Теория пограничного слоя Г. Шлихтинг под ред. Лойцянского Л.Г. (1013691), страница 25
Текст из файла (страница 25)
е. не изменяются вдоль обтекаемой стенки. Полученное решение для вязкого течения вблизи критической точки пригодно не только для обтекания плоской стенки, но и для плоского обтекания любого цилиндрического тела при условии, что такое тело вблиаи передней критической точки имеет затупленную форму. Правда, в таких случаях найденное решение применимо только в небольшой окрестности критической точки, поскольку здесь кривую поверхность тела можно заменить плоскостью, касающейся тела в критической точке.
Нестационарное течение, возникающее при наложении на только что рассмотренное течение вблизи критической точки проиавольного, иаменяющегося во времени поперечного движения плоскости, в которой расположена критическая точка, исследовано Дж. Ватсоном [ве[. Частный случай гармонического поперечного движения до Дж. Ватсона был рассмотрен М.
Б. Глауэртом (см. ссылку Рв! в главе ХЧ). 10. Пространственное течение в окрестности критической точки. Совершенно аналогичным способом можно получить точное решение уравнений Навье — Стокса и для пространственного осесимметричного течения в окрестности критической точки. При таком течении жидкость набегает на стенку, перпендикулярную к направлению течения, и оттекает от критической точки вдоль этой стенки во все стороны по радиусам.
Такое течение получается также при обтекании тела вращения в направлении, параллельном оси вращения, в ближайшей окрестности передней точки тела, являющейся в данном случае критической точной. Воспользуемся цилиндрическими координатами г, ср, г. Плоскость г =- 0 совместим со стенкой, начало координат распелся<им в критической 99 1 21 дРуГие точные Решения точке, а ось 2 направим противоположно направлению набегающего течения. Обозначим через ГУ и )4г составляющие скорости в радиальном и осевом направлениях для течения без трения, а через и = и (г, 2) и гл = тл (г, 2)— соответствующие составляющие для вязкого течения.
Вследствие осевой Т а 6 л и ца 5 1. Значения функций р, гр' м ф" для плоского и осеспмметрпчвого течений в окрествостп критической точки (для плоского течения — по Л. Хоуерту [ге), для осесимметричпого — по Н. Фресслнпгу (")) Плоское теченне Осеснмметрнчное течение ч-Ь вЂ”.и У'2 Г=)à — т де и нч о дч к д4 и 0,0001 0,0000 0,0000 3,5521 3,7521 3,9521 1,0000 1, 0000 1,0000 4,2 4,4 4,6 4,2 4,4 4,6 2,4010 2,5423 2,6837 0,9999 0,9999 1,0000 0,0006 0,0003 0,0001 симметрии течения Р— = О и д!дор = О; поэтому из трех уравнений Навье— Стокса (3.36) остаются только два, которые вместе с уравнением неразрыв- ности (3.37) после замены обозначений ог и Рт на и и Р принимают вид др Г д2и 1 ди и дти т — — — +( — +- — — — + — ) 1 р дг 1 дгт г дг гт+ длл) 1 др Г дтм 1 дм дтм т — — — +ч( — + — — + — ) р дг 'т дгт г дг дтл ) ' ди и дкг — + — + — =О.
