Теория пограничного слоя Г. Шлихтинг под ред. Лойцянского Л.Г. (1013691), страница 141
Текст из файла (страница 141)
1= му, (19.22) ь (б й э lз 11 вг Гв Лб дд у и' ' у ') Конечно, н неявном виде шероховатость стенок н влияние числа Рейнольдса содержатся н касательном напряжении тв на стенке. УНИВЕРСАЛЬНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СКОРОСТЕЙ 531 5 51 где х есть безразмерная постоянная, которая должна быть определена из опыта. Гипотеза (19.22) вполне уместна, тан как на стенке турбулентное касательное напряжение равно нулю, поскольку здесь пульсационное движение исчезает. Внеся выражение (19.22) в формулу Прандтля (19.7), мы получим гуг ( ~~ ) (19.23) Далее, следуя Л. Прандтлю, введем предположение, что касательное напряжение постоянно, т. е.
что т = т„где то есть касательное напряжение на стенке. Если ввести в соотношение (19.23) динамическую скорость на стенке »' то о о=у' » у' (19.24) то оио примет вид (19.25) откуда и»о ду ху (19.26) Проинтегрировав это уравнение, мы получим и= — "1ву+ С. х (19.27) где у есть расстояние от стенки. График этого универсального закона распределения скоростей изображен на рис. 19.2 в виде кривой 1. Таким образом, из формулы Прандтля (19.7) получается универсальный закон распределения скоростей, по своей структуре сходной с универсальным законом (19.21), основанным на гипотезе подобия Кармана.
Оба закона отличаются один от другого только видом функций от аргумента у/Ь в правых частях формул (19.21) и (19.28). Это вполне понятно, так нак в основу каждого закона положены разные допущения. А именно при выводе закона Кармана было принято, что касательное напряжение распределяется по ширине канала линейно, а' длина пути перемешивания 1 и'/и", при выводе же закона Прандтля касательное напряжение было взято постоянным, а длина 1 пути перемешивания была принята пропорциональной расстоянию от стенки. В какой мере оба закона дают различные результаты, покааывают кривые 1 и 2 на рис.
19.2. О сравнении обоих законов с результатами опыта будет сказано в главе ХХ. Попутно заметим, что если принять логарифмический закон распределения скоростей (19.27) заданным, то с помощью формулы Кармана (1917) 34» Постоянная интегрирования С должна быть определена из условия на стенке. Это даст возможность сомкнуть турбулентное распределение скоростей с ламинарным распределением в ламинарном подслое. Однако, даже не производя такого определения, мы можем получить из соотношения (19,27) закон, аналогичный закону (19.21). Хотя вследствие предположения, что т = совэФ, формулу (19.27) можно применять только на близких расстояниях от стенки, попробуем все же применить ее и на больших расстояниях, вплоть до середины канала у = Ь.
Тогда, учтя, что и = иш,х при у = Ь, мы получим и, = — *о 1в Ь+ С. х Вычтя из этого равенства равенство (19.27), мы будем иметь июах — и 11 Ь (19.28) 532 Гипотезы для Расчеть туРБулентных течении !Гл. х!х из него можно вывести соотношение 1 = ху, т. е. то допущение (19.22), которое было положено в основу вывода закона (19.27). Отсюда следует, что число х в равенстве (19.22) совпадает с числом х в равенстве (19.17). Остановимся немного на вопросе определения постоянной интегрирования в уравнении (19.27). Как уже было сказано выше, это определение следует выполнить путем смыкания турбулентного распределения скоростей с ламинарным распределением в непосредственной близости от стенки, там, где ламинарное и турбулентное касательные напряжения по своей величине одного порядка.
Определим постоянную интегрирования С из условия, что скорость равна и = 0 на некотором'весьма малом расстоянии уо от стенки; тогда мы будем иметь и= — 'о (!ну — 1пу,). х (19.29) Расстояние у, по своей величине одного порядка с толщиной ламинарного поДслоЯ. Из кинематической вЯзкости У и Динамической скоРости поо можно составить длину ТЪ„о. Из соображений о размерности расстояние уо должно быть пропорционально длине ТЬ,о. Примем, что уо=р о о (19.30) где р есть безразмерная постоянная. Внеся это выражение в уравнение (19.29), мы получим — = — ! 1п — — 1пр) и 1 ! Роо о.о (19.29а) и — =-% о*о (19.31) уо*о = Ч.
