Теория пограничного слоя Г. Шлихтинг под ред. Лойцянского Л.Г. (1013691), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Тогда массовые склы, как находящиеся в равновесии с силами весового давления, выпадут из уравнений Навяз — Стокса (9.29), 87 СЛОИСТЫЕ ТЕЧЕНИЯ Это уравнение является линейным дифференциальным уравнением относительно переменной и (у, г, 5). 1. Течение в канале и течение Кузтта. Уравнение (5.2) очень просто решается для стационарного плоского течения, в канале, ограниченном двумя параллельными плоскими стенками (рис. 5.1). В этом случае уравнение (5.2) принимает вид у — =(5 — г ~ ср йги (5.3) Ел оуг причем граничными условиями, если расстояние между стенками равно 2Ь, будут и=О при у=~ Ь.
Рнс. 5Л. Плоеное течение в нанале с параболнчесннм распределевнсм скоростей. Так как др/ду = О, то из уравнения (5.3) следует, что перепад давления в продольном направлении постоянен, т. е. ори = сопз$, поэтому, про- интегрировав уравнение (5.3), мы получим и = — — — (Ь вЂ” уг).
г нр 2и сл (5. 4) Следовательно, в канале имеет место параболическое распределение скоростей (рис. 5.1). Другое простое решение уравнения (5.3)' получается для течения между двумя параллельными плоскими стенками, из которых одна покоится, а другая движется в своей плоскости с постоянной скоростью 0 У (рис. 5.2). Такое течение называется течеиием Куэтта. Пусть расстояние между стенками равно Ь; тогда граничными условиями будут и = О нри У = О и- У при У=" вр ее де ге /г ГО Распределения скоростей, даваемые этим решением для различных значений перепада давления, изображены на рнс. 5.2.
В частности, для нулевого перепада давления получается линейное распределение скоростей (5.5а) Течение с таким распределением скоростей часто называют простым течением Куэтта или течением чистого сдвига. Течение Куэтта в более широком смысле, т. е. с перепадом давления, не равным нулю, представляет собой наложение простого течения Кузтта и течения в канале.
Форма кривой распределения скоростей при течении Куэтта определяется безразмерным и решение уравнения (5.3) будет иметь вид ьг е и= — У вЂ” — — — (1 — — ) . 255 дл Ь (5.5) Рнс. 5.2. Теченне Куотта между двумя параллельнымн плссннмл стеннамв. Кривые со вначевнямн Р - О соответствуют налеплю давлення в направлении движения верхней степям, а со вначеннямв Р < Π— повьппенню давлення в атом нанравленнн; кривая Р = О соответствует традвенту давлевня, равному нулю.
[гл. ч точные Решения уРАВнений' нАВье — стоксА градиентом давления Для Р ~ О, т. е. для случая падения давления в направлении движения верхней стенки, скорость положительна по всей ширине канала. При отрицательных Р в некоторой части поперечного сечения возможны отрицательные скорости, иными словами, возможно возвратное течение. Вблизи неподвижной стенки такое движение возникает уже при Р ( — 1 (см.
рис. 5.2). Объясняется оно тем, что в этом случае для частиц жидкости, находящихся вблизи неподвижной',стенки, увлекающее действие соседних, более быстрых слоев не в состоянии преодолеть перепад давления, действующий в сторону, противоположную движению верхней стенки. Течение Кузтта с наличием градиента давления в основных чертах сходно с течением масла в узком промежутке между цапфой и подшипником; последнее течение составляет предмет гидродинамической теории смазки (см.
