Теория пограничного слоя Г. Шлихтинг под ред. Лойцянского Л.Г. (1013691), страница 139
Текст из файла (страница 139)
Путь перемешнвания в известной мере аналогичен пути свободного пробега молекул в кинетической теории газов, с той только разницей, что там происходят микроскопические движения молекул, а здесь макроскопические движения турбулентных масс '). Возникновение пульсаций скорости в поперечном направлении можно представить себе следующим образом. Два жидких объема, один из слоя (у~ — с), а другой из слоя (у, + 1), попадают в слой у~ и располагаются в нем один за другим так, что более быстрый объем (у, + 1) оказывается позади более медленного объема (ус — 1).
В таком случае оба объема сталкиваются со скоростью 2и' и получают при атом боковое отклонение, в результате чего возникает поперечное движение, направленное в обе стороны от слоя уз. Если же впереди оказывается более быстрый объем, то они удаляются один от другого со скоростью 2и'. В этом случае образующееся между обоими объемами промежуточное пространство заполняется окружающей жидкостью, вследствие чего возникает поперечное движение, направленное с обеих сторон к слою у,. Из этих рассуждений следует, что величина поперечной скорости п' имеет такой же порядок, как н величина продольной скорости и', и поэтому мы можем написать, что 524 ГИПОТЕЗЫ ДЛЯ РАСЧЕТА ТУРВУЛЕНТНЫХ ТЕЧЕНИИ игл, х»х Более точное представление о величине этого коэффициента могут дать только измерения (см.
рис. 18.4). Внеся в соотношение (19.6а) вместо ~ и' ) и ( ~У ~ их выражения (19.5) и (19.6), мы получим » ои» и'о' = — число Р ~ — ) не «Число» в этом соотношении не совпадает с «числом» в соотношении (19.6), так как в него включен также коэффициент 7« из равенства (19.6а). Если, наконец, мы включим это новое «число» в пока еще неизвестную длину пути перемешивания 1, то будем иметь и'о'= — Р ( — ) Внеся зто значение и'о' в формулу (19.1) для турбулентного касательного напряжения, мы получим тс=р( ( ) Правильнее придать этой формуле следующий вид тг =Р( ! ~„~ — е (19.7) так как очевидно, что при изменении знака производной иии/Иу должен меняться знак и касательного напряжения ть Как мы увидим ниже, формула(19.7), выведенная Л. Прандтлем и содержащая в себе длину пути перемешиеания, дает весьма плодотворные возможности для расчета турбулентных течений. Из сопоставления формулы (19.7) Л.
Прандтля и формулы (19.1) Ж. Буссинеска следует, что коэффициент турбулентного обмена равен (19.7а) а кажущаяся кинематическая вязкость, входящая в формулу (19.2), равна а= Р ~ — '~. (19.76) Из опытов известно, что при турбулентном течении сопротивление приближенно пропорционально квадрату скорости. Формула (19.7) позволяет получить этот квадратичный закон сопротивления, если принять, что длина пути перемешивания не зависит от абсолютного значения скорости. Длину пути перемешивання нельзя считать, подобно козффициенту вязкости в законе трения Стокса, физической константой, она является по меньшей мере функцией точки.
Во многих случаях можно установить простую связь между длиной пути перемешивання 1и характерными длинами в рассматриваемом течении. Так, например, в случае течения вдоль гладкой стенки длина пути перемешивания 1 на стенке должна быть равна нулю, так как здесь никакое поперечное движение невозможно. Однако в случае течения вдоль шероховатой стенки предельное значение длины 1 около стенки имеет одинаковый порядок с высотой выступов, образующих шероховатость.
Формула Прандтля (19.7) с успехом применяется для расчета турбулентных течений вдоль стенок (в трубе, в канале, вдоль пластины), а также для две дгкгие гипотвзы О кАОАтельном нАпРяжении 525 расчета так называемой свободной турбулектности, т. е. таких турбулентных течений, которые не ограничены стенками. Примером свободной турбулентности может служить смешение струи с окружающей покоящейся жидкостью. Рааличные случаи применения формулы Прандтля будут рассмотрены в главах ХХ, ХХ1 и ХХ1У. з 3. Две другие гипотезы о турбулентном касательном напряжении Формула Прандтля (19.7) для турбулентного касательного напряжения все же не вполне удовлетворительна.
В самом деле, согласно формуле (19.7б), полученной на основании формулы Прандтля, кажущаяся турбулентная вязкость должна быть равна нулю в точках, в которых ди/8у = О, т. е. в точках с максимумом или минимумом скорости; между тем это беэусловно неверно, так как в действительности турбулентный обмен в точке, например, с максимумом скорости, т.
