Теория пограничного слоя Г. Шлихтинг под ред. Лойцянского Л.Г. (1013691), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Придадим теперь формуле Стокса такой же вид, какой имеют установленные на основании опыта законы сопротивления при больших числах Рейнольдса. Для этой цели представим сопротивление И' как произведение коэффициента сопротивления схи на площадь нВ'поперечного сечения шара и на динамическое давление рУ'/2; мы получим И" = сжяВг — У (6.9) Заменив И' его значением из формулы (6.8), мы найдем коэффициент сопротивления с„=— 24 (6.10) где йн = хт' оут есть число Рейнольдса.
Сравнение формулы (6.10) с результатами измерения (рис. 1.5, кривая 1) показывает, что она верна только в области чисел Рейнольдса Не ( 1. Линии тока впереди и позади шара при рассматриваемом ползущем движении симметричны относительно оси, проходящей через центр шара перпендикулярно к направлению скорости набегающего потока. В самом деле, прн изменении направления скорости на противоположное (перемена знака у составляющих скорости и давления) система уравнений (6.3) и (6.4) переходит в самое себя.
Картина линий тока при вязком обтекании шара изображена на рис. 6.2 в том виде, в каком она представлнется наблюдателю, мимо которого шар движется со скоростью У . На этом же рисунке иаображены распределения скоростей для некоторых поперечных сечений. Мы 8 Г. Шхихтииг т. е. численно совпадает с абсолютным значением повышения и соответственно понижения давления в точках Р, и Рг. Проинтегрировав давление и касательное напряжение по всей поверхности шара, мы найдем полное сопротивление шара: 114 ползяцив движнния [гл. чй видим, что шар увлекает за собой в своей окрестности довольно широкий слой жидкости, ширина которого по каждую сторону шара равна примерно диаметру шара.
Совсем иное получается при движении шара с очень большим числом Рейнольдса; в этом случае ширина увлекаемого слоя, т. е толщина пограничного слоя, чрезвычайно мала. Рио. 6.2. Картина линий тока и раолренеление скоро- отей нри течении Стокса около шара. Рио. 6.6. Картина линий тока нлнте- ченнл около шара.
По Овеент. Поправка Озеена. Решение Стокса было улучшено К. Озееном (6) путем частичного учета инерционных членов в дифференциальных уравнениях Навье — Стокса. Для этой цели Озеен принял, что составляющие и, р, их скорости течения в окрестности шара определяются следующими формулами: и= Г7 +и', р=р', ит=бр', (6 11). где и', р', ш' суть возмущающие скорости, вообще малые пе сравнению со скоростью Г7 набегающего на шар потока, но в ближайшей окрестности шара сравнимые со скоростью Г7 .
При использовании значений (6.11) инерционные члены в уравнениях Навье — Стокса распадаются на две группы, например: ди' до' ди', до' дх ' дх ' ''' дх ' дх Вторую группу, как состоящую из членов второго порядка малости по сравнению с членами первой группы, можно отбросить, после чего уравнения Навье — Стокса (3.32) вместе с уравнением неразрывности примут вид ди др, до др, ди' др рП вЂ” + — = (аЛи, рП вЂ” + — = (6ЛР', рГ7 — + — = )ваш', дх дх ' дх ду ' дх дх ди' до' дш' — + — + — =о. дх ду дх Граничные условия остаются такими же, как для уравнений Навье— Стокса.
Уравнения Озеейа, подобно уравнениям (6.7), линейны. На рис. 6.3 изображена картина линий тока течения Озеена для наблюдателя, покоящегося относительно жидкости, находящейся на большом расстоянии от шара, следовательно, для наблюдателя, 'мимо которого шар движется со скоростью П . Теперь картина линий тока не одинакова впереди и позади шара, как это было при решении Стокса, что, впрочем, сразу видно 115 ГидРодинАмическАя теория смАзки 84 ~1+ З (6.13) где по-прежнему )че = 5« Юч есть число Рейнольдса. Результаты измерений (рис.
1.5, кривая 2) показывают, что формула (6 13) более или менее при- годна вплоть до числа Рейнольдса )че = 5. й 3. Гидродинамическая теория смазки Другим, на этот раз технически очень важным примером течения с преобладающей ролью вязкости может служить течение в слое смазочного масла между двумя частями машины, движущимися одна относительно другой, например между цапфой и подшипником.
