Теория пограничного слоя Г. Шлихтинг под ред. Лойцянского Л.Г. (1013691), страница 138
Текст из файла (страница 138)
Со!С!п8еп, МаСЬ. РЬуя. К1авве, Хеие Ро!Зе 1, 4, 47 (1935). 38. Я с Ь и Ь а и е г 6. В., В г у й е и Н. Ь., ТЬе еНесх о( СигЬи1епсе оп СЬе йга8 о(Пах р1ахев. ХАСА Вер. 546 (1935]. 39. Я с Ь и Ь а и е г 6. В., К 1 е Ь а и о 11 Р. Я., 1пчевПЯахюп о(верагаМоп о1 СЬе СшЬи!еих Ьоипйагу 1ауег. ХАСА Вер. 1030 (1951). 40.
Я ! т т о и в Ь. Р. 6., Я а 1! е г С., Ап ехрег!тепха1 йехеппшаСюп о1 СЬе вресС- гшп о( СигЬи1епсе. Ргос. Воу. Яос. А 165, 73 — 89 (1938). 41. Т а у 1 о г 6. 1., ЯхаСМС!са1 СЬеогу о1 СигЬи1епсе. Части 1 — 4. Ргос. Коу. Яос. Ьоийоп А 151, 421 — 478 (1935). 42.
Т а у 1 о г 6. 1., ЯСаПвИса1 СЬеогу о1 СигЬи1епсе. Часть 5, ЕПесх о( СигЬи1епсе оп Ьоипйагу !ауег. ТЬеогеПса1 йМсивяюп о1 ге!аС!опяЬ!р Ьехчхееп вса1е о1 СигЬи1епсе апй сг!Пса1 гевзхапсе о1 врЬегев. Ргос. Коу. Яос. Ьопйоп А 151, 307 — 317 (!936]; см. также 1АЯ 4, 311 — 315 (1937]. 43. Т а у 1 о г 6. 1., Согге1ахюп теаяигегпепхя !и а СигЬи1епС Пон СЬгоиЯЬ а р!ре. Ргос.
Воу. Яос. А 157, 537 — 546 (1936). 44. Т о 11 гп ! е и СЧ., ТигЬи!епхе Яхгбтип8еп. НапйЬ. йег Ехрег!шенка!рЬуя!Ь, т. 4, часть 1, 291 (1931). ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ ХЧПГ 519 45. Т о 1 1 ш 1 е и %., ()Ьег ВТе Когге!а!!оп йег беясЬъч!Вй!9Ье!!в)гошропеп!еп ш рег1ой1всЬ всЬиапЬепйеп %!гЬе!чег!е!1ип9еп. ЕАММ 15, 96 (1935).
46. Т о 1 1 го ! е п %., 8 с Ь а 1 е г М., Еиг ТЬеог1е йег %!ВйЬапа1!игЬи1епя. ЕАММ 21, 1 (1941]. 47. Т о 11 ш ! е п %., РоггвсЬПМе йег ТигЬи!епя1огвсЬип8. Епвапипеп(амепйег Вег!сЫЕ ЕАММ 33, 200 — 2!1 (1953]. 48. Т о 1!ш ! е п %., АЬпаЬше йег %!ВйЬапа1!игЬВ1епя пасЬ йеш Не!вепЬегбвсЬеп Аив!аиясЬапяа!в а1я Ап(ап8яи ег!ргоЫеш.
%!вв. Е. Т. Н. Вгевйеп 2, 443 — 448 (1952/53). 49. Т о и и я е и й А. А., ТЬе я!гис!иге о1 !игЬи1еп! вЬеаг 11оьч. СашЬг!й8е ВЫчегМ!у Ргевв, 1956. 50. чоп % е ! в я а с )г е г С. Р., Вая Бре1сФгиш йег ТигЬи!епв Ье! 8говвеп Веупо1йяясЬеп ЕаЫеп. Е. РЬуя. 124, 614 — 627 (1948). 51. % ! е 3 Ь а г й с К., ОЬег й!е %!ГЬппд йег ТигЬВ1епв аи1 йеп ()шясЫа9рипЬ!. ЕАММ 20, 58 — 59 (1940). 52. % ! е 9 Ь а г й ! К., Еивапппеп(аяяепйег Вег(сЫ йЬег АГЬейеп виг я!аг!вНясЬеп ТигЬи1епвФЬеог!е. 1 и!!(аЬг!(огясЬип9 18, 1 — 7 (1941). Глава Х1Х Теоретические гипотезы для расчета турбулентных течений й 1. Основные уравнения ди т(= Р где р есть коэффициент вязкости.