дг г дт ди ди и — +иг — = дг дт дм дм и — +иг — = дг дт (5.41) Граничными условиями будут и = О, иг = О при 2 = О; и = Гу при г = оо. (5.4$а) Для невязкого осесимметричного течения с критической точкой мы имеем решение сг' = аг, тфг = — 2аз, (5.42) 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0 3,2 3,4 3,6 3,8 4,0 0 0,0233 0,0881 0,1867 0,3124 0,4592 0,6220 0,7967 0,9798 1,1689 1,3620 1,5578 1,7553 1,9538 2,1530 2,3526 2,5523 2,7522 2,9521 3,1521 3,3521 0 0,2266 0,4145 0,5663 0,6859 0,7779 0,8467 0,8968 0,9323 0,9568 0,9732 0,9839 0,9905 0,9946 0,9970 0,9984 0,9992 0,9996 0,9998 0,9999 1,0000 1,2326 1,0345 0,8463 0,6752 0,5251 0,3980 0,2938 '0,2110 0,1474 0,1000 0,0658 0,0420 0,0260 0,0156 0,0090 0,0051 0,0028 0,0014 0,0007 0,0004 0,0002 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0 3,2 3,4 3,6 3,8 4,0 0 0,0127 0,0487 0,1054 0,1799 0,2695 0,3717 0,4841 0,6046 0,7313 0,8627 0,9974 1,1346 1,2733 1,4131 1,5536 1,6944 1,8356 1,9769 2,1182 2,2596 0 0,1755 0,3311 0,4669 0,5833 0,6811 0,7614 0,8258 0,8761 0,9142 0,9422 0,9622 0,9760 0,9853 0,9912 0,9949 0,9972 0,9985 0,9992 0,9996 0,9998 1,3120 1,1705 1,0298 0,8910 0,7563 0,6283 0,5097 0,4031 0,3100 0,2315 0,1676 0,1175 0,0798 0,0523 0,0331 0,0202 0,0120 0,0068 0,0037 0,0020 0,0010 ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИИ НАВЬЕ СТОКСА ~гл.
ч где а есть постоянная. Легко видеть, что это решение удовлетворяет уравнению неразрывности. Давление в невяэком течении равно Ро — р Р (Г7г 4 Иг) Р аг(гг+4гг), где ро есть по-прежнему давление.в критической точке. Примем, что в вязком осесимметричном течении с критической точкой распределение скоростей и распределение давления определяются формулами и = г7' (г), ы = — 2~ (г), (5.43) (5.44) Ро Р = ~ аг["г+г'(г)[ Уравнение неразрывности и теперь тождественно удовлетворяется нонкой выражений (5.43). Уравнения же движения (5.41) после нонки в них выражений (5.43) и (5.44) дают два уравнения [для ления функций 7 (г) и Р (г): ~" — 2О" = а'+ у7"', подста- подста- опреде- (5.45) 20' = 4 а'Р' — 1". (5.46) Граничные условия для функций 7 (г) н Р (г) легко получаются из усло- вий (5.41а): 7'=,1' =О, при г=О; ~'=а при г=оо.
Совершенно так же, как и в плоской задаче, уравнение (5.45) можно освободить от постоянных аг и т, применив для этой цели прежнее аффинное преобразование, а именно: ~=)/ — г, ~(г)=~'отвар(ь). причем граничными условиями будут ~р=~р'=0 при ~=0; ср'=1 при ~=ос'.
Уравнение (5.47) впервые было решено Ф. Хоманом ["[ путем разложения в ряд. Изменение безразмерной скорости у' = и/У изображено на рис. 5.10. Значения р', приведенные в таблице 5.1, вычислены Н. Фрбсслингом [г[. 11. 'Речение вблизи вращающегося диска.
Следующим примером точного решения уравнений Навье — Стокса является течение вблизи плоского диска, равномерно вращающегося с угловой скоростью ог вокруг оси, перпендикулярной к плоскости диска. Жидкость вдали от диска принимается покоящейся. Вследствие трения слой жидкости, непосредственно прилегающий к диску, увлекается последним и под действием центробежной силы отбрасывается наружу от диска. Взамен отброшенной жидкости к диску притекает в осевом направлении новая жидкость, которая также увлекается диском и опять отбрасывается наружу. Следовательно, в данном случае мы имеем полностью трехмерное течение. Перспективное иэображение этого течения показано на рис.