е. в середине канала, не исчезает. Зто подтверждается измерениями пульсаций, выполненными Г. Райхардтом (рис. 18.3)и показывающими, что в середине канала как продольные, так и поперечные пульсации не равны нулю. Для устранения такого недостатка формулы (19.7) Л.Прандтль предложил считать кажущуюся кинематическую вязкость вблиаи точки с максимумом скорости, где Оиlоу сильно изменяется, пропорциональной не ) дк/ду ), а среднему статистическому от ! дк/Ыу ), составленному для небольшой окрестности рассматриваемой точки, т. е. пропорциональной величине где верхняя черта означает осреднение в пространстве. Зту осредненную по пространству величину можно представить также в виде где 1, означает новую длину, которую, подобно длине 1, можно определить также только путем эксперимента. Приняв такую гипотезу, мы получим для кажущейся кинематической вязкости формулу а для кажущегося касательного напряжения — формулу (19.8) Наличие корня в формуле (19.8) делает ее очень неудобной для практических расчетов, и поатому ею можно пользоваться только в особых случаях (см.
главу ХХ1Ч). Позднее с целью устранения трудностей, связанных с применением формул (19.6) и (19.8), Л. Прандтль Р') предложил еще одну формулу для кажущейся кинематической вязкости, и притом значительно более простую, чем предыдущие формулы. Однако эта формула, полученная в результате анализа обширных экспериментальных материалов Г. Райхардта (ы) о свободной турбулентности, пригодна только для свободной турбулентности. Новую формулу Л. Прандтль получил, исходя из гипотезы, что жидкие объемы, перемещающиеся при турбулентном перемешивании поперек течения, имеют 526 ГИПОТЕЗЫ ДЛЯ РАСЧЕТА ТУРБУЛЕНТНЫХ ТЕЧЕНИИ (ГЛ. Х1Х размеры одного порядка с поперечными размерами зоны перемешивания, в то время как при выводе прежней формулы, основанной на представлении о пути перемешивания, предполагалось, что размеры этих объемов малы по сравнению с поперечными размерами течения.
При такой гипотезе кажущаяся кииематическая вязкость з принимается равной произведению максимальной разности осредненных скоростей в рассматриваемом сечении на некоторую длину, пропорциональную ширине Ь зоны перемешивания, следовательно, принимается, что з=х1Ь (и,в — и,1„). (19.9) В этой формуле х, означает безразмерное число, которое люжпо определить только опытным путем 1). Из формулы (19.9) следует, что кажущаяся кинематическая вязкость з принимается постоянной по всей ширине каждого поперечного сечения, в то время как при прежней гипотезе [формула (19.76)) она изменяется по поперечному сечению даже в том случае, если длина пути перемешивания принимается постоянной по всему поперечному сечению.
Внеся значение (19.9) в формулу (19.2) для турбулентного касательного напряжения, мы получим лй т1 РЕ1 Ь (ишах иш1в) — ° оу (19 10) Примеры расчета на основании этой гипотезы будут даны в главе ХХ) 11. Формулу, очень сходную с формулой (19.7), получил Дж. И. Тэйлор [лз[, исходя из своей теории переноса завихренности. В то время как в теории Прандтля при поперечном движении жидкого объема принимается постоянной скорость и, в теории Твйлора принимается неизменной вихревая напряженность, т.
е. величина с)иЯу. Это приводит к формуле (19.11) )ш = '[Г21 Из теории Дж. И. Тэйлора в хорошем согласии с результатами опытов следует, что в зоне перемешивания позади цилиндрического стержня распределение температуры и распределение вихревой напряженности подчиняются одному и тому же закону, так как в рассматриваемом случае оси вихрей расположены преимущественно перпендикулярно к направлению главного течения и к направлению градиента скорости. При течении же вблизи стенки, где, в противоположность предыдущему случаю, преобладают вихри с осями, параллельными направлению основного течения, очень хорошо совпадают распределение температуры и распределение скоростей. 1) Сравнив ату формулу с формулой (19.5в)в мм увидим, что при позой гипотезе попе- РечнаЯ пУльсаЦиЯ о' пРопоРЦиональна Разности ив,а„— иш1в, а пУть перемешивапиа пРопорциопалеп ширвие Ь.
Формулу двя кажущейся нипематичесной вяакости с, очень сходвую с формулой (19.9), предложил также Г. Райхардт ["). отличающейся от формулы (19.7) только множителем 112. Это означает, что длина пути перемешиваиия в теории Тэйлора о переносе завихренности в у' 2 раз больше длины пути перемешивания в теории Прандтля о переносе импульсов, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
