Теория пограничного слоя Г. Шлихтинг под ред. Лойцянского Л.Г. (1013691), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Следовательно, составляющими результирующей поверхностной силы для трех координатных направлений будут: для направления х — а1х с(у е(г, дгтх дх др" а1хс(ус(г, ду — с(х с(у с(г. оя полученную сумму на объем е)Р к единице объема поверхностную для направления у для направления г Сложив этн составляющие и разделив параллелепипеда, мы получим отнесенную результнруютцую силу .Р, вызванную напряженным состоянием: дгтх дтту дгаа а- = — + — + — . 13.6) дх ду да д , -'ях х тг В этом Равенстве 22„, )Рр, )э, сУть векторы, которые мы можем разложить на их составляющие.
Выполним это разложение и введем еле- р дующие обозначения. Составляющие, перпендикулярные к элементарным ~~У площадкам, т. е. нормальные напряжспня, ОбОЗНаЧИМ буКВОй О С ИндЕК Рис. ЗЛ. К выводт выражения тенаора напря- женна при неоднородном напряженном сосом, указывающим ось, параллельно стоянии. которой направлено рассматриваемое нормальное напряжение. Составляющие же, лежащие в плоскости элементарных площадок, т. е. касательные напряжения, обозначим буквой т с двумя индексами; из этих индексов первый указывает, к какой оси перпендикулярна рассматриваемая элементарная площадка, а второй указывает ту ось, параллельно которой направлено рассматриваемое касательное напряжение.
Применив эти обозначения, мы будем иметь 2Э„= го„+ Ут,в+Уст„, 72р —— йтр„+Уор Ди Iстр„гэ, = гт,х+ тт„+ ФО,. (3.7) Таким образом, напряженное состояние определяется девятью скалярными величинами, совокупность которых составляет тензор напряжений. Эту совокупность девяти составляющих тензора напряжений называют также матрицей напряжений и обозначают следующим образом: 1ах тхр тхм (3 8) тах сер аа Тензор напряжений и соответствующая матрица напряжений симметричны относительно главной диагонали, так как касательные напряжения с одинаковыми, но расположенными в обратном порядке индексами равны между собой.
В этом легко убедиться из рассмотрения уравнений движения 58 состлвлкнин тг-ний движкния сжимлнмой вязкой жидкости ~гл. гп элементарного объема жидкости. В общем случае движение можно разложить на мгновенное перемещение и на мгновенное вращение. Для нашей цели достаточно рассмотреть только последнее движение. Обозначив мгновенное угловое ускорение":элементарного объема жидкости через ю (юх, юр, ю,), мы получим для вращения вокруг оси у уравнение юр Й1 у — — (тх, Ыу ~Ь) Ых — (т»х Ых Ну) Ыз = (тх, — т,х) о у', где 1а1 есть момент инерции выделенного объема жидкости относительно оси у. о момент инерции та1 пропорционален пятой степени линейных размеров элементарного параллелепипеда, тогда как объем с(у' пропорционален третьей степени линейных размеров элементарного параллелепипеда.
Стягивая элемент жидкости в точку, мы увидим, что леван часть предыдущего уравнения исчезающе мала по сравнению с правой частью. Следовательно, тхр Тух если только составляющая юр углового ускорения не имеет бесконечно большого значения. Аналогичные равенства получаются и для двух других осей. Тем самым симметрия тензора напряжений доказана. Из предыдущего ясно, что тензор напряжений не будет симметричным, если в жидкости возникают локальные моменты, пропорциональные объему с(у».
Такой случай может иметь место, например, в электростатическом поле. Таким образом, мы имеем (3. 10) т до„ дхху дтх»т Р= т' ~ — "+ — + — )+ дх 1 ду да ) дтхр дор дтр, составляющая вдоль оси х составляющая вдоль оси у (3.10а) составляющая вдоль оси а пло- пло- щадка щадка гх ху пло- щадка уа Внеся это выражение в уравнение движения (3.2) и нее на оси координат, мы будем иметь Ри дох дтху д т» Рщ дт»а дауа р — =2+( — + — + — ) . спроектирован послед- (3Л~) Тхр = 'Суху Тх» = т»ху Ту» = Т»ра следовательно, матрица напряжений (3.8) содержит только шесть различных составляющих тензора напряжения и симметрична относительно своей главной диагонали; поэтому ее можно переписать следующим образом: асх тху тх»~ П = ~ схр иу ту») .
