Теория пограничного слоя Г. Шлихтинг под ред. Лойцянского Л.Г. (1013691), страница 140
Текст из файла (страница 140)
е. 527 Гипотвзл пОдОБия клгмАНА в 4. Гипотеза подобия Кармана Для расчета турбулентных течений очень желательно иметь правило, позволяющее определять для любого течения зависимость длины пути перемешивания от координат точек потока. Попытку отыскания такого правила предпринял Т. Карман [в[. Для этой цели он ввел следующую гипотезу о механизме турбулентного течения: поля пульсационных скоростей во всех точках подобны одно другому, т. е.
отличаются одно от другого только масштабами времени и длины (гипотеза подобия). Вместо масштабов для времени и длины можно взять масштабы для скорости и длины. Длиной, характерной для пульсационного движения, является, как мы сейчас увидим, длина пути перемешивания Ь За скорость, характерную для турбулентного побочного движения, можно взять величину пв = )/ — ' = )/ [ и' о' [, (19.12) получаемую из формулы (19 1) для турбулентного касательного напряжения. Будем называть величину гв динамической скоростью '). Эта скорость является мерой интенсивности турбулентного пульсационного движения, а также мерой интенсивности переноса импульсов, осуществляемого пульсационным движением. Для получения выводов, вытекающих из введенной гипотезы подобия, рассмотрим двумерное осредненное движение и = и (у), о = О, На основании введенной гипотезы подобия функция тока пульсационного движения в отдельных точках может отличаться от своего значения в точке хо, уо только масштабами длины и скорости.
Пусть каждой точке соответствует свой масштаб длины 1 и свой масштаб скорости В. В таком случае, введя безразмерные амплитуды з, т) побочного движения и безразмерную функцию тока ) ($, т)), мы можем принять, что х — хо = [з, у — уо = 1«), $ = В(~ (з, т)). (19.15) т) В поллккккке применяется термвк «скорость касательного капряжеккяе (8«ЬпЬ- ереппппязяеесЬъчл«)!яЬем). — Правь лврвв. т.
е. слоистое течение, происходящее в направлении х, и примем, что поле скоростей возмущений также двумерно и обладает функцией тока «р (х, у). Тогда для определения этой функции мы получим, если пренебречь вязкостью, дифференциальное уравнение пульсаций где ст = дохл -)- дт/дут есть оператор Лапласа [см. уравнение (4.10)). Рассмотрим окрестность точки хс, уо, в которой жидкость движется со скоростью ис, и разложим в атой окрестности осредненную скорость и в ряд Тэйлора. Мы получим и- «+ ( ~"„), (у — ус)+ —, ~ — „", ),(у — ус)'+...
(19.19) Введем теперь систему координат, движущуюся со скоростью ис, и предположим, что в атой системе координат побочное движение стационарное. Тогда уравнение пульсаций после внесения в него значения и примет вид )(а ) аар (а'о) а$+ а$ алФ ар алр О. (19.14) 528 1гл. хгх ГИПОТЕЗЫ ДЛЯ РАСЧЕТА ТУРБУЛЕНТНЫХ ТЕЧЕНИЙ Внеся эти выражения в уравнение (19Л4) и разделив затем все члены на мы получим следующее дифференциальное уравнение для определения функ- ции / ($, т~): '( — ) Ни ~ дуг /о д/ 1В д/ да/ да/ дг 1 да/ ) 0 дй дч ) д$ (ди) (дц д4 где Л означает оператор Лапласа дг/д$2 + дг/дг)г. На основании введенной гипотезы подобия это уравнение не должно зависеть от величин 1, В, (г)и/г(у)р и (РиЫуг)ю зависящих от координат х и у. Для выполнения такого требования необходимо, чтобы соблюдались равенства '( —.," ).
= сопзФ, = сопзг. Следовательно, масштабы скорости и длины определяются соотношениями (19.16) На основании второго из этих соотношений Т. Карман полагает длину пути перемешивания равной ди ду зги дуг (19.17) 1=х дф дч Р дг ду Согласно формулам (19Л5) это осредненное значение пропорционально величине Р (ВО ггг р =Р или, на основании первого из соотношений (19Л6), величине РЩи/г)у)г.
Следовательно, (19.18) где х есть эмпирическая безразмерная постоянная. Согласно формуле(19Л7) длина 1 пути перемешивания зависит не от модуля скорости, а лишь от распределения скоростей. Следовательно, в соответствии с поставленным выше требованием длина пути перемешивания есть функция только координат точки. Постоянная х может быть определена только из опыта и представляет собой универсальное безразмерное число, одинаковое для всех турбулентных течений при условии, что осредненное распределение скоростей этих течений удовлетворяет принятым выше допущениям (слоистое течение).
Турбулентное касательное напряжение т, определяется осредненным по времени значением величины УНИВЕРСАЛЬНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СКОРОСТЕЙ 529 что совпадает с формулой (19.7), выведенной на основании гипотезы Л. Прандтля о пути перемешизания. Таким образом, гипотеза Кармана приводит к такой же формуле для турбулентного касательного напряжения, как и гипотеза Прандтля о пути перемешивания. Из сказанного выше вытекает также следующее.
