Теория пограничного слоя Г. Шлихтинг под ред. Лойцянского Л.Г. (1013691), страница 16
Текст из файла (страница 16)
шииттинг жащим математическим фундаментом, позволяющим установить в более точной формулировке требования, диктуемые экспериментом. Когда я<идкость покоится, в ней существует однородное поле гидро- статического напряжения (отрицательное давление — р). Если же жидкость движется, то уравнение состояния должно определять также давление в каж- дой точке («принцип локального состояния» (Ч), и поэтому удобно ввести в рассмотрение, наряду с остающимися при этом неизменными касатель- ными напряжениями, девиатор нормальных напряжений о„'=о„+р, о,', =о„+р, о,'=а,+р. (3.20) Полученные таким путем шесть величин образуют симметричный тензор напряжений, существование которого обязано движению, так как для покоя- щейся жидкости все составляющие этого тензора тождественно равны нулю.
Из сказанного ранее следует, что составляющие полученного девиатора тензора напряжений связаны исключительно с составляющими тензора скоростей деформации, т. е. с составляющими и, Р, и~ скорости и с составляю- щими $, т), Ь завихренности. Это равносильно тому, что мгновенное смеще- ние элемента жидкости (составляющие движения (а)1, а также его мгновен- ное вращение как твердого тела (составляющие движения (б)) не вызывает появления в дополнение к уже имеющимся составляющим гидростатического давления — поверхностных сил на элементе жидкости. Предыдущее утвер- ждение представляет собой, очевидно, только краткую локальную форму- лировку общего случая, когда конечный объем жидкости совершает произ- вольное движение, неразличимое от эквивалентного движения твердого тела. Следовательно, выражения составляющих о„', о,„о,',..., т,„.
девиатора тензора напряжений могут содержать в себе только градиенты скорости ди!дх,..., диддг в соответствующих комбинациях, определением которых мы сейчас и займемся. Прежде всего постулируем, что для обеспечения изотропии эти комби- нации должны быть линейными и долясны оставаться неизменными при вращении координат нлн при взаимной замене осей. Условия изотропии требуют также, чтобы главные оси тензора напряжений в каждой точке континуума совпадали с главными осями тензора скоростей деформации, иными словами, должно быть выбрано привилегированное направление.
Простейшим способом достичь нашей цели будет следующий. Выберем произвольную точку континуума и поместим в нее начало локальной системы координат х, у, г так, чтобы ее оси совпали с соответствующимиъглавными осями тензора напряжений и тензора скоростей деформации. Составляющие поля скоростей в этой системе координат обозначим через и, и, ит. Теперь ясно, что изотропия будет обеспечена только в том случае, если каждое из трех нормальных напряжений о„оу, о, будет зависеть, во-первых, от соответствующей составляющей скорости деформации, умноженной на некоторый коэффициент пропорциональности Л, общий для всех трех составляющих, и, во-вторых, от суммы составляющих скоростей деформа- ции, также умноженной на некоторый коэффициент пропорциональности (», общий для всех трех составляющих.
Таким образом, используя простран- ственные' частные производные, мы можем сразу записать, что о'.=Л (=+=+=)+2(«=, / ди ди ди~1 ди о„' = Л (=+-=+ =) + 2р=, дт ду д» ду ' о,'= Л (=+=+ =) +21« — ' ди ду д» дг 66 составлкник уг-нии движкния сжиманмои вязкой жидкости (гл. Пт )'61~)в+2р д ди ди о,=Л6)ч)п+2р —, ду ды о,' = Х бает )и + 2р —, дг (3.22ау (3.
22б) где символ о(у Ю применен для сокращения записи. Читатель сразу заметит, в какой последовательности переставляются в этих уравнениях индексы х, у, з, составляющие скорости.и, п, ш и координаты х, у, г '). Применив уравнения (3.22а) и (3.226) к простому течению, изображенному на рис. 1.1, мы вновь придем к уравнению (1.2), следовательно, получим подтверждение того, что общие уравнения (3.22а) и (3.226) сводятся к закону трения Ньютона для случая простого сдвига. Это означает, что уравнения (3.22а) и (3.226) являются обобщением закона трения Ньютона. Одновременно выявляется, что множитель р тождествен с вязкостью жидкости, г) Система шести уравнений (3.22а), (3.22б) может быть заменена одявм теизориым уравнением (в декартовой системе координат) диа / ди; о'; =Хбм — +)ь ( — '+ — ) (6 д й=1, 2, 3), два дат ди; где 3-функция Кроиекера равна ЬП = 0 при1 ~ ) и 3; = 1 при1 = ('(знак суммироваяия по дважды повторяющемуся индексу опущен).
Величины и, и, ш и $, з), ь не входят в эти уравнения по только что объясненной причине. В правой части каждого из уравнений (3.21) последний член представляет собой соответствующую скорость линейного расширения, т. е. по существу изменение формы, первый же член выражает собой объемное расширение, т. е. скорость изменения объема или, что то же самое,— изменение плотности. Множитель 2 в последних членах несуществен — он введен, как мы увидим ниже, только с целью облегчения интерпретации. Множители р и Х, введенные для обеспечения изотропии, должны быть .одними и теми же во всех трех уравнениях (3.21).