5.11. Скорость имеет три составляющие: в радиальном направлении г, в окружном направлении у и в осевом направлении г. Выполнив это преобразование, мы получим для функции у (~) более простое дифференциальное уравнение: ~р" + 2фср" — ~р" + 1 = О, (5.47) другнк точныв ришвния ов ди 1 др Г дни д т ит дни ч — — + — = — — — + ~ — + — ( — )+ — ), г дт р дг ( дгд дг ( г ) дад дю 1 др Г дею 1 дю дтю + — = — — — +т — + — — +— да р да ~ дга г дг дтв ) ди и дю — + — + — =О. дг г да ди и— дг до и— дг (5.48) дю и— дг Граничные условия, плоскости, будут и=О, О=гео, иг=О и=О, О=О определяемые условием прилипания к вращающейся при я=О; при г= со./ (5. 49) Прежде чем приступить к решению системы уравнений (5.48), найдем оценку для толщины 6 слоя жидкости, увлекаемого диском вследствие трения (аЧ. Иэ наглядных соображений, а также из сравнения с предыдущими примерами легко видеть, что эта толщина тем меньше, чем меньше вязкость.
Для частицы жидкости, находящейся в увлеченном, вследствие трения, слое на расстоянии г от оси, центробежная сила на единицу объема равна рггое. Следовательно, на рио. %ля течение в окреотнооти диона, вращаю- Ооъем, имеющий Основание с щегооя в покоящейся жидноотя; и, е, ю — еоета- площадью йг ОЬ и высоту 6 нняюнще екороетн соответственно в радиалвиом, окружном и осевом направлении. Слов жидноети, действует центробежная сила прилегающий к динку, увленаетоя последним вслед-' войй П отвие трения. Центробежные силы, действующие ргго О йг йд. Па основание того же в етом слое, еоадают вторичное течение в радиальэлемента объема действует каса- ном найравлении от центра диена наружу, тельное напряжение т„, направление которого совпадает с направлением движения жидкости, оттекаю- щей вдоль вращающейся плоскости от оси вращения; пусть это направле- ние образует с окружным направлением угол О.
Радиальная составляющая касательного напряжения должна быть равна центробежной силе, т. е. т зтпбйгбЬ = ргеоеб йгйй, илн т з(пб = рггоеб. С другой стороны, окружная составляющая касательного напряжения должна быть пропорциональна градиенту окружной скорости около Обозначим эти составляющие соответственно через и, О, ги. Вычисления выполним сначала для неограниченной вращающейся плоскости, после чего, пренебрегая концевым эффектом, перенесем полученный результат на случай круглого диска, имеющего конечный диаметр Р = 2гт. Вследствие осевой симметрии течения уравнения Навье — Стокса и уравнение неразрывности в цилиндрических координатах (3.36) упрощаются и при принятых обозначениях получают вид 102 точные Решения РРАВнений нАвье — стоксА 1гл. стенки, т.
е. т„соз Π— —. ргег б Исключив т из последних двух соотношений, мы получим бз — — ' 18 О. Примем,,что направление скольжения потока вдоль стенки не зависит от радиуса; тогда для толщины б слоя, увлекаемого вращающейся плоскостью вследствие трения, мы будем иметь оценку 5-1,' — ', совпадающую с оценкой, полученной выше для случая колеблющейся стенки (стр. 95). Далее, для касательного напряжения на стенке мы получим оценку т ргюзб ргш )/ ~чк. Момент сопротивления М вращению стенки равен произведению касатель- ного напряжения на стенке, площади стенки и плеча, следовательно, з1,, Нз Нз ту.
(5.50) где Л есть радиус диска. Для интегрирования системы (5.48) целесообразно ввести вместо х безразмерное расстояние от стенки ь Ыб, т. е. принять, что ь = х ~/ — . (5.51) Далее, примем, что составляющие скорости н давление определяются фор- мулами и=гюР(~), и=гю6Я, й=~I тюН(ь), р = р (х) = ртюР (ь). После подстановки этих выражений и, и, ш, р в уравнения (5.48) мы получим для определения четырех неизвестных функций Р, 6, Н и Р следующую систему дифференциальных уравнений: 2Р+ Н' = О, Рз+Р Н 6з Р О 2Р6+Н6' — 6" = О, Р'+НН' — Н" = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
