Теория пограничного слоя Г. Шлихтинг под ред. Лойцянского Л.Г. (1013691), страница 17
Текст из файла (страница 17)
При отсутствии движения напряжение о, очевидно, равно и противоположно по знаку термодинамическому давлению р. Сложив три уравнения (3.21) и приняв во внимание равенства (3.20), мы получим = — р+() + — ', -р,) 61 ю. (3.26) Мы видим, что наши уравнения выражают собой то же самое, что и раньше (з 5). Теперь вопрос сводится к тому, будет ли полученное соотношение иметь место в случае течения произвольного вида. Если жидкое тело сжимается квазистатически и обратимо, то мы вновь возвращаемся к предыдущему случаю, так как ЬБ ю асимптотически стремится к нулю. Отметим, что в этих случаях скорость изменения работы при термодинамически обратимом процессе на единицу объема равна гу=рйчш, (3.26а) нли, что то же самое, Л' Й=р— и (3.266) 2 и' =Х+ — "и 3 (3.27) где У вЂ” удельный объел.
Если 61г ю имеет конечное значение и жидкость сжимаемая, то жидкое тело, расширяется или начинает колебаться с конечной скоростью, и равенство между а и — р будет соблюдаться только в том случае, когда коэффициент д е] ОвъемнАя Вязкость и термодинАмическое дАВление 69 тождественно равен нулю (гипотеза Стокса). В противном случае равенство между О и — р не имеет места. При р Ф.
0 колебательное движение шара (рис. 3.8, б) будет вызывать диссипацию энергии даже в том случае, если температура жидкого тела будет оставаться постоянной во всем его объеме. То же самое будет происходить и в случаях расширения или сжатия с конечной скоростью. Поэтому коэффициент (А' называется объемной вязкостью жидкости; он представляет то свойство, аналогичное сдвиговой вязкости при деформации, которое связано с диссипацией энергии в жидкости неизменной температуры из-за изменения объема с конечной скоростью.
Таким образом, объемная вязкость является вторым свойством сжимаемой изотропной ньютоновской жидкости, свойством, которое должно учитываться при Рис. 3.8. Квааистатичесиое сжатие и иалебательнае движение шаровой массы живности. составлении основных уравнений и, следовательно, должно измеряться в дополнение к намерению сдвиговой вязкости р. Очевидно, что )д'=О, если р= — о, и' ~0, если р = — о. Таким образом, принятие гипотезы Стокса равносильно предположению, что термодинамическое давление р равно одной трети инвариантной суммы нормальных напряжений даже в том случае, когда сжатие или расширение происходит с конечной скоростью. Кроме того, принятие гипотезы Стокса равносильно допущению, что колебательное движение жидкого шара, если оно происходит изотермически, обратимо.
Более подробное рассмотрение этих вопросов на языке понятий термодинамики и в связи с его приложениями к необратимым процессам в сплошных средах можно найти в работах И. Пригожина (аа) и С. Р. де Гроота и П. Мазура (а). Для того чтобы определить условия, при которых объемная вязкость сжимаемой жидкости может не учитываться, необходимо обратиться либо к эксперименту, либо к методам статистической термодинамики, допускающей в принципе вычисление коэффициента переноса из первого начала. Однако статистические методы для газов с большой плотностью или для жидкостей пока не разработаны до такой степени, которая позволила бы полностью решить поставленную задачу. Что касается газов с малой плотностью, т.
е. при условии, что в расчет принимаются только двойные столкновения молекул, можно предполагать, что в таких газах объемная вязкость тождественно равна нулю. В газах с большой плотностью численное значение объемной вязкости, по-видимому, очень мало. Это означает, что уравнения (3.26а), (3.26б) продолжают определять работу в сплошной среде при отсутствии сдвига с высокой степенью приближения и что диссипация при постоянной температуре обусловливается даже в общем случае только девиатором тензора напря- 70 составлвние уг-ний движкния сжимхвмой вязкой жидкости [гл.
гп 5 7. Уравнения Навье — ' Стокса Вернемся к уравнениям движения (3.11) и, воспользовавшись равенством (3.20), выделим из нормальных напряжений давление — р, которое не зависит от вязкости; тогда уравнения (3.11) примут вид Ри р ~и др Х вЂ”вЂ” дх Ри др р — = — г —— Рс ду (3. 28) Рш др р — =г —— Рс дх Применим теперь закон трения Стокса (3.24) и выразим составляющие результирующей поверхностной силы Р, входящие в правые части уравнений (3.28), в виде функций от составляющих и, о, ш скорости смещения ю.
Для составляющей силы .Р в направлении х мы получим, согласно уравнению (3.10а), следующее выражение: да„'дтху дт„др да„' дтху дт„, Рх = — "+ — + — ".—.— — — + — + — + — "' = дх ду дх дх дх ду дх др д Г ди 2 = — — + — ( 2(х — — — рИуш~+ дх дх ( дх 3 ++С Я+ФИ++Г ( — ':+ФИ Аналогичные выражения мы получим и для составляющих Р„и Р,.
Коэффициент вязкости р в общем случае движения сжимаемой жидкости следует' рассматривать как функцию точки. В самом деле, в сжимаемой жидкости изменения скорости н давления связаны со значительными изменениями температуры, возникающими в результате изменения объема и выделения жений. Таким образом, мы опять приходим к гипотезе Стокса и тем самым— к уравнению (3.26).'Однако это заключение не распространяется на жидкости, способные подвергаться релаксационным процессам вследствие местных отклонений от состояния химического равновесия ['), (з). Такие релаксационные процессы возникают, например, при наличии химической реакции или при течении газа сложной структуры, когда становится возможным сравнительно медленный перенос энергии между поступательной и вращательной степенями свободы с одной стороны и колебательной степенью свободы с другой стороны.
