Теория пограничного слоя Г. Шлихтинг под ред. Лойцянского Л.Г. (1013691), страница 15
Текст из файла (страница 15)
(3.14) Легко проверить, что введенные новые символы имеют значения хх схр ехх ирх Ср срх хп = тгх изр их р (,ъ„+ д ) (3.15а) др ду дх Заметим, что матрицы еы симметричны, следовательно, сер '= ерт ерх — ехр Ехх — Ехх~ (3.15в) а величины З, т), Ь моя но рассматривать как составляющие вектора ю =- гос Ф. (3.15г) Каждой из введенных величин можно дать геометрическую интерпретацию, что мы сейчас и сделаем. скорость дкрормдции элвмкнть жидкости при твчкнии 61 Рис.
3.3. Локальное искажение элемента жиднасти для случая, когда ди!дх > С, а асе остальные члены равны вулю. Однородное растяжение а направлении х. Рис. 3лъ Локальное искажение элемента жидкости, когда дияр > О, а асс остальные члены равны нулю. Однороднын сдвиг. На рис. 3.3 представлено поле скоростей для случая, когда отсутствуют все члены, кроме ди/дх, причем предполагается, что ди!дх ) О. Относительной скоростью точки В относительно А теперь будет г1и= ( — ) с3х, и поле скоростей будет состоять из плоскостей х = сопз1, одинаковым образом удаляющихся со скоростью, пропорциональной Их, от плоскости х — О. Элементарный параллелепипед, имеющий две вершины в точках А и В, подвергается в таком поле скоростей растяжению, причем грань ВС удаляется от грани АВ с возрастающей скоростью. Следовательно, величина з„ представляет собой скорость удлинения элемента жидкости в направлении х.
Аналогичным образом члены з„= дЫду и е, = — диг/дз представляют собой скорости удлинения элемента жидкости в направлениях у и 3. . Теперь легко видеть, какая деформация элемента жидкости возникает в результате одновременного действия всех трех диагональных членов матрицы (3.13а) или (3.15а). А именно, элемент жидкости удлиняется во всех трех направлениях, причем изменения длин трех ребер параллелепипеда вызывает изменение объема с относительной скоростью ( ух+ — дх дг) (ду+ — ду де) (Ыя+ — дя Иг) — для дя е-- дх ду дя Иг ди до ди1 — — + — + — = Жрпг дх ду дг (3.16) Поскольку мы сосредоточили наше внимание на непосредственной окрестности точки А, и так как целью нашего рассмотрения является движение точки В относительно А, то целесообразно поместить точку А в начало координат и рассматривать величины ггх, сгу, Иг как координаты точки В в декартовой системе координат.
Тогда уравнения (3.14) будут определять поле относительных скоростей, в котором составляющие с(и, г3Р, г3гр являются линейными функциями пространственных координат. Для того чтобы понять смысл отдельных членов в матрице (3.15а) и в равенствах (3.156), рассмотрим эти члены каждый в отдельности. 62 состАвление УР-ний движения сжимАемОЙ Вязкои жидкости 1гл.
111 с точностью до производных первого порядка. Однако в процессе этой деформации геометрическая форма элемента жидкости, определяемая углами при вершинах параллелепипеда, не искажается, так как прямые углы остаются прямыми. Таким образом, величина е представляет собой мгновенное объемное расширение элемента жидкости. Для несжимаемой жидкости е = О. Для сжимаемой жидкости уравнение неразрывности (3.1) принимает вид е=-61ч ю= — — —, 1 11р /Э1 (3.17) следовательно, объемное расширение, т.
е. относительное изменение объема равно взятой со знаком минус относительной скорости изменения локальной плотности. Поле относительных скоростей будет иметь другой вид, когда один из недиагональных членов матрицы (3.13а), например ди/ду,не равен нулю. Для определенности примем его положительным. Соответствующее поле скоростей, изображенное на рис. 3.4, представляет собой деформацию чистого сдвига. Прямоугольный элемент жидкости, одна из вершин которого совпадает с началом прямоугольной системы координат, деформируется теперь в параллелограмм А'П'В'С'А'.
Первоначально прямой угол в вершине изменяется со скоростью, измеряемой углом ди — ду д1 ду схд т. е. Со скоростью ди/ду. Если не равны нулю два члена ди/ду и ди/дх и при этом оба они положительны, то первоначально прямой угол в вершине А искажается вследствие наложения двух движений так, как показано на рис. 3.5. Легко видеть, что теперь скорость изменения первоначально прямого угла в вершине определяется двумя недиагональными членами матрицы (3.15а) и равна Вообще каждый из трех недиагональных членов е„„= еу„, ех, = е, и е,„= еу, определяет скорость искажения прямого угла, лежащего в плоскости, нормальной к оси, индекс которой отсутствует в двойном индексе недиагонального члена матрицы (3.15а).
