Теория пограничного слоя Г. Шлихтинг под ред. Лойцянского Л.Г. (1013691), страница 21
Текст из файла (страница 21)
В тонком же слое около тела частицы жидкости при течении вращаются, и поэтому здесь течение должно рассчитываться на основе уравнений Навье — Стокса. Только в этом тонком слое силы трения играют существенную роль, т. е. величина этих сил имеет здесь одинаковый порядок с величиной сил инерции. Этот тонкий слой около тела называется пограничным слоем иаи слоем трения. Идея пограничного тела впервые была введена в механику жидкостей, как уже отмечалось выше, в начале ' текущего столетия Л.
Прандтлем и оказалась весьма плодотворной. Лишь после того, как все поле течения вокруг обтекаемого тела было разделено на внешнее течение, свободное от вращения частиц, н на пограничный слой, в котором только и проявляет свое действие трение, удалось уменьшить.
математические трудности, связанные с интегрированием уравнений Навье — Стокса, и притом настолько, что для многих случаев интегрирование сказалось возможным выполнить. Такое интегрирование уравнений Навье — Стокса на основе идеи Л. Прандтля и составляет содержание теории пограничного слоя, излагаемой в последующих главах. В том, что в предельном случае очень большого числа Рейнольдса вблизи тела существует тонкий слой, в котором в основном только и проявляет себя трение, можно убедиться в некоторых простых случаях путем прямого решения уравнений Навье — Стокса.
Подробно мы рассмотрим эти случаи в следующей главе. Известные в настоящее время решения уравнений Навье — Стокса, полученные путем численного анализа, также показывают, что в предельном случае очень больших чисел Рейнольдса существует тонкий пограничный слой, в котором сосредоточено влияние вязкости. К этой теме мы вернемся в главе Ч. Рассмотренный в предыдущем параграфе предельный случай, в котором силы трения значительно превышают силы инерции (пвлвуигее движение, число Рейнольдса очень мало), приводит к весьма значительному облегчению решения уравнений Навье — Стокса. Правда, пренебрежение силами инерции не понижает порядка уравнений Навье — Стокса, но зато делает их линейными. Предельный же случай, который мы рассмотрели в этом параграфе и в котором силы инерции значительно превышают силы трения (пограничный слой, число Рейнольдса очень велико), в математическом отношении труднее, чем случай ползущего движения.
В самом деле, если мы просто подставим в уравнения Навье — Стокса (3.32) (с = О, то тем самым мы вычеркнем из этих уравнений, а также из уравнения для функции тока (4ЛО) производные наиболее высокого порядка, т. е. получим дифференциальное уравнение более низкого порядка. Очевидно, что решения этих уравнений не могут удовлетворить всем граничным условиям первоначальных, т. е. полных, дифференциальных уравнений.
Но это означает, что решения упрощенных дифференциальных уравнений, полученных нз полных уравнений путем вычеркивания членов, зависящих от вязкости, физически не имеют никакого смысла. Отсюда вытекает следующий вывод: для получения из уравнений Навье — Стокса решений, соответствующих предельному случают течений с очень большим числом Рейнольдса и в то же время имеющих определенный физический смысл, необходимо выполнить предельный переход к исчезаю)це малой вязкости р -+ О не в самих дифференциальных уравнениях, а в'их решениях.
6г ОБщие сВОЙстВА уРАВнений нАВье стоксА 84 гл. у й 6. Математический пример предельного перехода Ян -ю- сп Поскольку рассуждения предыдущих двух параграфов имеют очень важное значение для обоснования теории пограничного слоя, поясним заключенную в ннх сущность одним очень простым математическим примером, указанным Л. Прандтлем '). Рассмотрим затухающее колебание материальной точки. Такого рода движение определяется дифференциальным уравнением ЫЗ* пг т — + )г — + сх = О, (4.13) где т есть масса колеблющейся точки, )г — коэффициент затухания, с — коэффициент восстанавливающей силы, х — расстояние колеблющейся точки от положения равновесия и 1 — время. По аналогии с уравнениями Навье— Стокса с очень малой вязкостью т рассмотрим и здесь предельный случай очень малой массы т, когда в уравнении (4.13) член с производной высшего порядка становится очень малым.
