Теория пограничного слоя Г. Шлихтинг под ред. Лойцянского Л.Г. (1013691), страница 32
Текст из файла (страница 32)
6 у~у. Дилее, при упрощениях, которые несколько ниже будут сделаны в уравяе1 и . 1 Навье — Стокса с целью получения из них уравнений погранично1о,.шя, принимается, что толщина пограничного слоя очень мала по сравнению с некоторым характерным линейным размером Х тела, т. е. 6 (( 7. 0 том, какой именно размер тела надо выбрать за характерный, будет сказано в следующем абзаце. Таким образом, решения уравнений пограничного слоя представляют собой по существу асимптотические решения для очень больших чисел Рейнольдса. Приступим теперь к упрощению уравнений Навье — Стокса для течения в пограничном слое. Для этой цели прежде всего произведем оценку отдельных членов этих уравнений с точки зрения порядка нх величины.
Напомним, что мы рассматриваем сейчас двумерную задачу. Примем сначала, что обтекаемая жидкостью стенка плоская (см. рис. 7.1). Направим ось х вдоль стенки, а ось у — перпендикулярно к стенке. Перепишем уравнения Навье— Стокса в безразмерной форме, для чего все скорости отнесем к скорости Р набегающего потока, а все длины — к характерному линейному размеру тела 7,, который выберем так, чтобы безразмерная величина ди/дх в рассматриваемой области течения не превышала по порядку единицу.
Давление и время сделаем безразмерными, разделив нх соответственно на ру' и на ИР. Полученные безразмерные величины обозначим для упрощения записи опять теми же буквами. Наконец, введем число Рейнольдса И,р УХ. Г1Е = — = —, и х которое, согласно нашему основному предположению, должно быть очень велико. В результате уравнения Навье — Стокса (3.32) или (4.4) для рассматриваемой плоской задачи примут вид: 126 РРАВнения ЛОГРАничнОГО слОя пРи плоском течении [гл. Ры Разделим толщину пограничного слоя 6 на характерный линейный размер тела Ь, т.
е. сделаем эту толщину безразмерной. Такая безразмерная толщина — будем обозначать ее той же буквой 6 — на основании сделанного выше предположения должна быть весьма мала по сравнению с единицей, т. е. ди $ дзи 1 — — и ду д ду2 62 в то время как ди д — — — 1 н ду д Подписав эти оценки под соответствующими величинами в уравнениях (7.1) и (7.2), мы увидим из первого уравнения, что величина членов, зависящих от вязкости, имеет в пограничном слое одинаковый порядок с инерционными членами только при условии, что величина числа Рейнольдса имеет.
порядок 1/62, т. е. при условии, что 62 (7.4) дзи 1 ду2 Таким образом, для течения, в котором число Рейнольдса велико, можно упростить первое уравнение движения, отбросив для этого величину д'и/дх', как малую по сравнению с дзи/ду'. Уравнение неразрывности остается для больших )те неизменным. Что касается второго уравнения движения, то из него видно, что величина др/ду имеет порядок 6; следовательно, величина разности давлений поперек пограничного слоя, которую можно было бы вычислить путем интегрирования второго уравнения, имеет порядок 6', т. е. очень мала, и поэтому давление в поперечном направлении пограничного слоя остается практически постоянным.
Его можно принять равным тому давлению, которое существует на внешнем крае пограничного слоя н которое определяется здесь течением без трения. Таким образом, давление в пограничном слое как бы создается внешним течением, и его следует рас- 6 <<1. Приступим теперь к оценке отдельных членов уравнений (7.1), (7.2) и (7.3) с целью отбросить численно малые члены и тем самым упростить уравнения. Из уравнения неразрывности сразу видно, что, поскольку величина ди/дх имеет порядок единицы, такой же порядок имеет и величина др/ду. Но так как на стенке скорость р = О, то отсюда следует, что в пограничном слое величина скорости Р имеет порядок 6. Поэтому такой же порядок 6 имеют в пограничном слое и величины др/дх и дзи/дх2. Величина д'и/дхз имеет порядок единицы. Полученные в результате этой оценки порядки подписаны в уравнениях (7.1) — (7.3) под соответствующими величинами.