э 3 главы Ч1). 2. Течение Хагена — Пуазейля в трубе. Пространственным осескмметричным течением, аналогичным только что рассмотренному плоскому течению в канале, является течение в прямолинейной трубе с круглым поперечным сечением. Пусть ось трубы совпадает с осью х (см. рис. 1.2); радиальную координату у будем измерять от оси трубы. Составляющие скорости в радиальном направлении и в направлении касательной к окружности поперечного сечения равны нулю. Составляющая в осевом направлении пусть равна и; она зависит только от координаты у. Давление в каждом поперечном сечении трубы постоянно. Следовательно, нз трех уравнений Навье — Стокса в цилиндрических координатах (3.36) остается только последнее (для осевого направления); при выбранных здесь обозначениях оно принимает вид (5.6) Граничными условиями будут и=О при всех у= 222 Решив уравнение (5.6), мы получим распределение скоростей по поперечному сечению трубы: и(у) = 1 ~р (Лз г) 4Р Ди (5.7) где — — — = сопз$ ир Р1 — Р2 Ыи 1 есть постоянный перепад давления, который следует рассматривать заданным.
Формула (5.7), полученная нами как точное решение уравнений Навье — Стокса, совпадает с формулой (1.10), выведенной в главе 1 элементарным путем. Мы видим, что распределение скоростей в поперечном сечении изображается параболопдом вращения. Максимальная скорость течения имеет место в середине трубы и равна Средней скоростью в поперечном сечении будет и, Д2 2 йр 2 зя ( йи ) ' (5.8) СЛОИСТЫЕ ТЕЧЕНИЯ следовательно, через поперечное сечение протекает в единицу времени количество жидкости (расход) (5.9) ( — ) = !чело =-- 2300. При числах Рейнольдса 1че ) 1че„р возникает другая форма течения, называемая турбулентной; ее мы рассмотрим подробно ниже, в главе ХХ.
В технических расчетах принято связывать перепад давления со средней скоростью течения посредством введения безразмерного коэффициента, называемого коэффициентом сопротивления Л. Для этой цели принимается, что ер л р — , — — — — иг э'х о' 2 (5. 10) т. е. предполагается, что падение давления пропорционально динамическому давлению и, следовательно, квадрату средней скорости течения 1). Подставив в равенство (5.10) значение ар/йх из равенства (5.9), мы получим 2а' ' зри '32р Л вЂ” — — —— риг Л рин Если ввести число Рейнольдса, составленное для диаметра трубы и средней скорости течения, т. е.
Йе= — = —, (5.11) ч то предыдущее равенство можно переписать в следующем виде: (5.12) Равенство (5 12) выражает собой закон сопротивления для круглой трубы при ламинарном течении., Этот закон наилучшим образом подтверждается результатами измерений (для ламинарной области течений!), что хорошо видно из рис. 5.3, на котором показаны результаты измерений Г.
Хагена (э! 1) Подчеркнем, что квадратичный закон сопротивления, при котором др/ах — иг, вереи прн турбулентном течении з трубе; при ламинарном жэ течевви имеет место, кая это видно нг равенства (5.4), линейный закон сопротивления др/лх и. Тем ве менее э технических расчетах принимается, что квадратичный закон сопротивления справедлив в лря ламинарном тэченвв. Конечно, врв таком предположении коэффнпвент совротвзлевяя Л для ламвварвого течения ужэ не является постоянным.
Формула (5.9) называется законом Хагена — Пуазейля для течения в круглой трубе. Рассмотренное ламинарное течение, ввятое само по себе, является точным решением уравнений Навье — Стокса для любых значений с!р/дх, Л и р, следовательно, и для любых значений и, Л, (х. Однако в действительности оно имеет место только до тех пор, пока число Рейнольдса (че = иа/ч (с! — диаметр трубы) остается ния'е определенного значения, называемого критическим числом Рейнольдса.
Согласно опытам критическое число Рейнольдса равно примерно ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ угРАВНЕНИЙ ИАВЬЕ СТОКСА 1ГЛГ;У Отсюда можно вывести обратное заключение, а именно, что параболи- ческое распределение скоростей (5.7), являющееся точным решением уравнений Навье — Стокса, также должно совпадать с ре- зультатами эксперимента [тс]. Уравнения Навье — Стокса допускают точное решение также для течения в трубе с поперечным сечением в виде круглого кольца (22).