Подставив в равенство (3.6) значения (3.7) и имея в виду только что доказанную парность касательных напряжений, мы получим для поверхностной силы Р, отнесенной к единице объема, такое выражение: % з1 скоэость дкеоэмяпии элвмкнтя жидкости пгн ткчвнни 59 В жидкости, лишенной трения, все касательные напряжения равны нулю, и в уравнениях остаются только нормальные напряжения, которые к тому же одинаковы.
Отрицательное значение любого иэ этих нормальных напряжений определяет давление в точке х, у, г. Следовательно, мы имеем 1 з (с"+по+а) =-р. (3 А 2) В з 4 мы увидим, что при отсутствии релаксации оно остается равным термодинамическому давлению. Система трех уравнений (ЗА() содержит шесть составляющих н„, ою о„тяю т„„тз, тензора напряжения. Следующей пашей задачей является установление связи этих составляющих с деформациями, а тем самым— и с составляющими и, о, ш скорости.
Прежде чем вывести эту связь, что мы сделаем в з 4 настоящей главы, остановимся подробнее на деформированном состоянии. з 3. Скорость деформации элемента жидкости при течении Когда сплошное жидкое тело приходит в движение, каждый элемент жидкости с течением времени в общем случае перемещается в новое положение и при этом деформируется. Движение жидкости будет полностью определено, , 11(В' если вектор скорости ю будет задан как з» аз*'( функция времени и положения, т. е. если д будет известна функция 1э = (х, у, з, 1). Поэтому должно существовать соотнося шение между составляющими скорости деформации и функцией Ю = Ю (х, у, з, 1).
вяц Скорость, с которой элемент жидкости деформируется, зависит от относи- р А тельного движения двух точек. Рассмотрим две близкие точки А и В (рис. 3.2). При наличии поля скоростей точка А за промежуток времени дс совершает перемещение в = ю ас в положение А', точка же В с радиусом-вектором с(г по отношению к А перемещается в положение В', расположенное относительно В согласно радиусу-вектору я + с(я = (ю + сйэ) сй. тхр = тв» = т»х = 1) пх = оу = и» = Р. При таком зидростатическом напряженном состоянии давление в жидкости равно среднему арифметическому из нормальных напряжений, взятому со знаком минус. Так как измерения, которые ведут к установлению термодинамического уравнения, выполняются в условиях, когда жидкость остается в покое, то только что указанное давление совпадает с термодинамическим давлением, входящим в уравнение состояния.
Среднее арифметическое из нормальных напряжений, сумма которых является следом (первым инвариантом) тензора напряжений, целесообразно использовать в качестве особой расчетной величины также для вязкой жидкости, находящейся в состоянии движения. Это среднее арифметическое по-прежнему называют давлением, но связь этого давления с термодинамическим давлением требует дальнейшего исследования. Хотя это давление уже не равно обычному напряжению, нормальному к поверхности, тем не менее оно, как инвариант тензора напряжения, обладает свойством инвариантности относительно преобразования системы координат и определяетоя величиной 60 сОстАВление уР ний дВижения сжимАемОи ВязкОЙ жидкОсти [гл. и Пусть в точке А составляющие скорости то равны и, п, ю. Тогда составляю- щие и + сСВ, и + сгп, ю + сСту скорости Ю + с1Ю в соседней точке В мы най- дем, развернув выражения этих составляющих в ряд Тэйлора и сохранив в нем только члены первого порядка.
Мы получим ди ди ди и+ с1и = и+ — с(х+ — с(у+ — с(г, дх ду дх ди ди др и + сСР = Р + — с1х+ — сгу+ — ссг, дх ду дх дм дх диг и+ с1ту = и + — ссх+ — ссу+ — ссг. дх ду дх (ЗАЗ) Таким образом, относительное движение точки В относительно точки А будет описываться следующей матрицей из девяти частных производных локального поля скоростей: ди ди ди дх ду дх ди ди др (3.13а) дх ду их ди~ ди~ дм дх ду дх Целесообразно преобразовать полученные выражения (3.13) составляющих сси, с)о, ссг относительной скорости к следующему виду: сси = (е„ссх+ ехр с)у+ е„ссг) + (т(ссг — ьссу), сси=-(ер„ссх+ерссУ+ер,ссг)+ (ьпх — $ссг), сСтд — (е,„с1х+ е,р ссу 1- е, сгг) + (З сСу — т) с(х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
