретого тела, обтекаемого жидкостью, определяется, как это будет показано в главе Х11, дифференциальным уравнением (4.12) В этом уравнении р есть плотность, с — удельная теплоемкость и ),— коэффициент теплопроводности текущей среды; тг есть разность между 6 Г. шниитннг 82 ОБЩИЕ СВОЙСТВА УРАВНЕНИИ НАВЬŠ— СТОКСА гл.
Ру температурой Т температурного поля вокруг тела и постоянной температурой Т жидкости на очень большом расстоянии от тела, т. е. 6 = Т вЂ” Т Поле скоростей и(х, у) и и(х, у), входящих в уравнение (412), следует считать известным. Температура То на контуре обтекаемого тела предполагается заданной, причем в простейшем случае она постоянна во всех точках контура и во все моменты времени, в общем же случае она изменяется при переходе от одной точки контура к другой и зависит от времени. Вообще температура Т, может быть больше или меньше температуры Т, т. е. То ~~ ~~ Т . С физической точки зрения уравнение (4.12) выражает не что иное, как тепловой баланс единицы объема жидкости. В левой части уравнения мы имеем иаменение количества теп® ла вследствие конвенции, а в правой части — изменение количества тепла вследствие теплопроводности. Теплота, возникающая вследствие внут- и ЧЕБ реннего трения, принимается пренебрежимо малой и не учитывается.
Если То ) Т, то задача состоит в определении температурного поля в окрестности нагретого тела, охлажРнс. С2. Аналогия между раснределеннем температуры н раслределеннем анхреаой напряжен- даЕМОГО ПОТОКОМ ЖИдкОСтИ. СраВ- нивая уравнение (4 12) с уравнечення; б) та же граннна лрн большой сяоростн пнем (4.6) для вихревой напрятечення.
женности гя, мы видим, что оба уравнения имеют сходную структуру. Уравнение (4.6) сразу переходит в уравнение (4.12), если вихревую напряженность го заменить разностью температур 6, а кинематическую вязкость — величиной Х/рс. Граничному условию д = О на большом расстоянии от тела соответствует условие аг = О для невозмущенного параллельного течения на большом расстоянии от тела.
Следовательно, можно ожидать, что решения обоих уравнений (4.6) и (4.12), т. е. распределение вихревой напряженности и распределение температуры, имеют в окрестности тела сходную структуру. Структура температурного поля в окрестности тела более или менее ясна иа чисто наглядных соображений. В предельном случае, когда скорость течения равна нулю (случай покоя), тепло от нагретого тела распространяется в окружающую среду равномерно во всех направлениях. То же самое происходит и при очень малых скоростях течения.
При больших же скоростях течения картина распространения тепла, как легко себе представить, становится иной, а именно по мере увеличения скорости область течения, подвергающаяся нагреванию, все более и более стягивается, образуя узкую зону в непосредственной окрестности тела и длинный след нагретой жидкости позади тела (рис. 4.2).
Аналогичный характер имеет и решение уравнения (4.6) для вихревой напряженности. При небольших скоростях течения (силы трения велики по сравнению с силами инерции) вращение частиц жидкости возникает во всей окрестности тела. Напротив, при больших скоростях течения (силы трения малы по сравнению с силами инерции) следует ожидать такого поля течения, в котором вращение частиц жидкости сосредоточено в узкой зоне вдоль поверхности обтекаемого тела и в следе позади тела, во всей же остальной области течения практически не происходит вращения частиц (см. рис.
4.1). Таким образом, можно предполагать, что в предельном случае очень малых сил трения, т. е. очень большого числа Рейнольдса, решения у равнений Навье — Стокса обладают таким свойством, что все поле течения можно разделить на две области: на область тонкого слоя, облегающего пэедельныи случАЙ Очень мАлых сил Вязкости 83 обтекаемое тело и распространяющегося позади тела в виде узкого следа, и на область внешнего течения, отделенного от тела только что указанным слоем. Внешнее течение свободно от вращения частиц, следовательно, подчиняется законам движения жидкостей, не обладающих трением, и поэтому может быть рассчитано как потенциальное течение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