Ламинарное и турбулентное течения в трубе с поперечным сечением в виде эксцентричного круглого кольца исследованы теоретически и экспериментально в работе (аа) 3. Течение между двумя " Ф 4ЗХс» АО+ Ф йейгат е Ф 5(66уст 65 6е коаксиальными вращающимися цилиндрами. Следующим случаем, допускающим простое 6М МР ЛР6 Хе=в «ег =я точное решение уравнении Навье — Стокса, является течение между двумя коаксиальныРвс.
5.2. Заввсвмссть яоьэсяпяеята сопротввлеввя 2 ст числа Реаяольвса прв ламвварвом течеввв в трубе МИ цИЛИНдраМИ, ВращашщИМИСя (яемереяяя Хагена). По Праялтлаг — Твтьевсу, с различными, но постоянными угловыми скоростями. Пусть Гь и Гз суть радиусы внутреннего и внешнего цилиндров, а го, и гоа— их угловые скорости. Поскольку рассматриваемое течение можно считать плоским, из системы уравнений Навье — Стокса в полярных координатах (3.36) остаются только первые два, которые, если окружную скорость обозначить через и, примут вид п2 Ер р — =— Г ЯГ (5 13) (5.14) Граничными условиями будут и=ггсоа при Г=Г, Л = Гаесз ПРИ Г вЂ” Гт Проинтегрировав уравнение (5.14) при заданных граничных условиях, мы получим ,(5 15) га (Г) та а а ( Г (еозга гаага ) — (052 гог) ) Г,, гге гас Распределение давления в радиальном направлении определяется уравнением (5.13).
Некоторый практический интерес представляет случай, когда внутренний цилиндр покоится,еа внешний — вращается. В атом случае врахцающий момент, передаваемый внешним цилиндром на жидкость, равен (5.16) где )2 есть высота пилиндра. Такую же величину имеет и момент М„передаваемый жидкостью на покоящийся внутренний цилиндр. Такое устрой- 91 СЛОИСТЫЕ ТЕЧЕНИЯ ство нз двух соосных цилиндров иногда применяется для экспериментального определения коэффициента вязкости.
Измерив угловую скорость внешнего цилиндра и вращающий момент Лхе, передаваемый на внутренний цилиндр, можно из равенства (5.16) вычислить коэффициент вязкости. В случае ' одного-единственного цилиндра, вращающегося в г неограниченно распространенной жидкости (гв — ~- оо, озв — — О), формула (5.15) принимает внд г,1 ЕО1 и= — ' о и момент, передаваемый жидкостью на цилиндр, равен М1 = 4я)зйгзео1. Поле скоростей в окрестности цилиндра в этом случае в точности такое же, как в окрестности вихревой нити с напряженностью Г, = 2ягзео„вращающейся в жидкости без трения, следовательно, Рие. 5.1. Измеяенве раонределения окороотей во времеки в окрестности вихревой нити воледо1вие дейетвия вязкости.
Ге — дврктлядвя вихревой нити в момент времени 1 О, т. е. в тот момент, ногда начинается действие вяекооти; нм Глзяее. г, и=— Енг и(г, 1) = — о(1 — и ~'тот1). 2лг Графически это распределение скоростей изображено на рис. 5.4. В приведенной формуле Го есть циркуляция вихревой нити в момент времени зо, т. е. в момент, когда начинает проявлять свое действие вязкость. Экспериментальные исследования такого распада вихря выполнены А.
Тимме (ве). К.еКирде (хе) исследовал теоретически и экспериментально случай, когда начальное распределение скоростей отличается от распределения, получающегося при потенцйальном течении вокруг вихревой нити. 4. Плоская стенка, внезапно приведенная в движение (первая задача Стокса). Рассмотрим теперь некоторые негтационареме слоистые течения. Так как при таких течениях члены с конвективными составлнющими ускорения тождественно равны нулю, то в уравнениях Навье — Стокса остаются только члены с локальными составляющими ускорения и с силами трения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
