Теория пограничного слоя Г. Шлихтинг под ред. Лойцянского Л.Г. (1013691), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Таким образом, формпараметр Л может изме- няться только в промежутке — 12 ( Л ( +12. Прежде чем приступить к определению из уравнения импульсов толщи- ны пограничного слоя 6 (х) (совершенно таким же путем, как и в предыдущем параграфе для продольного обтекания плоской пластины), необходимо вычислить те значения толщины потери импульса бм толщины вытеснения 6, н касательного напряжения на стенке то, которые соответствуют положен- ному в основу расчета распределению скоростей (10.22). Подставив это распределение в равенства (8.33) и (8.34), мы будем иметь 1 6' = ~ (1 — Р(Ч) — Л0(Ч)) йЧ, ч-о 1 6; = ~ (Р())+Ла(7))(1 — Р(п) — ЛС(ц))йц. ч=о Заменив г (г)) и 6 (г)) их выраокениями (10.23) и выполнив интегрирование, мы получим 201 ОБТЕКАНИЕ С ГРАДИЕНТОМ ДАВЛЕНИЯ то мы будем иметь (10.29) Между вторым и первым формпараметрами существует универсальное соотношение (10.30) которое легко вывести из равенств (10.21), (10.27) и (10.24).
Введем, далее, для сокращения записи обозначения 3 Л (10.31) ') 315 945 9072 (10.32) Внеся аначения (10.27), (10.28), (10.31) и (10.32) в уравнение импульсов (10.26) и имея в виду, что бзбз 1 ~Ж 2 Ыт мы получим — У вЂ” + [2+~, (х)) х= ~з(х). 1 32 (10.33) Наконец, введем для сокращения записи еще одно обозначение: (10.34) Р (х) = 2~а (х) — 4х — 2х~, (х) или в раскрытом виде, с учетом соотношения (10.30), г (х) = 2 (315 5 2) [ 2 в — Л + ( — + 2 ) Л +90 2Л ) . (10.35) Теперь мы можем переписать уравнение импульсов (10.33) в следующем сокращенном виде: ! — = —, где х=гГ. пг Г(к) ол У (10.36) ') Величина Н,з = б,)бз также называется формпараметром; она играет особую роль для турбулентного пограничного слоя, см.
главу ХХП. Для ламинарных пограничных слоев величина Н,з лежит в пределах примерно от 2,3 до 3,5 (см. таблицу 10.2), а для турбулентных пограничных слоев — в пределах примерно от 1,3 до 2,2. При переходе ламинарной формы течения в турбулентную формпараметр Н„сильно уменьшается (см. рис. 16.5). Дифференциальное уравнение (10.36) нелинейно и первого порядка.
Оно позволяет определить величину г' = бз)т как функцию от текущей длины х. Сложный вид функции г'(х) не служит существенным затруднением для интегрирования уравнения (10.36), так как функция Г' (х) универсальна, т. е. не зависит от формы тела и, следовательно, может быть вычислена раз навсегда. Значения функций х (Л), ), (х), )з (х) и г' (х) [формулы (10.30), (10.31), (10.32) н (10.35)) даны в таблице 10.2. График вспомогательной функции Г'(х) изображен ниже на рис.
10.6. 202 ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИИ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ (ГЛ. Х Таблица 10.2 Вспомогательные функции для приближенного расчета ламнпарпого пограничного слоя. По Холыптейну м Болену [а) )а (х) = — = Ни са са )а (х) =— Сача хо г (х) Интегрирование дифференциального уравнения, определяющего толщину потери импульса.
По поводу интегрирования уравнения (10.36) необходилю сделать прежде всего следующее указание: расчет необходимо начать в передней критической точке х = О. В этой точке скорость У = О, в то время как производная (1((((Ь имеет конечное, отличающееся от нуля значение, если только передняя часть тела не представляет собой заостренную кромку с нулевым углом. Если бы в передней критической точке функция г'(х) имела конечное не равное нулю значение, то угловой коэффициент (1А/()х интегральной кривой был бы равен здесь бесконечности. Но функция Г'(к) именно такова, что она имеет в передней критической точке нулевое значение, и это обеспечивает для начального углового коэффициента интегральной кривой физически возможное значение.
Для определения тех 15 14 13 12 11 10 9 8 7,8 7,6 7,4 7,2 7,052 7 6,8 6,6 6,4 6,2 6 5 4 3 2 1 0 — 1 — 2 — 3 — 5 — 6 — 7 — 8 — 9 — 10 -11 — 12 — 13 — 14 — 15 0,0884 0,0928 0,0941 0,0948 0,0941 0,0919 0,0882 0,0831 0,0819 0,0807 0,07 94 0,0781 0,0770 0,0767 0,0752 0,0737 0,0721 0,0706 0,0689 0,0599 0,0497 0,0385 0,02 64 0,0135 0 — 0,0140 — 0,0284 — 0,0429 — 0,0575 — 0,0720 — 0,0862 — 0,0999 — 0,1130 — 0,1254 -0,1369 — 0,1474 — 0,1567 — 0,1648 — 0,1715 — 0,1767 — 0,0658 — 0,0885 — 0,0914 — 0,0948 — 0,0912 — 0,0800 — 0,0608 — 0,0335 — 0,0271 — 0,0203 — 0,0132 — 0,0051 .0 О, 0021 0,0102 0,0186 0,0274 0,0363 0,0459 0,0979 0,1579 0,2255 0,3 004 0,3820 0,46 98 0,5633 0,6609 0,7640 0,8698 0,9780 1,0877 1,1981 1,3080 1,4167 1,5229 1,6257 1,7241 1,8169 1,9033 1,9820 2,279 2,262 2,253 2,250 2,253 2,260 2,273 2,289 2,293 2,297 2,301 2,305 2,308 2,309 2,314 2,318 2,323 2,328 2,333 2,361 2,392 2,427 2,466 2,508 2,554 2,604 2,647 2,716 2,779 2,847 2,921 2,999 3,085 3,176 3,276 3,383 3,500 3,627 3,765 3,916 0,346 0,351 0,354 0,356 0,355 0,351 0,347 0,340 0,338 0,337 0,335 0,333 0,332 0,331 0,330 0,328 0,326 0,324 0,321 0,310 0,297 0,283 0,268 0,252 0,235 0,217 0,199 0,179 0,160 0,140 0,120 0,100 0,079 0,059 0,039 0,019 0 — О, 019 — 0,037 — 0,054 203 овтекАние с РРАдиентом дАВления 5 2] значений формпараметров к и Л, при которых функция г' (к) принимает нулевое значение, следует приравнять нулю выражение в квадратных скобках равенства (10.35); тогда мы получим Р (х) = 0 при и = мс = 0,0770, т.