Далее, примем, что величина локального ускорения ди/д8 имеет такой же порядок, как и величина конвективного ускорения и ди/дх. Это означает, что очень внезапные ускорения, нацример подобные тем, которые возникают при сильных волнах давления, исключаются из рассмотрения. Члены, зависящие от вязкости, входят в уравнения (7.1) и (7.2) с малым множителем 1/Кн. Тем не менее некоторые нз этих членов должны быть, на основании предыдущих рассуждений, по своей величине одного порядка с инерционными членами по крайней мере в непосредственной близости от стенки. Следовательно, в близком к стенке слое жидкости некоторые из вторых производных скорости должны быть очень велики. Согласно сказанному выше такими производными могут быть только д'и/ду' и дзи/ду2.
Так как составляющая скорости, параллельная стенке, изменяется в тонком слое, имеющем толщину 6, от нуля на стенке до единицы на границе с внешним течением, то 127 состАВление уРАВнений поггАничного слОя $ О сматривать как известную функцию, зависящую только от продольной координаты х и от времени Й На внешней границе пограничного слоя продольная скорость и переходит в скорость 1/ (х, 1) внешнего течения.
Так как здесь уже нет сильного градиента скорости в направлении, перпендикулярном к стенке, то теперь в уравнении (7.1) при большом числе Рейнольдса отпадают все члены, зависяшие от вязкости. Поэтому для внешнего течения уравнение (7.1), если вернуться опять к размерным величинам, принимает вид др/ дУ 1 др — +Ц вЂ” ~ — — —. (7.5) ду ди р ди Для стационарного течения дП/д1 = О, а давление зависит только от х, и уравнение (7.5) принимает после замены частных производных на обыкновенные еще более простой вид: 1 др Ц ( ди р ди (7.5а) Проинтегрировав это уравнение, мы получим уравнение Бернулли р+ — П' = сопзс. (7.6) Граничные условия для внешнего течения приближенно такие же, как для течения без трения.
Пограничный слой очень тонок, а поперечная скорость л на его внешнем крае очень мала (э/Р 6/Ь). Следовательно, потенциальное обтекание рассматриваемого тела, имеющее на стенках тела нормальную составляющую скорости, равную нулю, можно рассматривать как весьма хорошее приближение для внешнего течения вязкой жидкости. Поэтому для определения перепада давления в продольном направлении пограничного слоя достаточно составить уравнение Бернулли (7.5) для совпадающей со стенкой линии тока потенциального течения, считаемого заданным.
Итак, после всех выполненных упрощений от двух уравнений Навье— Стокса остается только одно, которое, если опять вернуться к размерным величинам, принимает вместе с уравнением неразрывности следующий вид: ди ди ди 1 др дэи — + и — + о — = — — — + у —. (7.7) д1 ди ду Р ди дуз — + — — О, ди ди (7.8) причем граничными условиями будут и=э=О при у=О; и=О'(х, 1) при у=ос, (7.9) Система уравнений (7.7) и (7.8) называется уравнениями Прандтлл для пограничного слоя. Скорость П (х, 1) потенциального течения следует рассматривать как известную функцию, определяющую посредством уравнения (7.5) распределение давления. Кроме того, для момента времени 1 = О должно быть задано соответствующее условиям задачи течение в пограничном слое во всей области рассматриваемых значений л и у.
Для стационарного течения система уравнений (7.7) и (7.8) принимает более простой вид: 128 ггхвнкния поггьничного слоя пги плес~о~ ткчкннн [гл. ч~г причем граничными условиями будут и=О, о=О при у=О; и= П(х) при у=оо. (712) Кроме того, в начальном поперечном сечении х = хэ должен быть задан начальный профиль скоростей и (хю у). Следовательно, задача расчета течения в пограничном слое сводится к расчету дальнейшего развития заданного начального профиля продольных скоростей при заданном потенциальном течении. Упрощение уравяений Навье — Стокса, полученное Прандтлем, с математической точки зрения весьма значительно.
Правда, теперь, в противоположность дифференциальным уравнениям ползущего движения, сохраняется нелинейный характер уравнений Навье — Стокса, однако из трех первоначальных уравнений плоской задачи с переменными и, о, р одно уравнение, а именно уравнение движения для направления, перпендикулярного к стенке, полностью отпадает. Соответственно этому сокращается на единицу число неизвестных, и остается система уравнений только с двумя неизвестными и н и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
