Теория пограничного слоя Г. Шлихтинг под ред. Лойцянского Л.Г. (1013691), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Простейшими течениями такого рода являются так называемые разгонные тееченил, т. е. такие, которые возникают из состояния покоя. Пусть, например, плоская стенка, ранее покоившаяся, внезапно начинает двигаться е своей собственной плоскости с постоянной скоростью Уо. Выясним, какое Таким образом, течение без трения в окрестности вихревой нити является одновременно решением уравнений Навье — Стокса (см. по этому поводу з 2 главы 1Ъ')з В связи со сказанным отметим, что при неглзационарном течении, возникающем при распаде вихревой нити под действием вязкости, также возможно точное решение уравнений Навьее — Стокса. Как показали К. В. Озеен (хе) и Г. Хамель [хо), зависимость окружной скорости от радиуса г и времени 1 определяется при таком распаде формулой 92 ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ НАВЬŠ— СТОКСА 1гл.
т течение возникает при атом вблизи стенки т). Пусть стенка совпадает с плоскостью лз. Для плоской задачи из уравнений Навье — Стокса остается только следующее: (5.17) Давление во всем пространстве постоянно. Начальными условиями будут: при 1(0 и=О для всех у, У ' 74 при 1) О и = Г7с для у = 0; (5.18) и= 0 для у= со.
' 4~~~2 Дифференциальное уравнение (5.17) совру надает с уравнением теплопроводности, описывающим распространение тепла в полупроф~ странстве у ) 0 для того случая, когда в мо- 5)Ю мент времени 1 = 0 стенка р = 0 доводится до некоторой температуры, превышающей тем- 94 пературу окружающей среды. Если ввести нот)2 вую безразмерную переменную 2 ш у 2 $'ш (5.19) Лг Л» фт Ду 1Д то уравнение в частных производных (5.17) можно преобразовать в 'обыкновенное дифференциальное уравнение.
Далее, если поло- жить и Ряс. 5Л. Распрспсяевис сксрсстсй вблизи стенки, внезапна приведенксй з азяжевне (первая аадач» Стелса) то для 7'(т)) получится обыкновенное дифференциальное уравнение 7з + 2т)~' = 0 (5.21) с граничными условиями ~ = 1 приат) = 0 и 1 = 0 при т) = оо. Решение этого уравнения будет (5.22) и = Г7е ег(с т), где ~с 2 Г 2 ег1ст) == ) ехр( — т)а) й) =1 — ег1т)=1 — = ( ехр( — т)з)стт) ~/л .) есть дополнительный интеграл вероятности, для которого имеются подробные таблицы ').
Распределение скоростей изображено на рис. 5.5. Профили скоростей для различных моментов времени аффинно-подобны между собой, т. е. они могут быть приведены в совпадение путем изменения масштаба в направлении у. Дополнительный интеграл вероятности, входящий в равенство (5.22), имеет численное значение 0,01 примерно при т) = 2,0. Вспомнив ') Эту задачу вместе с некоторыми другими задачами решил в своей внаменитсй статье о маятнике [зт) Г, Г.
Станс. Некоторые авторы называют ее задачей Райли, что, однако, неправильно, так как ее полное решение было дане Раньше Стоксом в упомянутой статье. з) См., например, Я Ь е р р а г с), ТЬе РгсЬаЫ111у 1птедга1, ВгнйвЬ Аввес. Ас)ч. Яс1., МатЬ. ТаЫев, т. 7 (1039), а также ттсгйв Рго)еЫ Ааш!п!втгаттеп, ТаЫев о11Ье РгоЬаЬ11Ну Рппсмоп, Ыетс 'т'сгй 1941. 93 СЛОИСТЫЕ ТЕЧЕНИЯ в связи с этим определение толщины пограничного слоя (стр. 38), мы найдем, что толщина слоя, увлекаемого пластиной вследствие трения, равна б = 2т)б)l'т1 ж 4)I тг, (5.23) т.
е. она пропорциональна корню квадратному из кинематической вязкости и корню квадратному из времени. Э. Беккер 1а) решил эту задачу в более общем виде — с учетом сжнмаемости жидкости и при постепенном увеличении скорости стенки. 5. Развитие во времени течения Куатта. Только что рассмотренная аадача о развитии зо времени пограничного слоя около стенки, внезапно приведенной в движение, может быть обобщена на случай, когда на расстоянии З от движущейся стенки находится другая, ей параллельная, но неподвижная стенка. В г этом случае будет иметь место не что иное, как разгон течения Куэтта, причем расвределение скоростей с увеличением времеви будет асимптотически прнближаться к линейному распределению,изображенному на рис.
