Теория пограничного слоя Г. Шлихтинг под ред. Лойцянского Л.Г. (1013691), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Для полной физической определенности решений системы уравнений Навье — Стокса должны быть заданы граничные и начальные условия. В вязкой жидкости имеет место прилипание частиц жидкости к ограничивающим стенкам, т. е. на стенках исчезают как нормальная, так и касательная составляющие скорости, следовательно, граничными условиями будут ш„= О, игг = 0 на твердых стенках. (3.35) Уравнения (3.29) впервые были выведены М. Навье [Ч (в 1827 г.) и С. Д.
Пуассоном РЧ (в 1831 г.) на основе соображений о действии межмолекулярных сил. Несколько позже эти же уравнения получили Б. СенВенан РЧ (в 1843 г.) и Г. Г. Стокс ['Ч (в 1845 г.), но уже не привлекая к рассмотрению действие межмолекулярных сил, а исходя, во-первых, из допу- ') В газах это условие приближенно удовлетворяется лучше, чем в жидкостях. УРАВНЕНИЯ НАВЬŠ— СТОКСА 1 дог дгг Рт дгг дч д~г 1 1 Р ~ — "+Є— г+ — "— — +У, — ") = д2 дг г д~р д2 ~ дР Г дЪ„1 дгг иг 1 дЪг 2 дгт дЪ =К' — ~ — +Р— + — — — — + — — — — — + — ~ ' дг 1 дг2 г дг г2 г2 дг22 г2 д~р д22 ) где, дв, и, др, угг ди, 2 Р ( — +Сг — + — — + — +Р.— ) = д2 " дг г д<р г 2 д2 ) др г дзгт 1 дат ит 1 дзгч 2 диг дЪР 2 =К вЂ” — — +:~ — + — — — — + — — + — — +— г д<р Р1 дгз г дг г2 г2 д,р2 г2 д~> дзг 71 (3.
36'р 7 д"г дгг "т дог дог т Р ( — '+Рг — *+ — — + .— ') = д2 " дг г д~р 2 д2 ) др / дЪ2 1 дог 1 дзгг дзиг 2 = К, + Р I ' ° + — — л — — '*+ — '* ' в дг ) дг2 г дг ' г2 д[рз д22) > двг гг, 1 двор дгг — '+ — г+ — — + — '= О. дг г г д~р д2 (3. 37р Составляющие тензора напряжений будут дгг о„= — Р+ 2Р—, дг Ч гг Оч= Р+ 2Р ( — д -)- — "), дг, о,= — р+2Р— *, д2 щения, что нормальные и касательные напряжения связаны со скоростями деформаций линейными зависимостями, т.
е. из того же допущения, которое введено законом трения Ньютона, и, во-вторых, из предполо2кения, что термодинамическое давление равно одной трети суммы нормальных напряжений, взятой со знаком минус. Так как допущение, положенное в основу вывода уравнений Навье— Стокса, является совершенно произвольным, то заранее нельзя быть уверенным, что эти уравнения правильно описывают движение вязкой жидкости. Следовательно, уравнения Навье — Стокса нуждаются в проверке, которая возможна только путем эксперимента.
Правда, необходимо иметь в виду, что до настоящего времени вследствие болрших математических трудностей не получено ни одного общего решения уравнений Навье — Стокса в их полном виде, т. е. с сохранением всех конвективных членов и всех членов, учитывающих вязкость. Однако известны некоторые частные решения, например для ламинарного течения в трубе или для течений в пограничном слое, и эти частные решения столь хорошо совпадают с экспериментальными результатами, что вряд ли можно сомневаться в общей применимости уравнений Навье — Стокса.
Цилиндрические координаты. В дальнейшем нам неоднократно понадобятся уравнения Навье — Стокса в цилиндрических координатах. Обозначим через г, ~р, г соответственно радиальную, окружную и осевую коорДинаты ЦилинДРической системы кооРДинат, чеРез и„ич, и, — составллющие скорости в направлении этих координат и выполним переход от прямоугольных координат к цилиндрическим. Тогда для несжимаемой жидкости мы получим вместо уравнений (3.32) и (3.33) следующие ( ), [Ч: 74 . сОстАВление РР-ний дВижениЯ сжимАемОЙ ВЯзкОЙ жидкОсти [гл. [п Литература к главе П1 1.
В е О г о о С 8. К. апй М а з и г Р., Хоп-еци[1[Ьг[иш ТЬегшойупаш[св. ХогСЬНо!1апй РиЫ. Со., 1962. 2. Р о р р 1 А., Чог[евипЕеп йЬег СесЬп1всЬе МесЬап!Ь, т. 5, ТеиЬпег, Ье!рз[9 1922. 3. Н о р [ Ь., ЕаЬе Р[йзз[ЕЬе[Сеп, глаза з «НапйЬисЬ йег РЬув!Ь», т. ЧП, под редакцией Н. Ое!Еег и К. 8 с Ь е е Г а, Вег1!и 1927. 4. К е в С ! и 1., А Соигве ш ТЬегшойупаш[св, т. 1, В1а!вйе11 1966. 5. К е в С ! и 1., ЕСийе СЬегшойупашщие йев РЬепошепея птечегв[Ыев. Кер. № 66 — 67, 1.аЬ.
й'Аего[Ьеппщие, Мепйоп 1966. 6. Ь а ш Ь Н., Нуйгойупашгсв. Изд. 6-е, СашЬг!ЙЕе 1957; также Вочег 1945 (имеется русский перевод: Л а м б Г., Гидродинамике, Гостехйздат, 1947). 7. [ о ч е А.Е.Н., ТЬе МаСЬешаИса1 ТЬеогу о1 Е1авС!с1[у. Изд. 4-е, СашЬСЙЙЕе [)п[ч. Ргевв, 1952 (имеется русский перевод: Л я в А., Математическая теория упругости, ОНТИ 1935).