Легко видеть, что взаимная замена любых двух осей, а также взаимная замена любых из трех пар величин (и, х), (о, у), (ш, з) оставляет весь набор выражений в правых частях равенств (3.21) инвариантным, как это и должно быть в изотропной среде. Кроме 'того, только что указанные особенности являются единственном комбинацией пространственных градиентов, обладающей требуемым свойством. Если читателю трудно обнаружить справедливость сказанного непосредственно, то советуем ему ознакомиться с более строгим изложением в каком-либо учебнике тензорной алгебры (или в книге (ы)). Уравнения (3.21) могут быть переписаны в виде, пригодном для применения в произвольной системе координат, путем поворота системы координат и с помощью линейных формул преобразования.
Мы воздерживаеыся от детального разбора необходимых преобразований. Они получаются очень просто, если воспользоваться тензорным исчислением. Соответствующие формулы можно найти в работах [з), (е), Р), (ы). Таким образом окончательно получаем з 5) ГИПОТЕЗА СТОКСА й 5. Гипотеза Стокса Проблема, которой мы посвятим настоящий параграф, возникла более 150 лет тому назад. Однако физическая интерпретация множителя Л, входящего в уравнения (3.21) или (3.22), для случая, когда дивергенция скорости не равна тождественно нулю, все еще продолжает обсуждаться, хотя в рабочие уравнения множитель Л не входит. Численное значение этого множителя было оцределено с помощью гипотезы, предложенной Г. Г.
Стоксом в 1845 г. (тз). Не касаясь сейчас физических обоснований, оправдывающих гипотезу Стокса, мы сначала констатируем, что в соответствии с этой гипотезой необходимо принять существование соотношения ЗЛ+ 2р= О, илн Л= — — )з. 2 Это соотношение связывает множитель Л с вязкостью р сжимаемой жидкости и сводит число свойств, характеризующих поле напряжений в текущей сжимаемой жидкости, с двух до одного, т. е. к тому же числу, которое требуется для несжимаемой жидкости.
Подставив это значение Л в уравнение (3.22а), мы получим нормальные компоненты девиатора тензора напряжений: 2 ди о„'= — 3 р й(т)в+2р —, дх 2 . дз о' = — — рс)(тш+2)з— з 3 ду 2 дю о, = — — )з йч ш + 2р— з дз (3.24» Касательные напряжения остаются неизменными. Заменив о,', о„', о,' их выражениями (3.20), мы получим основные уравнения изотропной ньютонов- ской жидкости в их слсдующем окончательном виде: 2 ., ди ох = — Р— 3 Р й1т)в+2)з д,, 2 ди о = — р — — рб»тш+2р— з з ду 2 дю о, = — Р— 3 Р с) (ч )в+ 2)з д (3.25а) т ди дю'1 т =т =)з — +— з дх)' (3. 256) где р есть местное термодинамическое давление '). з) В компактной тензорной записи уравнения (3.25а) и (3.25б) заменяются одним уравнением дз~ дит 2 доа ) ОП= рб; +)з ( .).— — — бм — ) (д у, 1с=(, 2, 3).
( дх) дх; 3 '~ дха подробно обсужденной в 1 2 главы 1. Попутно оправдывается предварительное введение в правые части уравнений (3.21) множителя 2. Физический смысл множителя Л требует дальнейшего обсуждения. Пока отметим, что он не играет роли для несжимаемой жидкости, когда с)1ч ш = 0; его при'ходится учитывать только для сжимаемой жидкости. 68 состхвлннин гг-нин движнния сжимхкмои вязкои жидкости ~гл. гп Несмотря на то, что соотношение (3.23) представляет собой чистую гипотезу или даже скорее догадку, оно может быть взято за основу дальнейших построений, и правильность рабочих уравнений, получающихся после подстановки в уравнения (3.11) соотношений (3.25), подтверждается необычайно большим числом экспериментальных проверок, причем выполненных даже при самых предельных условиях, в чем читатель сумеет убедиться после того, как начнет изучение этой книги. Таким образом, эти уравнения, не будучи результатом точного вывода, тем не менее являются превосходным приближением к действительности.
Так как составляющие девиатора напряжений являются единственными напряжениями, возникающими прн движении, то они представляют собой именно те компоненты тензора напряжений, которые обусловливают диссипацию в изотермическом течении; они же вызывают дальнейшую диссипацию в температурном поле, возникающем вследствие теплопроводности. Далее, так как множитель Х входит только в нормальные компоненты а„', о„', о,', содержащие также термодинамическое давление, то становится ясным, что физический смысл Х связан с механизмом диссипации, возникающей при изменении объема элемента жидкости с конечной скоростью, а также с соотношением между полным тензором напряжений и термодинамическим давлением.
$ 6. Объемная вязкость и термодинамическое давление Вернемся к нашему общему исследованию вне зависимости от того, законна или незаконна гипотеза Стокса. При атом ограничимся случаем, когда касательные напряжения отсутствуют, поскольку их физический смысл и происхождение ясны. Рассмотрим жидкое тело, например, в форме шара, к границам которого приложено однородное нормальное напряжение о.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