е. при Л = Л, = 7 052. Следовательно, как уже было указано выше, в передней критической точке первый формпараметр равен Л = 7,052. Поскольку функция Р (х) имеет в передней критической точке нулевое значение, угловой коэффициент интегральной кривой в этой точке принимает неопределенное значение О/О. Однако йр эту неопределенность легко раскрыть простым предельным переходом, выполнив ко- (у торый мы найдем начальное значение функции 2 и начальный угловой коэффициент интегральной кривой: «с, 0 0770.
г,= —,— — ', У; У; ~~с ( — ) = — 0,0652 с) 4у (10.36а) -Ду (индексом нуль мы отмечаем значения в критической точке). Зная эти начальные значения, нетрудно проинтегрировать уравнение (10.36), например, способом изоклин. Результат та- Рис. 1е.5. Результат расчета псгракичного слоя приближенным методом кого интегрирования для симметРичного псльгаузека я хсльжтсйка — Болена крылоного профиля установленного под ну- р) лля сяммстркчксгс профиля жу- 1 ковского У Е15 прк угле атаки а=с', левым углом атаки, изображен ка рис. 10.5, ср. с ркс. 1слз.
А — точка стр ва.' Расчет начинается в передней критической точке, где формпараметры имеют значения Лс — — 7,052 и кс = 0,0770, и заканчивается после достижения точки отрыва, в которой Л = — 12 и к = — 0,1567. )) расчете, кроме самой скорости У (х) потенциального течения, используется только первая ее производная по длине дуги; лишь в критической точке необходимо вычислить также вторую производную с)зЮ11хв для определения начального углового коэффициента интегральной кривой '). Таким образом, если для исследуемого тела потенциальное течение задано, т.
е. скорость течения 1) (х) и ее первая производная гус))1)х известны как функции длины дуги х, то расчет пограничного слоя производится следующим способом. 1. Путем интегрирования уравнения (10.36) определяется функция Х (х) и второй формпараметр к (х). По известному формпараметру к (х) из урав- нения (10.27) вычисляется толщина потери импульса бз (х), а затем опре- деляется положение точки отрыва.
1) Сам К. Польгаузен вместо уравнения (10.36) получил дифференциальное уравнение для функции з =- бл)у, построенной аналогично функции Е. Дифференциальное уравнепио Польгаузена содержит наряду с У (х) и л)У)г)х также вторую производную аЧI)ахв, которую можно определить кз заданного потенциального течения обычно только путем двукратного графического дифференцирования. Видоизменение способа К. Польгаузепа, предложенное Г. хольжтейном и т. Болевом, приводит к дифференциальнолгу уравнению, совсем не содержащему второй производной гул с))Ыхл, что значительно упрощает весь расчет. 204 привлижиннын ркшкния грявнвний пограничного слоя (гл Р (к) = а — Ьх.
-()Ы -()Ж -ф74 д ((Я ЮМ х Если потребовать, чтобы уклонение было наименьшим в интервале между критической точкой и точкой, в которой скорость имеет максимум (рис. 10.6), то для постоянных а и Ь получатся значения Рпс. 10.0. Вспомогательная еуннпня Р.(к) ~ля расчета лаыппарного пограничного слоя по методу Холывтейна — Болена; кривая (1) дает точные аначевпя Фупкпвп р (к) !уравневпе (10.30)), а кривая (Е) — линейное пркблянгенпе Р (к) = = 0,470 — бк; а — нрятпческая точка, М вЂ” точна с максимумом скоростн.
а = 0,470, Уравнение (10.36) можно переписать теперь в следующем виде: () — = а — Ъх, а г(л или, если вместо 2 и х подставить их выражения (10.28) и (10.27), а ) иба) иб1 1 г(и — 11 — ') =а — (Ь вЂ” 1) — ' —— Это дифференциальное уравнение относительно переменной ()бее/в можно проинтегрировать в замкнутой форме.
В результате мы получим х — = — ГП дх иота с Г ио-г,) о или, после замены а и Ь их значениями, х исса 0,470 à — = — 1 уах. ие к=о (10.37) Таким образом, решение уравнения (10.36) сведено к простой квадратуре. При помощи соотношения (10.37) легко найти приближенное решение задачи отыскания потенциального течения для заданного пограничного слоя. 2. Из уравнения (10.30) по уже известному второму формпараметру определяется первый формпараметр Л (х) (таблица 10.2 на стр.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