1 1. Дифферен- 44 , а" 1з йд 41 47 4У 44 4Ю 4Ю 47 44 44 1, у-' Рве. ЬЛ. Рааввтме течевва Кунта во времени. Рве. бл. Распрелелевве скоростей пра раегомзом тачезвм в трубе; т т1!Вч по шиманскому РО. циальным уравнением движения будет по-прежнему уравнение (5. 21), с той только разницей, что граничными условиями теперь будут 7=1 при Ч=О и 7 О при е)б 61, где тк = 5/2 )7тг есть беаразмерное расстояние между обеими стенками. Решение уравнения (5.21), удовлетворяющее этим граничным условиям, легко получается, так как кроме функции 1 (ч) решением будет также любая из функций 7 (с + т)) и 1 (с — т)). Обозначив основное решение (5.22) через Р (ч), мы получим искомое решение поставленной аадачи, удовлетворяющее обоим граничным условиям, в следующем виде: — =1 (1)) = Р (т)) — Р (21)1 — 1))+ Р (21)1+1)) — Р (4т)1 — 1))+Р (4Ч1+1)) — +...
(5 24) (1о Оно изображено на рис. 5.6. Теперь, в отличие от предыдущего случая, аффинио-подобны между собой, и притом лишь приближенно, только первые профили, соответствующие начальной стадии разгона, при которон слой жидкости, увлеченный движущейся стенкой, еще ие распространился до неподвижной стенки. Профили, соответствующие более поздней стадии разгона, уже не аффивно-подобны между собой и асимптотнчески прнближаются к линейному распределению скоростей стационарного течения. 6. Развитие во времени течения в трубе. О аадачвми, рассмотренными в двух предыдущих пунктах, много общего имеет задача о разгоне течения в трубе. Под такой задачей мы понимаем следующую.
Жидкость, находящаяся в бесконечно длинной круглой трубе, до момента времени 1 = О покоится; з момент времени 1 = О внезапно возникает перепад давления др/4*, в дальнейшем не изменяющийся во времени. Под действием сил трения и сил инердии возникает рааговное течение, которое аснмптотнчески переходит в течение Хагена — Пауэейля с параболическим распределением скоростей. Решение этой задачи.' сводящейся к дифференциальному уравнению Бесселя, дано Ф.
Шиманским (еа). Профили скоростей для различных моментов времени иаображены на рис. 57Д Характерно, что в самон начальной стадии разгона скорость получается одинаковой почти по всему попереч- точные Решения уРАВнениИ нАВье стоксА (гл. т ному сечению трубы и влиявве трения заметно только в тонком слве вблизи стенок. Лишь ватем действие тренин распространяется до середины трубы. О увеличением времени асимптотически достигается параболическое распределение стационарного течения.
Решение аналогичной задачи для трубы с поперечным сечением в виде круглого кольца дано В. Мюллером ['8[. При ввезапвом выключении верепада давления возникает торможение течеввя. Расчет такого торможения выполнен В. Герберсом [8[. От только что рассмотреввого вестациоварвого разговвого течения в трубе следует отличать стационарное течение в начальном участке трубы. На протяжении этого участка профиль скоростей, имеющий во входном поперечном сечении прямоугольную форму, постепевво, под влиявием трения, вытягивается, пока, наконец, ва некотором расстоянии от входа в трубу ве принимает параболвческую форму, соответствующую течению Хагева — Пуазейля.
Так как при течении в начальном участке ди/дз:~ О, то такое течение ве является слоистым. Плоское течение в начальном участке (вход в канал) было исследовано Г. Шлихтивгом ['з[, а осесимметричвое (вход в круглую трубу) — Л. Шиллером [зз[ и Б. Пуввисоы [зз[ (см. по этому поводу также 1 8 главы 1Х и 1 2 главы Х1).
7. Течение вблизи колеблющейся плоской стенки (вторая задача Стокса). Пусть неограниченная плоская стенка совершает в своей плоскости прямолинейные гармонические колебания '). Ось х расположим в плоскости стенки, а ось у направим перпендикулярно к стенке. Так как жидкость прилипает к стенке, то колебания последней приводят к тому, что жидкость на самой стенке (у = О) обладает некоторой скоростью, меняющейся, согласно условию, по закону и(0, 1) = [1осозпг при у=0.
(5.25) Для распределения скоростей вблизи стенки и = и (у, 1) получается -Гд -д' -дд.-бе -дг и дд бе У дд (д и опять дифференциальное уравнение (5 17), но с граничным условием Рпс. 8.8. Распределение скоростей збпвав плес (5.25). Решение уравнения (5.17), кой степка, совершающей колебазия з собстзевпой плоскости (зторая ззпзчз стокса). как уже было сказано выше, извест- но из теории теплопроводности; в рассматриваемом случае, с учетом граничного условия (5.25), оно имеет вид и (у, 1) = сузе "в соз (п1 — ЙУ), (5.26) где В правильности решения (5.26) легко убедиться путем подстановки его в дифференциальное уравнение (5.17). Сделав замену Л=й,=,~У' —,",, мы получим вместо формулы (5.26) следуюгцуюг и (У, 1) = (7ое ч соб (и( — т)). (5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
