Теория пограничного слоя Г. Шлихтинг под ред. Лойцянского Л.Г. (1013691), страница 58
Текст из файла (страница 58)
з=з Подставив сюда численное значение Н (оо) из таблицы 11.1, мы получим Д = — 1,380ЛВз~ь~~ (11.8р Ровно такое же количество~жидкости поднимается вверх в осевом направлении. Наибольшее значение скорость восходящего движения имеет на высоте ь = 3,1, где она равна и) = 1,80$'~чо. Примечательно также, что в рассматриваемом случае слой жидкости, на который распространяется трение, значительно толще, чем при вращении диска в покоящейся жидкости. Примем ва толщину пограничного слоя 6 ту высоту, на которой отклонение окружной скорости от скорости внешнего течения составляет 2зУе. Тогда для вращательного движения жидкости над неподвижным основанием мы найдем, что 6=8 ~I —, в то время как для вращения диска в покоящейся жидкости мы имели 6=4~.
С только что рассмотренным течением в известной мере родственно течение, вызываемое вихревым источником, находящимся между двумя параллельными стенками. Такое течение было исследовано Г. Фогельполем [тес[. Для очень малых чисел Рейнольдса получается распределение скоростей, почти совпадающее с параболическим распределением при течении Хагена — Пуазейля. С увеличением числа Рейнольдса и при одновременном развитии пограничного слон профиль скоростей все более и более приближается к прямоугольной форме. Аналогичное турбулентное течение было рассмотрено К.
Пфляйдерером ГЧ. См. в связи с этим также работу Э. Беккера [Ч. Аналогичные явленвя наблюдаются в закрученном сходящемся потоке, возникающем при истечении через коническую воронку (рис. 11.4). Потенциальное течение выаывается стоком с расходом 0 в вершине конуса и потенциальным вихрем с вихревой напряженностью Г вокруг оси конуса. Для решения дифференциальных уравнений пограничного слоя такого течения К. Гарбш [ы[ применил метод итераций, который очень быстро привел к а 1) тОчные Решения для Осесимметричных погРАничных слОеВ 223 У==2яр ~ изуе[у=совах.
о (11.9) Уравнения движения (3.36) и уравнение неразрывности (3.37) после упро- щений, используемых в теории пограничного слоя, принимают во взятой системе координат следующий вид: до ди 1 д 1 ди 1 и — +и — =т — — 1у — ), дл др у ду ( ду)' ди до о — + — + — =О, дв ду у (11. 10а) (11.10б) причем граничными условиями будут ди — =0 при у=О; ду при у= оо. о=О, и=О (11.11) хорошему приближению.
Частный случай такого течения (прк Г = О, чистый сток) был исследован А. М. Бкнки н Д. П. Харвсооы [']. Другой частный случай (при 0 = О, чистый вихрь) был рассмотрев Дж. Тэйлороы [ы] и Дж. К. Куком [ы]. В обоих случаях для расчета пограничного слоя был использован приблкжевный способ такого же типа, как изложен. ный в главе Х. Во втором случае (1) = О) на стенке воронин образуется пограничный слой, в котором имеется, кроме составляющих скорости и и и, также составляющая и в ваправлении образующей конуса. Ядро же течения, в котором трение отсутствует, будучи чистым вихревым течеэнем, имеет только окружную скорость о.
Указанное вторичное течение з пограничном слое, проис- Г ходищее со скоростью и, переносит жидкость к вершине конуса. См. в связи о этим также работу Г. Э. Вебера Ре']. 1.о[ Ш 2. Круглая струя. В й 7 ==;-' -'-, иг 'ш главы 1Х мы исследовали д движение плоской ламинарной струи. Рассмотрим теперь круглую струю, т. е. струю, вытекающую из не- бОЛЫПОГО КруГЛОГО ОтВЕре- Рио. 11.1. Закрученное течение в коничеекой воронке. тия и затем смешивающотося С вЂ” погРаничный олой на стенке воронки о вторичным течением, направленным к вершине конуеа. По Дж.
и, Тей.- с окружающей покоящейся лору РЧ. жидкостью. Решение этой задачи изложим по Г. Шлихтингу [зт]. Движение круглой струи так же, как и плоской, в действительности почти всегда турбулентное. Тем не менее мы довольно подробно остановимся на ламинарной круглой струе, поскольку для нее получается такое же дифференциальное уравнение, как и для турбулентной, к которой мы вернемся в главе ХХ1У. Давление в круглой струе так же, как и в плоской, можно принять постоянным. Возьмем систему координат с началом в центре отверстия и осью х, совпадающей с осью струи. Радиальное расстояние в струе будем измерять координатой у. Составляющие скорости в осевом и радиальном направлениях пусть будут собтветственно и и и.
Вследствие постоянства давления поток импульса в направлении х по-прежнему постоянен и равен 224 Осесимметричные и трехмерные пограничные слОи игл. хт Профили скоростей и (х, у) по-прежнему можно считать аффинными между собой. Пусть ширина струи пропорциональна х". Примем, что функция тока хрР (т)), где т1 = утх" . Для определения показателей степени р и и опять воспользуемся, во-первых, условием (11.9) о независимости импульса от х и, во-вторых, предположением, что те инерционные члены и члены, зависящие от вязкости, которые входят в уравнение (11.10а), имеют одинаковый порядок величины. Мы имеем и ди р ги т ди р ги 1 д / дит р-ги.
