Теория пограничного слоя Г. Шлихтинг под ред. Лойцянского Л.Г. (1013691), страница 19
Текст из файла (страница 19)
В дальнейшем мы ограничимся только такими случаями, так как онн являются наиболее важными для приложений. Тогда в уравнения Навье— Стокса будут входить только силы давления, силы трения и силы инерции. Вернемся к уравнению Навье — Стокса в векторной форме, т. е.к уравнению (3.34). Если ограничиться случаем стационарного течения и учесть только что сказанное о равновесии между силой веса и гидростатической подъемной силой, то уравнение (3.34) примет вид 1) э (И1 етад) Ю = — ягаб р + )А ЛЮ, (4.1) причем под р теперь следует понимать разность между действительным и гидростатическим давлениями. Дифференциальное уравнение (4Л), очевидно, не должно зависеть от выбора единиц для входящих в него физических величин: скорости, давления н других.
Рассмотрим обтекание двух неодинаковых по размерам, но геометрически подобных тел, например двух шаров. Пусть в обоих течениях скорость, плотность и вязкость будут разными. Выясним, при каких условиях оба эти течения с геометрически подобными границами будут динамически подобны. Очевидно, что оба течения будут динамически подобны, если при надлежащем выборе единиц длины, времени и силы уравнение Навье — Стокса (4.1), составленное для первого течения, будет тождественно совпадать с таким же уравнением, составленным для второго течения.
Для того чтобы освободиться от произвольного выбора указанных единиц, введем в дифференциальное уравнение (4Л) безразмерные величины. С этой целью выберем в качестве единиц измерения определенные постоянные величины, характерные для рассматриваемого течения (например, скорость набегающего течения и диаметр шара), н все результаты измерения будем выражать в этих единицах.
Пусть Р, 1 и р, будут характерные величины, посредством которых все остальные величины делаются безразмерными. Тогда, измерив все величины, входящие в уравнение (4Л), в единицах Р и 1, мы будем иметь: м к у безразмерную скорость ЯВ = —; безразмерные длины Х = —, У = —, У 'Я =- †; безразмерное давление Р = — .
г Р Р1 з) См. сноску ва стр. 56. З 2) ТЕЧЕНИЯ БЕЗ ТРЕНИЯ КАК ~РЕШЕНИЯМИ УРАВНЕНИЙ НАВЬИ вЂ” СТОКСА 77 Введя эти безразмерные скорость, длины и давление в уравнение Навье— Стокса (4Л), мы получим р — (йй дга)() яе = — — игаб Р + —,, Мй Уз Ф' или, после разделения всех членов на руз)), (ей ягаб) лй= — ~' вегас( Р+ у Лез ). (4.2) Оба рассматриваемых течения будут подобны только в том случае, если решения уравнения Навье — Стокса (4.2), т. е. решения, выраженные в соответствующих безразмерных постоянных, для обоих течений совпадут.
Для этого необходимо, чтобы безразмерные уравнения Навье — Стокса, составленные для обоих течений, отличались одно от другого только множителем, одинаковым для всех членов. Величина р1/рФ" представляет собой отношение давления р, к удвоенному динамическому давлению р г'2)2 и для динамического подобия двух течений несущественна, так как изменение давления в несжимаемой жидкости не вызывает изменения объема.
Напротив, величина ру0)А весьма существенна и для динамического подобия обоих течений должна принимать одно и то же значение. Таким образом, условие механического подобия будет выполнено, если для обоих течений будет соблюдаться равенство ~~~А Эзузй с1 )Сз Этот закон был открыт О. Рейнольдсом при исследовании течений в трубах и называется в честь него законом подобия Рейнольдса. Безразмерное же число — = — = )хе р)') У) (4;3) и у называется числом Рсйнольдса. Здесь, как и раньше, вместо отношения коэффициента вязкости )А к плотности р введена кинематнческая вязкость у. Следовательно, подводя итог всему сказанному, мы можем коротко сказать: течения несжимаемых вязких жидкостей без свободных поверхностей около двух геометрически подобных тел динамически подобны, если для этих течений числа Рейяольдса одинаковы.
Таким образом, закон подобия, выведенный в з 5 главы 1 один раз путем оценки действующих сил, а другой раз из соображений о размерности, подтверждается и уравнениями Навье — Стокса. з 2. Течения без трения как «решения» уравнений Навье — Стокса Забегая вперед, заметим, что несжимаемые течения без трс)ия можно рассматривать как строгие решения уравнений Навье — Стокса, так как .для таких течений члены уравнений Навье — Стокса, зависящие от вязкости, тождественно равны нулю. В самом деле, для несжимаемых течений, происходящих без трения, вектор скорости может быть представлен как градиент потенциала ср, т. е.
