Теория пограничного слоя Г. Шлихтинг под ред. Лойцянского Л.Г. (1013691), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Давление р уже не является неизвестной величиной, так как оно может быть определено из уравнения Бернулли, составленного для потенциального течения около рассматриваемого тела, причем это течение следует считать заданным. Кроме того, в единственном из оставшихся уравнений движения один из двух членов, зависящих от вязкости, теперь отсутствует. В заключение заметим, что из формулы (7.4) получается следующая оценка для толщины пограничного слоя: 6 [ / т 'г' Яв (7.13) что подтверждает прежнюю оценку 6 'г'ч, полученную из точных решений уравнений Навье — Стокса.
Ниже мы увидим, что для случая пластины, обтекаемой параллельно своей плоскости, численный множитель, переводящий пропорциональность (7.13) в равенство, равен приближенно 5 при условии, что Ь обозначает расстояние от передней кромки пластины. Предыдущие рассуждения были проведены для плоской стенки. Однако они легко переносятся на случай искривленных стенок [за[. При этом выясняется, что уравнения пограничного слоя (7.10) — (7.12) сохраняют свою применимость, правда, при условии, что радиус кривизны стенки не претерпевает очень больших изменений, как это имеет место, например, на острых кромках. Приведенный выше вывод уравнений пограничного слоя был с самого начала основан на физической предпосылке о существовании такого слоя жидкости, в котором основную роль играют силы трения.
В противоположность этому была сделана попытка вывести уравнения Прандтля для пограничного слоя из уравнений Навье — Стокса чисто математическим путем, беа привлечения физически наглядных представлений [м[. з 2. Отрыв пограничного слоя Из предыдущих рассуждений можно сделать некоторые существенные выводы о физических свойствах пограничного слоя, не производя интегрирования уравнений. Прежде всего можно выяснить, при каких обстоятельствах происходит перенос жидкости, заторможонной в пограничном слое, во внешнее течение, иными словами, при каких обстоятельствах возникает отрыв течения от стенки.
Если вдоль контура тела имеется область возрастающего давления, то в общем случае жидкость, заторможенная в пограничном слое и обладающая поэтому небольшой кинетической энергией, 129 ОТРЫВ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ не в состоянии слишком далеко продвинуться в область высокого давления. Вместо этого она отклоняется в сторону от области высокого давления, отрывается при этом от тела и оттесняется от стенки во внешнее течение (рис. 7.2). Кроме того, вблизи стенки заторможенные частицы жидкости под действием градиента давления обычно начинают двигаться в сторону, противоположную направлению внешнего течения. Точку отрыва мы будем определять как границу между прямым и возвратным течениями в прилегающем к стенке слое, следовательно, в точке отрыва должно соблюдаться равенство ( з ) =О. (7.14) Это означает, что профиль скоростей имеет в точке отрыва пограничного слоя касательную, образующую нулевой угол с нормалью к стенке в точке отрыва.
Профили же скоростей позади точки отрыва имеют вблизи У и) стенки участки с направлением скорости против основного течения А х (рис. 7.2, е). Для выяснения вопроса, возникает ли отрыв пограничного слоя и если возникает, то в какой именно точке, необходимо в общем случае Ю выполнить интегрирование уравнений пограничного слоя. Обычно точка отрыва является тем местом, до ко- А торого только и возможен расчет )д4 Рп, (мг) =р Ю <0 пограничного слоя.
В самолг деле, ОФА ' ~РУIА ' 'юг)Р уже совсем немного позади точки отрыва толщина слоя, в котором проявляет свое действие трение, становится столь значительной, что предположения, положенные в основу составления уравнений пограничного слоя, больше не соблюдаются. При обтекании тел с тупой кормовой частью оторвавшийся пограничный слой сильно оттесняет потенциальное течение от тела. В таких случаях давление, создаваемое в пограничном слое внешним течением, необходимо определять из опыта, так как теперь на внешнее течение оказывают большое влияние процессы, связанные с отрывом.
В том, что при стационарном течении отрыв пограничного слоя может возникнуть только в зоне замедленного течения (г)ргг)х ) 0), легко убедиться также путем рассмотрения связи между градиентом давления ггргох и распределением скоростей и (у), вытекающей из уравнений пограничного слоя. В самом деле, вследствие граничных условий и=и=О при у=О из уравнения (7.10) сразу следует, что (7.15) Э г, шииггииг 130 уРАВнения ЛОГРАничнОГО слОя при плОскОм течении !Гл.