Такое течение обладает примечательным свойством: при быстром движении разности давлений в нем могут достигать чрезвычайно больших значений, вследствие чего тонкая пленка масла, находящаяся между цапфой и подшипником, поддерживает цапфу, предохраняя ее от непосредственного соприкосновения с подшипником. Наиболее существенные особенности течения масла между движущимися частями машины проще всего можно выяснить на примере ползуна и плоской опорной поверхности, образующих между собой малый угол 6 (рис. 6.4). Примем, что обе скользящие одна по другой поверхности имеют в направлении, перпендикулярном к направлению движения, очень большое протяжение, следовательно, течение масла можно рассматривать как плоское г). Для того чтобы иметь дело со стационарным движением, будем считать ползун неподвижным, а опорную поверхность — движущейся вдоль ползуна со скоростью У.
Ось х направим параллельно движению опорной поверхности, а ось у — перпендикулярно к этой поверхности. Высоту щели й (х) между ползуном и опорной поверхностью будем предполагать весьма малой по сравнению с длиной ползуна 1. В 9 1 главы Ч мы рассмотрели течение между параллельными плоскими стенками с наличием градиента давления (течение Куэтта). На течение между ползуном и опорной поверхностью можно смотреть как на обобщение течения Куэтта. с той только разницей, что течение смазочного масла происходит между стенками, наклоненными одна относительно другой. Поэтому теперь конвективное ускорение и ди/дх не равно нулю. Однако оценка сил инерции и сил трения сразу показывает, что, несмотря на существование конвектквного ускорения, силы трения в практически важных случаях з) Двумерная теория смазнн впервые была дана О.
Рейнольдеом, ем. Рп)1. Тгапз. Воу. 8ос. Рнгь 1(1888). (Перевод этой статьи нн русский язык помещен н сб. «Гндронннамнчеекая теория смазки>, Москва 1984. На трн года раньше опубликования работы О. Рейнольдеа н «Ив«неверном журнале» была напечатана статья Н. П. Петрова «Тренне в машинах н влияние на него емнзынающей жндкостнз, в которой были даны основы гидродинамической теории смазки.
Статья Н. П. Петрова перепечатана н указанном выше еборннне, н также н книге: П е т р о н Н. П., Гндролвнаынческая теория смазкн (я«бранные работы), Москва 1948.— Прим. перев.) 8» нз уравнений (6.12). В самом деле, уравнения (6.12), в противоположность уравнениям (6.7), при перемене знака у составляющих скорости и у давления не переходят сами в себя. Далее,из рис.
6.3 мы видим, что при течении Озеена жидкость перед шаром вытесняется во все стороны почти так же, как и при течении Стокса, однако позади шара линии тока теснее примыкают одна к другой; это означает, что здесь теперь скорость больше, чем в случае течения Стокса« Таким образом, в случае течения Озеена позади шара имеется такое спутное течение, какое наблюдается при экспериментальном изучении обтекания тел при очень больших числах Рейнольдса. Для коэффициента сопротивления решение Озеена дает формулу 116 ползгщик движиния 1гл. чг все же весьма значительно превышают силы инерции. Из членов, зависящих от трения, наибольшее значение имеет член (г дги/ду', входящий в уравнение движения для направления х; поэтому в качестве оценки сравнительной роли сил инерции и сил трения можно взять следующее отношение: Зи рУ2 ров сила инерции 1 дх 1 рИ / Ь)2 сила трення зги (сУ р 1 1 ) И дуг Ьг Таким образом, можно пренебречь силами инерции по сравнению с силами трения, если так называемое приведенное число Рейнольдса гге* = — ( —,) (6.14) (6.15) Л(х) ()= ~ иду=сонэк Ъ (6.16) 2) Приведем численный пример.
Пусть П = 10м/сеа,г = 100мм, т = 40 10 'мг/ссн, Ь = 0,2 мм. Тогда число Рейнольдса, составленное для длппы ползула, равно И/т = = 25 000, но пряведеппое число Рейлольдоа йе * = 0,1. Следовательно, сялямп инерции можло пренебречь значительно меньше единицы 2). Для рассматриваемого случая дифференциальные уравнения ползущего движения (6.3) допускают дальнейшее упрощение. Прежде всего, уравнение движения для направления су Рс у можно вообще отбросить, так как поперечная скорость д-лс йт и очень мала по сравнению с/ со скоростью и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