Таким образом, в тех случаях, когда возможны релаксационные процессы, термодинамическое давление не равно одной трети инварианта тензора напряжений. Иногда утверждают, что принятие гипотезы Стокса, равносильное предположению о равенстве нулю объемной вязкости для ньютоновской жидкости, не должно совпадать с нашим интуитивным чувством, подсказывающим, что.при циклической смене сжатия и расширения жидкого шара (рис. 3.8, 'б) не должно возникать диссипации энергии.
Как легко видеть из предыдущих рассуждений, это должно быть так потому, что диссипативная часть поля напряжений при некоторых условиях обращается в нуль. Однако не следует забывать, что такое заключение правильно, только в том случае, если температура шаровой массы газа остается постоянной в течение всего колебательного процесса во всем объеме. В общем же случае это невозможно. Следовательно, в пульсирующей шарообразной массе газа вскоре возникает температурное поле и энергия диссипируется. $7) УРАВНЕНИЯ НАВЬŠ— СТОКСА тепла вследствие трения; коэффициент же вязкости сильно зависит от температуры (см. таблицу 1.1 на стр.
22). Закон изменения вязкости от температуры, т. е. функция )А = )х (Т), определяется путем эксперимента; подробно об этом будет сказано в 3 1 главы Х111. Подставив выражения составляющих Рх, Р„, Р, в основные уравнения (3.11), мы получим (3.29) Дифференциальные уравнения (3.29) ') составляют основу всей механики жидкости и газа и называются уравнениями Навье — Стокса. К этим уравнениям следует присоединить еще уравнение неразрывности (3.1), которое в раскрытой форме имеет для течений сжимаемой жидкости следующий вид: др д (ри) д (ро) д (рю) (з.зо) Однако для исследования сжимаемых течений уравнений Навье — Стокса и уравнения неразрывности недостаточно.
В самом деле, изменения давления и плотности, происходящие в сжимаемых течениях, влекут за собой изменения температуры, что приводит к необходимости ввести в рассмотрение некоторые термодинамические соотношения. Первым таким соотношением является уравнение состояния, связывающее между собой давление, плотность и температуру. Для идеального газа уравнение состояния имеет вид (3.31) р рЛТ=О, где Л есть газовая постоянная, а Т вЂ” абсолютная температура. Далее, если изменение состояния протекает не изотермически, то необходимо использовать еще одно термодинамическое соотношение — уравнение энергии, которое выражает баланс теплоты и механической энергии (первое начало термодинамики) и представляет собой дифференциальное уравнение для распределения температуры. Подробно об этом уравнении будет сказано в главе ХП.
Наконец, последнее необходимое соотношение дает эмпирическая связь (А (Т) между коэффициентом вязкости )х и температурой Т (зависимостью вязкости от давления обычно пренебрегают). Таким образом, если массовые силы Х, х', 2 рассматривать как заданные, то мы имеем семь уравнений для определения семи величин и, р, и7, р, р, Т, ') В индексной записи зтп уравнения имеют впд !до; до;7 др, д Г 7до; до7 2 дозе р~ — '+е — ')=Х; — — + — ( р~ — '+ — — — дм — ~~ (д у,й=(,2,3). дз ддхд) ' дх; дхе ) (дхд дх7 3 ' дха ) 72 состявленик уг-нии движвния сжимлкмой вязкон жидкости игл. гп В случае изотермического изменения состояния вместо семи уравнений остаются только пять уравнений (3.29), (3.30) н (3.31) для определения пяти неизвестных величин и, и, и, р, р.
Несжимаемые течения. Для несжимаемых течений (р = сонз1) перечисленная выше система уравнений значительно упрощается даже в случае непостоянной температуры внутри жидкости. В самом деле, прежде всего уравнение неразрывности (3.1а) получает более простой вид: ЙЬ ю=О. Далее, поскольку в несжимаемых течениях разности температур в общем случае малы, коэффициент вязкости можно рассматривать как постоянную величину ') и поэтому уравнение состояния и уравнение энергии становятся ненужными для расчета ноля течения.
Следовательно, этот расчет может производиться независимо от термодинамических уравнений. В результате уравнения движения (3.29) и уравнение неразрывности (3.30) упрощаются и, если члены, содержащие ускорение, выписать в раскрытом виде, принимают вид ! р(='+и д +и — "-[-й — ")= +[г(дг+дг+ дг) ) (3.32) / дв дш . дш юг др, удгш дгш дги~ г г дг дг ду дг) дг [дгг ' дуг дгг)' — + — + — =О.
ди дэ дш дл ду дг (3.33) Таким образом, если массовые силы рассматривать как заданные, то остаются четыре неизвестные величины и, в, гв, р, и для их определения имеется четыре уравнения. Уравнения Навье — Стокса для несжимаемой жидкости (3.32) могут быть объединены в одно векторное уравнение Рш р Р— — гх — ягае[р+рсггв, где дг дг дг гг = — + — +— дгг дуг дгг есть оператор Лапласа. От уравнений Эйлера для движения жидкости без трения уравнения Навье — Стокса отличаются присутствием в них члена р ггю, учитывающего вязкость.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