о (19.32) Тогда закон распределения скоростей (19.29а) можно будет переписать в следующем сокращенном виде: !р (д) = А! 1п й + П„ (19.33) где А!= — =2,5; П!= — — 1п~. (19.34) Универсальный закон распределения скоростей (19.33), выведенный здесь для течения вдоль плоской стенки (течение в канале), имеет фундаментальное значение также для течения в круглой трубе. Это течение мы рассмотрим Этот логарифмический закон распределения скоростей определяет безразмерную скорость инкоо как функцию безразмерного расстояния уп,о/у от стенки, которое можно рассматривать нак своего рода число Рейнольдса, составленное из расстояния у от стенки и динамической скорости и„о на стенке. Уравнение (19.29а) содержит две эмпирические постоянные х и р. Если учесть предпосылки, положенные в основу вывода этого уравнения, то следует ожидать, что постоянная х не зависит от свойств стенки, т.
е. от того, гладкая лн она или шероховатая. Следовательно, х является универсальной постоянной турбулентного течения. Экспериментальные исследования, о которых будет сказано в следующей главе, дают для х значение х = 0,4. Вторая постоянная р зависит от свойств стенки; ее численные значения будут указаны также в следующей главе. Введем для безразмерных скорости и расстояния от стенки, входящих в уравнение (19.29а), обозначения униВеРсАльные 3АкОны РАспРеделения скоростей 533 в следующей главе. Там же мы увидим, что закон (19.33) очень хорошо подтверждается измерениями.
Вще раз подчеркнем, что универсальные законы распределения скоростей выражаемые формулами (19.21) и (19.27) [или (19.33)), выведены для такого турбулентного течения, в котором, за исключением тонкого слоя в непосредственной близости от стенок, учитывается только турбулентное касательное напряжение, ламинарное же трение в расчет не принимается. Такое допущение оправдывается лишь при сравнительно больших числах Рейнольдса. С этой точки зрения универсальные законы распределения скоростей, особенно закон (19.33), следует рассматривать как асимптотические законы для Рис. 19.3.
Распределение скоростей в прямолинейном течении Куатта между двумя параллельными плоскими стенками. движужимися в противоположные стороны. по г. Райтардту РН, 09. при Яе = 1300 течение ламинарна, при яе = 3900 и 33 000 — туроулентно. очень больших чисел Рейнольдса. При меныпих числах Рейнольдса ламинарное трение необходимо учитывать не только в очень тонком пристеночном слое, но и во всем течении, и опыты дают вместо логарифмического закона (19.33) степенной закон (19.35) ст (Ч) = СЧ или в раскрытом виде причем покааатель степени п равен приблизительно 1!7 и слабо зависит от числа Рейнольдса. Этот закон распределения скоростей мы рассмотрим подробно в следующей главе. Примером течения с постоянным касательным напряжением, особенно простым с точки зрения теории, является так называемое течение Куэтта между двумя параллельными плоскими стенками, движущимися одна относительной другой (рис.
1.1). В этом течении, тщательно исследованном Г. Райхардтом (те), П'!, касательное напряжение т в точности постоянно как при ламинарном, так и при турбулентном движении и равно касательному напряжению то на стенке. На рис. 19.3 изображены полученные Г. Райхардтом результаты намерений распределения скоростей в течении Куатта при различных числах Рейнольдса. При числе Рейнольдса 3тп( 1500 течение лами- ГИПОТЕЗЫ ДЛЯ РАСЧЕТА ТУРБУЛЕНТНЫХ ТЕЧЕНИИ (гл. Хгх нарко и распределение скоростей очень хорошо совпадает с линейным.
При (че) 1500 течение становится турбулентным. Турбулентные профили скоростей з середине течения имеют довольно пологий вид, но около стенок они круто загибаются. Для турбулентного течения такой вид профилей скоростей вполне закономерен. В самом деле, при турбулентном течении касательное напряжение складывается из ламинарной части т, = р (ои/г(у) и турбулентной части тз = А, (с(иЯу), обусловленной турбулентным перемешиванием.
Следовательно, т = тз = ()г+ А„) й Ни где А, есть коэффициент турбулентного обмена, определяемый соотношением (19.1). Таким образом, градиент скорости дну пропорционален величине 1/(р + А,). Так как коэффициент А, на стенке равен нулю, а в середине канала достигает максимума, то профиль скоростей около стенки должен подниматься круто, а з середине канала — полого, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