Это искажение сохраняет объем и изменяет только форму элемента жидкости. На рис. 3.6 изображено поле скоростей для частного случая, когда ди/ду = — ди/дх. Из предыдущих рассуждений и из того обстоятельства, что теперь е,„= О, мы можем сразу сделать вывод, что прямой угол в вершине А остается неизменным. Это видно также из рисунка, который показывает, что элемент жидкости вращается вокруг точки А как твердое тело. Мгновенная угловая скорость этого вращения равна ди дх — дх д1 ди ди дх д1 дх ду 1 Теперь легко видеть, что согласно (3.15б) компонента ь вектора — го1Ю, известная нам как завихренность поля скоростей, представляет угловую скорость мгновенного вращения элемента жидкости как твердого тела, и имеет место неравенство 1.31 скорость деФОРИАции элементА жидкости при течении 63 В более сложном случае, когда др1дх чь — ди/ду, элемент жидкости вращается и одновременно его геометрическая форма искажается.
Мы можем интерпретировать член как скорость деформации элемента жидкости, а член как скорость, с которой элемент жидкости принимает участие во вращении жидкости как твердого тела. Линейность уравнений (ЗАЗ) или полностью им эквивалентных уравнений (ЗА4) означает, что самый общий случай деформации получается Рио. 3.3. Локальное искажение элемента жид- кОСти, когда Рис. 3.5. Локальное искажение элемента жидкооти, когда 1 l дк дэ т еху=еух= — ( — + — ) >д, 2 ду дх а вое остальные члены равны нулю; иокаже- ние формы.
(Диаграмма поотроейа дли дк/ду = дэ1дхз Мгновенное вражение алемента жидкооти как твердого тела. посредством наложения только что описанных простых деформаций. Следовательно, если наше внимание сосредоточено на двух соседних точках А и В' элемента жидкости, находящейся в непрерывном поле скоростей Е3 (х, у, г), то движение этого элемента может быть единственным образом разложено на четыре составляющих движения: а) На чистое параллельное перемещение, определяемое составляющими и, и, ю скорости 1э. б) На вращение как твердого тела, определяемое составляющими $, 1 ц, 1", вектора — го$ Ю. в) На объемное расширение, определяемое величиной е = г(1ч Ю или на линейные удлинения в направлении осей, определяемые соответственно величинами зх, з„, 3,.
г) На искажение геометрической формы, определяемое величинами еху1 зха1 еху Только два последних движения вызывают деформацию элемента жидкости, содержащего точку А, в прямом смысле слова; первые же два движения даже в общем случае вызывают только смещение элемента жидкости из его первоначального положения. 64 сОстАВление уР.ний дВижения сжимАемои вязкой жидкости [гл, гн Элементы матрицы (3.15а) образуют систему составляющих симметричного-тензора, называемого тензором скоростей деформации.
Математические свойства этого тензора аналогичны свойствам тензора напряжений, также симметричного. Нз теории упругости [з), [т), а также из тензорной алгебры [и) известно, что с каждым симметричным тензором можно связать три взаимно ортогональные главные оси, которые определяют три взаимно ортогональные главные плоскости, образующие привилегированную декартову систему координат. В этой системе координат вектор напряжения в каждой главной плоскости (или мгновенное движение в такой нлоскости) нормален к ней, т.
е. параллелен одной из главных осей. Когда применяется такая специальная система координат, матрицы (3.10) или (3.15а) содержат одни Рис. ЗЛ. Глазные оса тензора напряжений и тензора скоростей нееормании. только диагональные члены. Обозначим соответствующие значения состав- ляющих такого тензора прежними буквами, но с черточкой сверху; мы получим е„О О О ер О о„о О О о„О О О о, (3.18) или О О Наконец, вспомним, что такое преобразование координат не изменяет суммы диагональных членов, так как такая сумма, как мы уже отметили выше, является инвариантом тензора; следовательно, мы будем иметь о„-[-ос+о, =о„+ос+о, (3.19а) е„-[- ер + е, = е, + ер + е, ( = е =- е[[У [в) . (3.19б) На рис. 3.7 изображены две такие привилегированные системы — одна для тензора напряжений, другая для тензора скоростей деформации.
Мы видим, что элемент жидкости подвергается действию нормальных напряжений в трех взаимно перпендикулярных направлениях, а его грани мгновенно перемещаются также в трех взаимно перпендикулярных направлениях. Это, конечно, не означает, что в других плоскостях не возникают касательные напряжения и что форма элемента жидкости не искажается. 3 4. Связь между напряженным состояняем и скоростью деформации С самого начала подчеркнем, что уравнения, определяющие поверхностные силы в поле течения, должны быть получены на основе надлежащей интерпретации экспериментальных результатов и что дальнейшие наши рассуждения будут ограничены только изотропной ньютоновской жидкостью. Сведения, изложенные в предыдущем параграфе, обеспечивают нас падле- » «3 сВязь нАНРяженногО сОстОяния со скОРОстью деФОРмАции 65 (3.21) 5 г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