Итак, исследуем решение дифференциального уравнения (4.13) при очень малых значениях т, причем а) сначала путем подстановки т = 0 в заданное дифференциальное уравнение (4.13), б) а затем путем подстановки т = 0 в полное решение дифференциального уравнения (4.13).
Подстановка т = 0 в дифференциальное уравнение (4.13) приводит к более простому уравнению более низкого порядка )г —, + сх = О. пх (4.14) Его решение будет х 4е — сна (4.15) Полное же решение уравнения (4.13) для очень малых значений и ((< )гг74с) имеет вид х = А,е-"~" + Азе-Ан'". (4.16) Мы видим, что при т — + 0 полное решение (4.16) переходит в решение (4.15) упрощенного дифференциального уравнения (4.14), если положить А,=А, (4.17) но при условии, что одновременно 1 не стремится к нулю. Определение постоянной Аз производится путем задания начального условия для решения (4.16), например принимается, что при 1=0 х=О. (4.18) В этом случае Аз = — АО (4.19) Таким образом, оба сравниваемых решения имеют следующий вид: х = Ае- СА, (4.15) х = А (е- Нп — е-псм).
(4.20) Графическое изображение обоих решений дано на рис. 4.3 для случая, когда А ~ О. Кривая а) соответствует решению (4.15) упрощенного дифференциального уравнения (4.14). Кривые б), е) и г) соответствуют решению (4.20) полного дифференциального уравнения (4.13) при малых значениях ш, причем чем выше кривая, тем меньше значение т. Начальному условию удовлетворяют только решения б), е), г) полного дифференциального уравнения; решение упрощенного дифференциального уравнения (4.14) г) Р г а и б Г 1 Ь., АпзсЬап11сЬе ппд пйгг11сЬе МагЬеша11Ь. Лекцкв и Лттингеке в зимнем семестре 1931 †19 г.
вв МатЕМАГИЧЕСКИИ ПРИМЕР ПРЕДЕЛЬНОГО ПЕРЕХОДА Яе 85 этому условию не удовлетворяет. При предельном переходе т -~ 0 решение (4.20) полного дифференциального уравнения переходит в решение (4.15) упрощенного дифференциального уравнения, но это последнее решение, как только что было сказано, не удовлетворяет. начальному условию (4А8). Решение (4.20) полного дифференциального уравнения состоит из двух членов. Первый член, равный А при ! = О, при возрастании 1 медленно уменыпается. Будем называть его медленно изменяющимся решением. Это решение тождественно совпадает с решением (4А5) упрощенного дифференциального уравнения. Второй член решения (4.20) при возрастании ! очень быстро вату- з хает.
Благодаря этому быстро изменяющемуся решению общее решение полного диф- 49 ференциального уравнения удовлетворяет начальному условию (4А8). гу Сравнив этот пример со случаем дифференциальных уравнений Навье — Стокса, мы увидим, что полное дифференциальное уравнение (4.13) соответствует дифференциаль- б) ным уравнениям Навье — Стокса вязкой жидкости, а упрощенное дифференциальное уравнение (4.14) — дифференциальным уравнениям Эйлера идеальной жидкости. Начальное условие (4А8) отвечает условию прилипания вязкой жидкости, которому могут удовлетворить только решения уравнений Навье — Стокса, но не решения уравнений Эйлера.