и х, — х, — х, — — (у — ) х дг ду ' у ду т дуг' следовательно, для определения р и и получаем два уравнения: 2р — 4п + 2п = О, 2р — 4п.— 1 = р — йп, откуда р=п=1. Таким образом, рхГ (т1), в соответствии с чем составляющие и и Р скорости будут т К' и= — —, и Ч (11.12) Подставив эти выражения в уравнение (11.10а), мы получим для определения функции тока Р (т)) дифференциальное уравнение проинтегрировав которое один раз найдем РР' = Г' — т|Р". (11.13) Граничными условиями будут и=и и э=О при у=О, а это требует, чтобы было Р'=0 и Г=О при т)=0. ~Р др дгр Р— = — — 5— дгг с граничными условиями Р = О, Р = 0 при $ = 0 имеет своим решением (11.
14) Так как и есть четная функция от т), то функция Г'/тт должна быть также четной, а потому Р' будет нечетной, а Р— четной функцией от т). Если мы разложим функцию Р в ряд по степеням т), то постоянный член в этом ряде будет равен нулю, так как Р (0) = О. Таким образом, одну постоянную интегрирования мы определили. Далее, введем новую переменную $ = утт, где у есть постоянная. Очевидно, что если Р(т1) есть решение уравнения (11 13), то решением будет также функция Р (ттт) = Р (э).
Но дифференциальное уравнение 1 11 точные Решения для Осесимметричных пОГРАничных слоев 225 Подставив это выражение яг в равенства (И.12), мы получим т г 1 ок т 2тг и= — уг — — =— $ % *(+~6)'' $3 т уок' к'1 т 4 у( )= у '1Ц 4/ г г' причем $ = уу/х.
Остается найти постоянную у, которая определяется заданным импульсом и одновременно является второй постоянной интегрирования. Внеся найденное значение и в формулу (И.9), мы найдем для импульса величину У = 2яр игу ду =- — яругтг. с 15 з о Введем кннематический импульс К' = л/р и подставим значение у, выраженное черев К', в формулы для составляющих скорости и и п; мы будем иметь и= з — я г, (И.15) з к' зл тл ( $г)г / 3 )/л' 4 (1+ ) (И.
16) причем (И.17) Картина линий тока, полу- Рис. 11.5. Каркала ливий тока в лаиииариой круглой ченная на основании формул струе. (И.15) и (И.16), изображена на рис. И.5. Зависимость продольной скорости и от $ показана на рис. 9.14 вместе с такой же зависимостью для плоской струи. Объем жидкости, протекающей в струе в одну секунду, равен ое () = 2я ) иуду. о Очевидно, что с удалением от отверстия расход (я вследствие бокового притекания жидкости возрастает.
Вычислив интеграл, мы получим Ч' = 8ярх. (И 18) Сравнив эту формулу с аналогичной формулой (9.62) для плоской струи, мы увидим, что количество жидкости, протекающей череа определенное сечение круглой ламинарной струи, в отличие от случая плоской струи не вависит от импульса струи, т. е. не зависит от.избыточного давления, под которым струя вытекает из отверстия. Струя, вытекающая под большим давлением (с большой скоростью), получается более узкой, чем струя, вытекающая под умеренным давлением (с малой скоростью).
Последняя увлекает 15 г. шлиятннг 226 ОсесимметРичные и тРехмеРные погРАничные слОи 0'л ху УУ= 2ярУ ~ и,.у.йу = сонэк „='о Это равенство удовлетворяется, если принять для и, выражение и, =СО ) (Ч) (11.21), (11.22) где (11.23) за собой сравнительно большее количество покоящейся жидкости, и притом именно столько, что в обоих случаях при равных значениях кинематической вязкости расход ~ на одном и том же расстоянии от отверстия получается одинаковым. Для конических струйных течений с добавочной радиальной составляющей скорости в кольцеобразном источнике Г. В.
Сквайр Р~), Ро) получил наряду с решениями уравнений пограничного слоя также решения полных уравнений Навье — Стокса, что позволило сравнить те и другие решения в отношении точности. В таких радиальных струях скорости также обратно пропорциональны расстоянию от источника. Полученные результаты можно распространить и на случай турбулентных струй, если только заменить кинематическую вязкость на кажущуюся кинематическую вязкость (см. главу ХХ1У). Случай, когда плоская или осесимметричная струя встречает на своем пути перпендикулярную к ней стенку и затем растекается вдоль этой стенки, рассмотрен М. Б.
Глауэртом РЧ как для ламинарного, так и для турбулентного течения. Для сжимаемой жидкости ламинарная круглая струя рассчитана М. Кшивоблоцким Р1) и Д. К. Паком ['о). В области дозвукового течения плотность на оси струи болыпе, а температура меньше, чем на ',краях струи.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