8. М е ! х и е г 1. ипй Ке1[г Н. 6., ТЬеппойупаш!с !ггечег»1Ыеп Ргозевве. Статья в «НапйЬисЬ йег РЬуя[Ь», т. ЧП!/2, под ред. 8. Р!и33е, Врг[п3ег 1959, 413 — 523. 9. Х а ч 1 е г М, Мйшо!ге виг 1ев Ьо!я йи Моичешеп[ йев Р1шйев. Меш. Йе 1'Асай. й. 8с!. 6, 389 — 416 (1827). 10. Р о 1 в в о и Б. [)., Мешо!ге яиг 1ев ейпаИопв Еепега!ев йе Гецш11Ьге еС йи шоиче- шепС йев согрв во1Ыев41авС[ииев еС йев [1и!Йев. [оы. Йе 1'Есо1е ро1угесЬп. 13, 139 — 186 (1831).
11. Р г а 9 е г Ч«., [п[гойисИоп Со МесЬап[св о! Соп[шиа. О!пп аий Со., !961. 12. Р г 1 9 о 9 ! и е 1., ЕСийе СЬегшойупашщие Йев рЬепошепев !ггйчегМЫев, Викой-Веяоег 1947. 13. 8 С о Ь е я С. б., ОВСЬеТЬеоПев о1 1пгегпа1 рг[сгюп о[Р!и!Йв ш МоИоп.
Тгапя. СзшЬг. РЬ»1. 8ос. 8, 287 — 305 (1845). 14. Йе 8С. Ч е и а и С В., Хо[е а !о1пйге ип шешо1ге виг 1а йупашщие йея [1иЫев. СошрСев-Кепйив 17, !240-1244 (1843). Глава 1Ч Общие свойства уравнений Навье — Стокса Задачей интегрирования уравнений Навье — Стокса мы займемся в следующих главах. В этой же главе мы рассмотрим некоторые общие свойства этих уравнений, причем ограничимся только случаем несжимаемой вязкой .жидкости. з 1. Вывод закона подобия Рейнольдса из уравнений Навье — Стокса До настоящего времени не найдены методы интегрирования уравнений Навье — Стокса в их общем виде.
Правда, для некоторых частных случаев течения вязкой жидкости удалось найти решения, но среди этих частных случаев только совсем немногие не налагают никаких ограничений на величину вязкости. К числу таких случаев, допускающих для коэффициента вязкости любые значения, принадлежат, например, течение Луазейля в трубе и течение Куэтта между двумя параллельными стенками, из которых одна неподвижна, а другая движется в своей плоскости с постоянной скоростью (рнс. 1.1).
Это обстоятельство вынудило искать решение проблемы расчета течений вязкой жидкости, исходя из двух предельных случаев. А 'именно, с одной стороны, были рассмотрены течения с очень большой вязкостью, а с другой стороны, стали исследоваться течения с очень малой вязкостью, так как в том и другом случае получаются некоторые математические упрощения. Однако результаты, полученные для таких предельных случаев, ни в коем случае нельзя интерполировать на течения со средней величиной вязкости. Предельные случаи очень болыной и очень малой вязкости, несмотря на некоторые математические упрощения, все же остаются очень трудными для теоретического исследования.
Это обстоятельство заставляет в широкой мере обращаться к экспериментальному изучению вязких течений. Такой способ изучения, вообще говоря, очень трудоемкий, так как требует выполнения большого количества измерений. Однако имеются возможности значительного сокращения измерений.
Относительно этих возможностей весьма полезные указания дают уравнения Навье — Стокса. Часто экспериментальные исследования обтекания тел производятся не на натурных объектах, т. е: объектах в натуральную величину, а на геометрически подобных неболыпих моделях, помещаемых в искусственный поток жидкости (или воздуха). В таких случаях всегда возникает вопрос о динамическом подобии обоих течений, вопрос, непосредственно связанный с возможностью переноса результатов испытания модели на натурный объект.
Как уже было сказано в главе 1, два течения с геометрически подобными границами называются динамически подобными, если для обоих течений геометрически подобны также картины линий тока. В той же главе мы установили, что для течений, в которых достаточно учитывать только 76 1ГЛ. 1У ОБЩИЕ СВОЙСТВА УРАВНЕНИЙ НАВЬŠ— СТОКСА силы инерции и силы трения, признаком динамического подобия является равенство чисел Рейнольдса для обоих течений (закон подобия Рейнольдса). Выведем еще раз закон подобия Рейнольдса, но на этот раз не путем оценки сил, определяющих движение, а из уравнений Навье — Стокса. Дифференциальные уравнения Навье — Стокса выражают собой не что иное, как равновесие приложенных к каждому элементу жидкости массовых сил (вес), поверхностных снл и сил инерции.
В число поверхностных сил входят, во-первых, силы давления (нормальные силы) и, во-вторых, силы трения (касательные силн). Массовые силы (вес) играют прн движении жидкости существенную роль только либо при наличии у жидкости свободной поверхности, либо при неравномерном распределении плотности, т.
е. в случае неоднородной жидкости. В однородных же жидкостях без свободной поверхности вес, действующий на каждый элемент объема, уравновешивается гидростатической подъемной силой, вызываемой распределением гидростатнческого, или весового, давления, т. е. того давления, которое имеет место в состоянии покоя. Следовательно, при движении однородной жидкости без свободной поверхности массовые силы совершенно выпадают, если вместо действительного давления рассматривать разность между действительным давлением н давлением в состоянии покоя.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