чгв Далее, если мы продифференцируем уравнение (7.10) по р, то получим (7.16у Следовательно, в непосредственной близости от стенки кривизна профиля скоростей определяется исключительно перепадом давления, а потому вместе с переменой знака градиента давления меняет свой знак вблизи дл д" яу дуг дуг Рнс.
7.2. Распределевие скоростей в погранич- Рис. 7аа Распределение скоростей а пограничном слое дрн пониягенвв давления а наираале- ном слое прн возрастаннв давления а напраа,нии течевия. ленни течения. стенки и кривизна профиля скоростей. Согласно равенству (7 15) для течения, в котором давление понижается в направлении движения (ускоренное течение, г()7/г(х ( О), величина дзи/дуз на стенке меньше нуля, а потому — (О дзи дуз .
по всей толщине пограничного слоя (рис. 7.3). Для области течения,' в которой давление повышается в направлении движения (замедленное течение, гг/7/пх ) О), величина дзи/дуз на стенке больше нуля, но так как на некотором расстоянии от стенки всегда дзи/дуз(0, то в этом случае внутри пограничного слоя должно быть место, в 'котором гд2и ду2 Это место есть точка перегиба профиля скоростей в пограничном слое (рис. 7.4) '). Таким образом, в области замедленного внешнего течения профиль скоростей в пограничном слое всегда имеет точку перегиба. С другой стороны, профиль скоростей в точке отрыва, имея здесь касательную, образующую нулевой угол с нормалью к стенке, обязательно должен обладать точкой перегиба.
Отсюда следует, что отрыв пограничного слоя может наступить только в том случае, если скорость внешнего течения прн обтеканиивтела уменьшается. й 3. Замечание по поводу интегрирования уравнений пограничного' слоя Для интегрирования уравнений пограничного слоя при,плоском тече нии, как нестационарном [уравнения (7.7) и (7.8)!, так и стационарном (уравнения (7.10) и (7.11)), часто сначала удовлетворяют уравнению неразрывности, для чего вводят функцию тока ар (х, у, 2), т.
е. полагают дф дф дл (7.17) ') Наличие точки перегиба у профиля скоростей в пограничном слое имеет существенное значение для устовчивости атого профиля (переход течения в вогравичном слое иа ламинарной формы в турбулентную); см. Главу ХЧг'. СОПРОТИВЛЕНИЕ ТРЕНИЯ Подставив эти выражения составляющих скорости в уравнение (7.7), мы получим д~$ дф двф дф двчУ 1 др двч) (7.18) ду дч ду дя ду дв дув р дя дув ' т. е. дифференциальное уравнение третьего порядка. Граничные условия определяются условием прилипания на стенке, следовательно, должно быть — =О дчу ду 1 — =- О на стенке. дчу дя Далее, в момент времени д = О должно быть задано распределение скоростей дчу и=— ду во всем пространстве.
Сравнивая уравнение (7.18) для функции тока с аналогичным уравнением, полученным из системы (4 10) полных дифференциальных уравнений Навье — Стокса, мы видим, что в результате упрощений, сделанных при выводе уравнений пограничного слоя, порядок дифференциального уравнения для функции тока понизился с четвертого до третьего.
в 4. Сопротивление трения Целью интегрирования уравнений пограничного слоя является получение распределения скоростей, а вместе с ним — и положения точки отрыва. Зная распределение скоростей в пограничном слое, легко вычислить сопротивление, которое возникает вследствие трения движущейся жидкости о поверхность тела. Для этого следует проинтегрировать касательное напряжение на стенке по всей поверхности тела. Касательное напряжение на стенке равно И~ Р—— Ь ~ тисов <р сЬ, (7.19) Ей л, об- где Ь есть высота тела, чр — уго разуемый касательной к поверхности тела с направлением скорости Г7 на Рип. 7.5.
к вычислению сопротивления три иия. бегающего потока, а у — координата, измеряемая вдоль поверхности тела (рис. 7.5). Интегрирование следует выполнить вдоль всей обтекаемой поверхности от передней критической точки до задйей кромки, конечно, при условии, что не происходит отрыва.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