Медленно изменяющееся решение соответствует решению без учета трения (потенциальное течение), т. е. тому решению, которое не удовлетворяет условию прилипания на стенке. Быстро изменяющееся решение отвечает решению, зависящему от вязкости и не равному нулю только в узкой зоне вблизи стенок (пограничный слой, или слой трения). Только путем присоединения решения, учитывающего картину течения в пограничном слое, становится возможным удовлетворить условию прилипания на стенке, благодаря чему полное решение приобретает физический смысл.
Таким образом, рассмотренный простой пример еще раз наглядно подтверждает сказанное в предыдущем параграфе: предельный переход к очень малой вязкости (или к очень большому числу Рейнольдса) следует выполнить не в уравнениях Навье — Стокса путем вычеркивания членов, зависящих от вязкости, а в решении этих уравнений путем приближения коэффициента вязкости к нулю. Ниже мы покажем, что для предельного перехода Йе-+. со вовсе не требуется сохранять все члены уравнений Навье — Стокса.
Некоторые из членов, зависящих от вязкости, все же можно отбросить как пренебрежимо малые по сравнению с другими такими членами. Важно лишь не отбрасывать всех членов, зависяшнх от вязкости, так как такой путь привел бы к недопустимому понижению порядка уравнений Навье — Стокса. Литература к главе 1Ч 1.
А с )г е г е ! 1., ОЬег еха)гге Ьовипзеп 6ег 3!о)гев — Хат(ег 6!е!еЬипдеп !пЬешргев- в!Ъ|ег р16вв!6Ьекеп Ье! чегапйегсеп 6гепвЬе6!пЗипзеп. 2АМР 3, 259 — 271 (1952). 2. Н а га е1 6., ОЬег 4!е Ро!еппа!в!готипя ваЬег р)йвв!9)ге!геп. ЕАММ 21, 129 — 139 (1941). 3. 1 е п в о и ч'. 6., ч'!всоив 11очг гопак а врЬеге аС !еч Кеупе1дв пишЬегв (< 40).
Ргес. Воу. 3ес. Ьопйоп, А 249, 346 — 366 (1959). Глава У Точные решении уравнений Навье — Стокса Отыскание точных решений уравнений Навье — Стокса наталкивается в общем случае на непреодолимые математические трудности. Эти трудности возникают прежде всего вследствие нелинейности уравнений Навье— Стокса, не допускающей применения принципа наложения, столь плодотворного при исследовании потенциальных течений невязкой жидкости. Тем не менее в некоторых частных случаях все же можно найти точные решения уравнений Навье — Стокса. Такими случаями являются главным образом те, в которых квадратичные члены сами собой исчезают.
В настоящей главе мы рассмотрим некоторые точные решения и увидим, что ббльшая часть этих решений в предельном случае очень малой вязкости имеет такой же характер, как течение в пограничном слое, т. е. в течениях, соответствующих этим решениям, действие трения проявляется только в тонком слое вблизи стенок. Обширный обзор решений уравнений Навье — Стокса недавно опубликован Р. Беркером (з! й 1.
Слоистые течения Особенно простой класс точных решений представляют так называемые слоистые течения, характерным признаком которых является существование в ннх лишь одной составляющей скорости. Пусть, например, не равна нулю только составляющая и, составляющие же п н и всюду равны нулю. В таком случае из уравнения неразрывности сразу вытекает, что ди/дх — = О, и поэтому составляющая и не может зависеть от координаты х. Следовательно, для слоистого течения мы имеем и— = О, ш= — О. (5.1) и=и(у, з, 2), Из уравнений Навье — Стокса (3.32), составленных для направлений у и г, сразу получаем з) — ='О, — = О. др , др ду ' дз Это означает, что давление в слоистом течении зависит только от коорди- наты х и ь Далее, в уравнении Навье — Стокса, составленном для направ- ления х, выпадают все конвективные члены, поэтому оно принимает более простой вид: ди др Г дзи дзи т р = +)г + дг дл 1 дуз дзз l (5.2) ') В дальнейшем под давлением будем понимать всегда разность между действвтольпым давлением я гядростаткчооккм давлением.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