Ж. Буссинеск предположил, что турбулентное кажущееся касательное напряжение т( определяется аналогичной фор- мулой — зи т(= — ри'(('=А,— зу (19.1) Ввиду необычайной сложности турбулентных течений сколько-нибудь глубокое проникновение в механизм турбулентности представляет собой крайне трудную и пока еще перел(энную аадачу. Для практических приложений необходимо знать главным образом осредненные по времени величины. Однако до сих пор не существует такой рациональной теории турбулентных течений, которая позволяла бы определять эти осредненные величины путем только расчета.
Поэтому неоднократно делались попытки подойти к теоретическому исследованию турбулентных течений полуэмпнрнческнм путем. Однако введенные для этой цели эмпирические гипотезы, хотя и были более или менее разработаны до состояния теорий, все же оказались недостаточными для полного анализа даже того вида турбулентного течения, для которого они были установлены. Напротив, каждый раз приходилось вводить дополнительные гипотезы и экспериментальные данные о характере изменения некоторых функций или по крайней мере о некоторых численных значениях.
Основная идея таких эмпирических теорий турбулентности состоит в том, чтобы вывести недостающие физические основы из результатов измерений. Турбулентное перемешивание выаывает обмен не только импульсами, но и теплом и примесями в тех случаях, когда поле течения имеет неодинаковую температуру или неодинаковую концентрацию примесей (см. 1 1 главы ХХ111). В основе способов расчета турбулентных полей течения, температуры и концентрации лежат эмпирические гипотезы, связывающие силы кажущейся вязкости, вызываемой турбулентным перемешиванием, с осредненными во времени скоростями, а также соответствующие эмпирические гипотезы для тепло- и массообмена.
Только после введения таких гипотез гидродинамические дифференциальные уравнения осредненного движения (18.8), а также дифференциальные уравнения для распределения температуры принимают вид, допускающий их интегрирование. Для переноса импульсов такие эмпирические гипотезы были предложены уже давно, еще Ж. Буссинеском [Ч, РЧ. Согласно закону трения Ньютона, формула, определяющая касательное напряжение т( в ламинарном течении, имеет вид 521 % г1 «ПУТЬ ПЕРЕМЕШИВАНИЯ» ПРАНДТЛЯ в которую вместо истинной скорости и входит осредненная скорость и, а вместо коэффициента вязкости р — коэффициент турбулентного обмена А,.
Необходимо, однако, иметь в виду, что коэффициент турбулентного обмена А, зависит в свою очередь от распределения скорости и и, следовательно,неявляется, подобно коэффициенту вязкости р, физической константой. Это сраву видно хотя бы из того, что при турбулентном течении силы трения пропорциональны не первой степени скорости, как при ламинарном течении, а приближенно квадрату скорости.
Но для этого коэффициент турбулентного обмена А„ как это следует из формулы (19.1), должен быть пропорционален первой степени скорости. Вместо «динамического» коэффициента турбулентного обмена А» часто вводится также кинематический коэффициент «кажущейся» вязкости е = = А,lр турбулентного течения, соответствующий коэффициенту кинематической вязкости у = 97р ламинарного течения. В этом случае приведенные выше формулы для касательных напряжений принимают вид ди тс =ре —.
ду' (19.2) Произведем теперь в уравнениях Навье — Стокса для осредненного турбулентного движения (18.9) такие же упрощения, какие были сделаны в з 1 главы у'11 при выводе уравнений пограничного слоя. Тогда с учетом соотношения (19.1) для поля скоростей двумерного несжимаемого турбулентного течения мы получим следующую систему уравнений: ди — ди 1 Ир д Г ди ч и — + о — = — — — -)- — ~(у+в) — ~, дг ду р де ду 1 ду ~ ' ди до — + — =О. д* ду (19.3а) (19. Зб) Эта система уравнений соответствует уравнениям (7.10) и (7.11) ламннарного течения.
Граничные условия для составляющих скорости остаются такими же, как и при ламинарном течении (равенства (7.12)). 3 2. «Путь перемешивания» Прандтля Гипотезы (19.1) и (19.2) могут быть применены для расчета турбулентного поля скоростей из уравнений (19.3) только в том случае, если будут известны более подробные сведения о зависимости коэффициента турбулентного обмена от скорости. Следовательно, для'того чтобы использовать путь, указанный Буссинеском,необходимо попытаться найти подходящие эмпирические гипотезы о связи между коэффициентом турбулентного обмена и полем осредненных скоростей.
В этой главе мы ограничимся рассмотрением поля скоростей только для несжимаемого течения, когда это поле не зависит от температурного поля. Расчетом поля скоростей для сжимаемого течения, а также расчетом температурного поля и, в частности, исследованием теплопередачи при турбулентном течении мы подробно займемся в главе ХХП1. Первый значительный успех в установлении связи между коэффициентом турбулентного обмена и нолем осредненных скоростей был достигнут Л.