)е = угад ср, н этот потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа Лср = О. 2) См. сноску эа стр. 66. 78 '1гл. лг ОВЩИЕ СВОЙСТВА ГРАВНЕНИЙ НАВЬŠ— СТОКСА Но в таком случае имеет место равенство йтаб (Л<р) = Л (йтаб <р) = О, и поэтому 5 3. Уравнения Навье — Стокса как уравнение переноса вихрей Для плоского нестационарного течения в плоскости ху уравнения (3.32) и (3.33) принимают следующий вид: ди ди ди 1 1 др — +и — +Р— = — Х вЂ” — — +Т д1 .
дх ду р р дх ди ди ди 1 1 др — +и — +Р— = — У вЂ” — — +Т д1 дх ду р р ду ди ди — + — =О, дх ду (4.4а) где и и Р суть составляющие вектора скорости Ю = йи (х, у, 1) +,уу (х, у, 1). Таким образом, для определения трех величин и, Р, р мы имеем три уравнения. Введем в рассмотрение так называемую ротацию скорости го1 Ю, равную удвоенной вихревой напряженности ы. При плоском течении остается Таким образом, для потенциальных течений член в уравнении (4.1), зависящей от вязкости, тождественно исчезает. Однако для 1потенциальных течений оба граничных условиях (3.35) для скорости в общем случае не могут быть выполнены одновременно.
Если нормальная составляющая скорости вдоль границы наперед задана, то тем самым при потенциальном течении устанавливается и определенная касательная скорость, и поэтому условие прилипания не может быть удовлетворено. Следовательно, течения без трения в общем случае не могут рассматриваться как решения уравнений Навье — Стокса, имеющие физический смысл, так как они не удовлетворяют граничному условию, требующему равенства нулю касательной скорости на стенке, т.
е. условию прилипаиия на стенке. Исключением является случай, когда стенка движется вместе с течением, следовательно, когда необходимость выполнения только что указанного условия отпадает. Простейшим примером такого течения является обтекание вращающегося цилиндра. В этом случае потенциальное течение может рассматриваться как решение уравнений Навье — Стокса, имеющее физический смысл. Подробнее об этом будет сказано на стр. 90. Более подробные сведения по этому вопросу можно найти в работах Г.
Хамеля Р) и Ж. Аккерета (1). В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением только плоских (двумерных) течений, так как, во-первых, только для ннх можно указать некоторые общие свойства уравнений Навье — Стокса, а во-вторых, именно они встречаются в преобладающей части приложений. $31 УРАВнениЯ нАВъе — стоксА кАк УРАВнение пеРеносА ВихРей 7э. только составляющая вихревой напряженности вдоль оси з, равная 1 1 1 до до~ — (гоСсо],=ю,=со= — ( — — — ) 2 ( дх дд ) (4.5) В потенциальных течениях вращение частиц отсутствует, поэтому в таких течениях гог ю = О. Исключив из уравнений (4.4) давление р и1 приняв во внимание равенство (4.5), мы получим де дв дв г дзв дзи ~ — +и — +Р— =У ( — + — ) дс дх ду ( дхз дуз ) (4.6) или, в сокращенной записи, (4.7) и=— дф дф В= —— э (4.8) и тем самым выполним интегрирование уравнения неразрывности (4.4а).
Внеся эти значения и, и в равенство (4.5), мы получим ю = — — Лф. 2 (4.9) Следовательно, уравнение переноса вихрей (4.6) примет вид дЛф дф дЛф дф дЛф — ТЛ Лф (4.10) д~ + ду дх дх ду В этом виде уравнение переноса вихрей содержит только одну неизвестную ф. Его левая часть содержит, так же как и уравнения Навье— Стокса, инерционные члены, а правая часть — члены, зависящие от вязкости. Уравнение (4 10) является дифференциальным уравнением четвертого порядка относительно функции тока.
Так как зто уравнение нелинейное, то нахождение его общего решения связано с очень большими трудностями. Решение уравнения переноса вихрей (4.10) для случая обтекания шара дано В. Г. Иенсоном (э!. На рис. 4.1 изображены получившиеся при этом решении картины линий тока для различных чисел Рейнольдса, а также соответствующие распределения вихревой напряженности. Наименьшее число Рейнольдса (ми = 5, рис. 4.1, а и г) соответствует течению, в котором силы трения значительно больше сил инерции (ползущее движение, см. э 4 главы 1Ч и главу Ч). В этом случае во всем поле течения происходит вращение частиц и картина линий тока на передней и задней стороне шара приближенно Это уравнение, называемое уравнением переноса вихрей, показывает, что субстанциальное изменение вихревой напряженности, складывающееся нз локальной и конвективной составляющих, равно дисснпации вихревой напряженности вследствие трения.
К уравнению (4.6) необходимо, конечно, присоединить уравнение неразрывности (4.4а), следовательно, для определения двух составляющих и, и скорости мы имеем два уравнения. Наконец, мы можем два уравнения. (4.6) н (4.4а) с двумя неизвестными заменить одним уравнением с одной неизвестной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
