Теория пограничного слоя Г. Шлихтинг под ред. Лойцянского Л.Г. (1013691), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Далее, в уравнении для направления сЯ Да С)с Дс" /У х можно пренебречь членом Т дги/дх' по сравнению с члессл)уа ном дги/ду', так как первый в (И)2 раз меньше второго. ф с /л/ Распределение давления дол- су)асс — т жно быть, очевидно, таким, --'Р~Южлл~„чтобы давление р, в начале р - ' ползуна и давление р в конце ползуна были одинал/ л У ) ковы. Перепад давления др/дх в направлении х терно. ЕЛЬ Полатн на плоеной опорной поверхнсств 1ад = ПЕРЬ~ В ОТЛИЧИЕ От тсясяия = ),втй о) течение в щели нюнлт полетном н опорной по- между параллельными стенверхностью; О) распреаеаеане Лавпеннн пол поаатнон. ками, уже не постоянный, а переменный. Очень небольшой поперечный перепад др/ду можно совсем не учитывать.
В результате всех этих упрощений вместо трех уравнений (6.3) ползущего движения остается только одно уравнение Ыр б" и = 12 ,12 Зуг Что касается уравнения неразрывности, то запишем его в виде условия, что количество жидкости (), протекающее в единицу времени через поперечное сечение,тодинаково для каждого поперечного сечения; следовательно, будем иметь 117 ГидРодинАмическАЯ твоРия смАеки о з) Граничными условиями будут зз=() при у=О; и=О при у=)з; (6.17) р=ро при х=.О; р=р, при х=з, Решение уравнения (6.15), удовлетворяющее граничным условиям (6.17), одинаково с решением (5.5) для течения между параллельными стенками и имеет вид (6. 18) где для краткости введено обозначение лР Р =— ох з;А Аз 0== — — ', 2 12)з (6.18а) откуда найдем р' = 12)з ( 2ьз Аз ) .
(6.19) или, после интегрирования, р (х) = ро+ 6)з(7 ~ —,, — 12)з() ) — „з (6.20) Условие, что р = р, при х = 1, дает для з,) значение о Ехх —,—. ( (6.21) о Таким образом, количество протекающей жидкости з',) будет известно, если задана форма щели Ь (х). Зная (), мы можем вычислить по формуле (6.19) градиент давления, а по формуле (6.20) — распределение давления вдоль длины ползуна. Величины х х Ьз(х) = 1 — з и Ьг(х) = ) г,ь г л. (6.22) о о которые входят в равенство (6.20), зависят только от геометрической формы щели между полауном и опорной поверхностью.
Их отношение с(х) = —, о1 (х) Оз (х) (6.23) Градиент давления р' должен быть таким, чтобы удовлетворялись и уравне- ние неразрывности (6.16), и оба граничных условия для давления. Под- ставив значение и, определяемое формулой (6.18), в равенство (6.16), мы получим [гл.
уз. ползущин движнния имеющее размерность длины, играет важную роль в теории смазки. Для полной длины щели оно равно (6.24) Величина Н иногда называется характериппической шириной. С ее помощью формула (6.21) может быть записана в более кратком вдде (6.25) из которого сразу видна ее физическая интерпретация. Формуле (6.20), определяющей давление, теперь можно придать вид р (х) = ра + 6(аНЬ, (х) — 12р0Ьэ (х), откуда для градиента давления получим выражение (6.26) (6.27) показывающее, что давление имеет максимум или минимум в том сечении, в котором ширина Ь щели равна характеристической ширине Н.
Часто желательно, чтобы в щели поддерживался положительный избыток давления р — рр. Необходимое для этого условие можно вывести иэ предыдущего уравнения. Примем, что р = ра при х = 0 и что при х = хн ширина щели равна Н. Тогда должно быть Ь(х))Н при 0(х(хя в предположении, что р')О, (6.28) Ь(х)(Н при хя(х(( в предположении, что р'< О.
Ь (х) = б (а — х), где а и 6 суть постоянные (рис. 6.4). Выполнив вычисления, мы получим а(а — О 2а — 1 после чего найдем распределение давления Р (х) = Ро + ба ьг 2 (6.29) Формуле (6.29) можно придать несколько более простой вид, если ввести в нее две ширины: Ь! при входе и Ьэ при выходе (см. рис. 6.4). Теперь характеристическая ширина будет равна Н= ь,+за (6.30) Эти условия приводят к клиновидной форме щели, суживающейся в направлении течения и допускающей как положительный, так и отрицательный градиент НЫЛ. Так как характеристическая ширина Н зависит от формы щели в целом, то направление градиента давления в поперечном сечении не может быть определено из значения оЬlох только в одном поперечном сечении. В случае щели, образованной плоскими стенками, можно принять, что 119 гидродинлмичнскья тиория смазки .и для выполнения условия положительного избытка давления (соотноше- -ния (6.28)) необходимо, чтобы щель суживалась в направлении движения .ползуна.