Прандтлем Р'] в 1925 г. Для изложения идеи Л. Прандтля возьмем возможно более простое осредненное движение, а именно плоское течение с направлением, 522 ГИПОТЕЗЫ ДЛЯ РАСЧЕТА ТУРВУЛЕНТНЫХ ТЕЧЕНИИ [ГЛ. Х»Х одинаковым во всех точках пространства, и со скоростью, изменяющейся только при переходе от одной линии тока к другой. Направление главного течения пусть совпадает с осью х. Следовательно, и=и(у), э=О, и»=0. Такой случай осредненного течения осуществляется, например, при течении в прямоугольном канале (на рис.
18.3 и 18.4 изображены результаты измерения пульсаций в этом течении). Из касательных составляющих тензора напряжений в рассматриваемом случае у имеется только касательное напряжение лй тяр — — т» = Ри Р =Ат —. »»р (19.4) Механизм турбулентного течения можно представить, следуя Л. Прандтлю, в виде следующей упрощенной картины. В турбулентном течении возникают жидкие объемы, каждый из которых обладает собственной скоростью и движется на протяжении некоторого расстояния нан в продольном, так и Ряе. !9.1.
К пояоиеиия» понятия пути перепоя»ияяпия. в поперечном направлении в виде неразрывного целого с сохранением х-составляющей своего импульса. Предположим, что один такой жидкий объем, возникший в слое (у» — 1) и обладающий скоростью и (у» — 1), перемещается на расстояние 1 в направлении, перпендикулярном к главному течению (рис. 19.1). Назовем расстояние 1, следуя Л. Прандтлю, путем пвремвшивания. Коли рассматриваемый жидкий объем сохраняет х-составляющую своего импульса, то в новом слое он будет иметь меньшую скорость, чемокружающая его новая среда. Разность между новой и старой скоростями будет равна / »»й» »яи»=и(у») — и(у» — 1) 1( — ) лр Последнее выражение получается в результате разложения скорости и (у» — 1) в ряд Тэйлора и отбрасывания всех членов порядка выше первого.
При таком поперечном течении Р' ) О. Аналогичным образом жидкий объем, попадающий в слой у» из слоя у» + 1, имеет в новом месте ббльшую скорость, чем окружающая его там среда. Разность скоростей составляет Аиз — — и (у»+ 1) — и (у») ж 1 ( — „) причем теперь Р' ( О. Каждую из разностей скоростей Аи» в Аию вызван- ных поперечным движением, можно понимать как турбулентную пульсацию скорости в слое у».
Следовательно, осредненное во времени значение абсо- лютной величины этой пульсации будет ( и') = — (~ Ьи»(+) Ьия !) =1~ ( — ) (19.5) Это соотношение позволяет дать пути перемешивания 1 следующее физическое толкование: путь перемешивания представляет собой то расстояние в поперечном направлении течения, которое частица жидкости, двигаясь со средней скоростью своего первоначального слоя, должна пройти для того, чтобы разность ее скорости и скорости течения в новом месте стала равной осредненному значению абсолютной величины продольной пульсации турбулентного течения.
При атом остается открытым вопрос, сохраняют 523 «путь пнвнмвшнвания» пвандтля ) (и' ~ = число ( и' ( = число. 1— оу (19.6) Перейдем теперь к вычислению осредненного значения и'и', входящего в формулу (19.1). Изложенные выше соображения приводят к следующему выводу. Частицы жидкости, приходящие в слой ус с положительным значением и' (на рис. 19.1 — снизу), вызывают «обычно» отрицательную пульсацию и', поэтому для таких частиц произведение и'и'отрицательно. Частицы же жидкости, приходящие в слой у, с отрицательным значением и' (сверху), вызывают «обычноз положительную пульсацию и', следовательно, для них произведение и'и' также отрицательно.
Говоря об «обычно» положительных или «обычно» отрицательных пульсациях, мы имеем в виду, что не исключена возможность возникновения пульсаций с противоположным знаком, но количество таких пульсаций может быть только очень небольшим. Таким образом, осредненное во времени значение и'и' отличается от нуля, и притом отрицательно.
Поэтому мы можем принять, что и'о' = — )с! и'! Гпт), (19.6а) где коэффициент )с, по существу, совпадает с коэффициентом корреляции, определяемым равенством (18.12), и всегда больше нуля, но меньше единицы. ') Если продольная пульсация и' пзмепяется во времепп, то по аналогии (19.5) можно принять, что ои и'= р —, Ыу сравепством (19.5а) где р есть переменная длина, которая завкспт от времени и может принимать положвтель- кые влв отрицательные значения. Внеся значение и' в равенство (19.2), мы получим —,,як Ни т~ = — ро'à — =ре— Ну „Ну (19.55) Следовательно, кажущаяся кпвематпческая вязкость равна е= — гпч (19.5в] ли частицы жидкости при своем поперечном движении скорость первоначального слоя полностью илн же они частично принимают скорость проходимого ими слоя и затем продвигаются в поперечном направлении на несколько большее расстояние.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