В новых обозначениях распределение давления примет вид (ь,-ь) (ь-ь,) р(х) = рс+6)г// (6.31) Проинтегрировав это выражение, мы найдем реаультирующую снл давления: Р= ) Р»"х (й 1)гь1()™ 2й ( 1 )» о (6.32) где Ь = Ь,/Ьг. Аналогичным обрааом найдем результирующую касательных напряжений: о (6.33) Интересно отметить (с), что реаультирующая сил давления при Ь = 2,2 имеет максимум, равный Р, ж 0,16 )»„, ,2 Ь, = Ь ((/2), мы найдем для среднего иабыточного давления под полауном величину (г Рср )гь» „» (6.35) Сравнивая этот результат с аналогичным результатом для ползущего течения около шара !формула (6.7б)), мы видим, что под ползуном давление повышается в (1/Ьср)г раа больше, чем в передней точке шара. Так как порядок величины 1/Ьср составляет от 500 до 1000 (е = 0,1 м, Ьср — — 0,1 —: 0,2 лак), то иа сказанного следует, что в тонком слое масла под ползуном могут воаникать очень высокие давления ').
Воаникновение столь высоких давлений г) Так, иаиримор, при У = 10 м/сек, р = 40.10 4 кГеек/м*, 1 = 0,1 м, а = 21 = = 0,2 м мы имеем Ьср = 0 2 мм. 0 133 кГ/мг рУ 2с — ( следовательно, рср = 0,133.300' = 3,3 кГ/см'. Соответствующее значение результирующей касательных сил равно Р=Р,ж 0,75 1' ьг Коэффициент трения Р/Р пропорционален Ьг/1 и может быть сделан очень малым. Нетрудно вычислить координату х, центра давления: она равна 1 ( 2й йг — 1 — 2й )ай (6.34) 2 ( й — 1 (йг — 1))ай — 2(й — 1)г.) ' Прн небольших углах наклона ползуна к опорной поверхности (Ь ж 1) распределение давления, определяемое уравнением (6.29), приближенно параболическое; характеристическая ширина и центр давления лежат в поперечном сечении с координатой, очень близкой к х = 1/2.
Введя обозна- чение 120 1гл. чв ползущин движнння при сравнительно медленном движении является характерным свойством течения смааочного масла в узкой щели между ползуном и опорной поверхностью. Необходимо подчеркнуть, что основную роль в этом явлении играет наклонное положение одной из стенок относительно другой. На рис. 6.4 изображены распределение скоростей, картина линий тока и распределение давления для случая плоского течения между ползуном и опорной поверхностью.
Мы видим, что около неподвижной стенки в области возрастания давления возникает такое же возвратное течение, как в канале с параллельными стенками, если давление в нем увеличивается в направлении перемещения подвижной стенки (см. рнс. 5.2). Распределение давления и подъемную силу для ползуна конечной ширины, а также для ползуна со сферическим основанием на плоской опорной поверхности вычислил В.
Фрессель Р). Выполненные им же эксперименты подтвердили правильность его вычислений. Во многих случаях, когда ширина ползуна конечная, сделанного выше предположения об одномерном характере течения недостаточно, и необходимо принять во внимание существование составляющей скорости и в направлении з, перпендикулярном к плоскости рисунка 6.4. Уравнение (6.18а) должно быть теперь дополнено уравнением ЙЗ др »е» = )»с '[у = 2 12)» дз о (6.36) и уравнение неразрывности принимает вид и и — ) и Ну -)- — ) ш с[у = О, д Г д Г дх ) дх (6.371 или дх ( дх ) 1 дз ( ду ) ) [ дх ( ) дх ( ») Более строгую теорию см. в работе: Ж у к о в с к и й Н.
Е. и Ч а п л ыг и и С. А., О трении смааочиого слоя между шипом и подшипником. Труды Отделения физических наук. Общества любителей естествозваиия, Х11 (1994); вновь вапечатаво в томе 1 «Избравиых сочинений» Н. Е. Жуковского, Москва 1948, в «Избраввых трудах по мехавике и математике» С. А. Чаплыгива, Москва 1954, а также в сб.
е Ридродивамическая теория смазки», Москва 1934.— Прим. перев. где [4' есть составляющая скорости на границе слоя смазки в направлении в при заданном х. Уравнение (6.38) известно под названием ураенения Рейнольдса гидродинамической теории смазки. В случае цапфы и подшипника обязательно должно существовать смещение центра цапфы относительно центра подшипника, так как иначе не будет щели переменной высоты, а вместе с тем — и подъемной силы. Теория вращения цапфы в подшипнике широко разработана на основе изложенных выше соображений многочисленными учеными, в том числе А. Зоммерфельдом [и), Л. Гюмбелем [з[ и Г.
Фогельполем [ "з), ["['). Созданная теория применена также к подшипнику конечной ширины [г), [з). для такого подшипника подъемная сила, вследствие падения давления к боковым концам подшипника, значительно меньше. Вблыпая часть теоретических исследований выполнена в предположении, что вязкость смазочного масла постоянна, т. е. не зависит от температуры. Между тем в действительности вследствие трения выделяется большое количество тепла, что приводит и значительному нагреванию масла, а так как вязкость масла с возрастанием температуры сильно уменьшается (см. таблицу 1.2, стр. 22), то зто влечет за собой значи- течение хил-шоу 121 тельное уменьшение подъемной силы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