Так как тг рВ', то масштаб скорости но на основании равенства (19.12) у~т~/р = и„поэтому масштаб скорости В пропорционален динамической скорости ие, как это и было принято в начале настоящего параграфа. Наконец, введя длину пути перемешивания, определяемую формулой (19 17), в равенство (19.18), мы получим для турбулентного касательного напряжения формулу / ди)4 т4 = рхз (19.19) А. Бетц [4) вывел формулу (19.17) более наглядным путем. Строгое доказательство гипотезы подобия дал Г. Хамель [т). См. в связи с этим также замечание О.
Бьергума ['[ о формуле (19.19). В настоящее время гипотеза подобия распространена также на сжимаемые турбулентные течения [Ч. з 5. Универсальные законы распределения скоростей Как закон турбулентного трения Кармана [уравнение (19.19)), так и аакон Прандтля [уравнение (19.7)) позволяют очень просто вывести универсальный закон распределения скоростей в канале с плоскими стенками. Этот вакон может быть распространен также на трубы с круглым поперечным сечением.
Поясним его, так как в следующих главах он будет играть фундаментальную роль. Пусть канал имеет ширину 244, и пусть ось его совпадает с осью х. Координату у будем измерять от оси канала в направлении, перпендикулярном к стенке. Градиент давления вдоль оси канала примем постоянным, следовательно, др/дх = С 4). Тогда вследствие соотношения' др дт — — + — =0 дл ду касательное напряжение распределяется по ширине канала линейно, т. е. т=т —, д аз, (19.20) где т, есть касательное напряжение на стенке. 1. Закон скоростей в средней части потока по Карману. Внеся турбулентное касательное напряжение тг, определяемое формулой Кармана (19 19), в соотношение (19.20), мы получим ') Начиная отсюда, мы больше не будем ставить черточек над осредненными величинами, так как теперь невозможно 'спутать последние с величинами, изменяющимися во времени.
З4 Г. шлиттииг 530 ГИПОТЕЗЫ ДЛЯ РАСЧЕТА ТУРБУЛЕНТНЫХ ТЕЧЕНИИ 1ГЛ. Х1Х Дважды проинтегрировав это уравнение и определив постоянные интегриро- вания (и = игввх при э = О), мы будем иметь и =пюви+ в)l — (1п ~1 — )/ л]+ вр/ ь ) . ВведЯ в это соотношение динамическУю скоРость гвб = )Гт~!Р, составленнУю для касательного напряжения тб на стенке,-мы сумеем переписать его в сле- дующем безразмерном виде: и „вЂ” н 1 (1 ~1 ~/гр]+. гг р) (19.21) причем у означает здесь расстояние от середины канала. В этом виде универсальный закон распределения скоростей был выведен Т.
Карманом. Графически этот закон представлен на рис. 19.2 в ви- И де штриховой кривой 2. Мы видим, что в сец редине канала это распределение скоростеи р7,— имеет излом, что объясняется невыполнением йд й ь здесь условия подобия. В самом деле, согласно формуле (19.17) в середине канала длина 1 пути перемешивания равна нулю, что, конечно, не й соответствует действительности.
На стенках, I где у = Ь, уравнение (19.21) дает бесконечно 46 большую скорость. Причина этого заключается в пренебрежении молекулярным, а также турбулентным кажущимся трением. Вблизи стенки это допущение не выполняется. Здесь турбулентный пограничный слой смыкается с ламинарным подслоем. Этот вопрос требует особого Рив. 1в.з. Увив«ив«линна вв«вн исследования, и к нему мы вернемся позже.
рви«рви«иннин в««эвнг«а влн гтр- Поэтому пока мы исключим из нашего рассмотбувентного гниении в «анвле. По кврнвнт и првнлтлм гп. Нч. 'кр - рения неболыпие области 4посредственно около ЙВЛЗ1,«Р«вв«1В1 — Форнтв«11Э.З11; СЕРЕДИНЫ КаНаЛа И НЕПОСРЕДСТВЕННО ОКОЛО Ствнок. Уравнение (19.21) особенно примечательно тем, что оно не содержит в явной форме ни шероховатости, ни числа Рейнольдса ').
Универсальный закон распределения скоростей (19.21) можно сформулировать следующим образом: кривые распределения скоростей по ширине канала, полученные для любых чисел Рейнольдса и для любых шероховатостей, можно привести в совпадение, если разности скоростей и „вЂ” и, сделанные безразмерными путем деления на ивб/м, отложить в виде ординат на абсциссах у!Ь. Сравнение этого закона, который применим также для круглых труб, с экспериментальными результатами будет дано в з 3 главы ХХ. 2. Пристеночный закон скоростей по Прандтлю.
Аналогичный универсальный закон распределения скоростей можно вывести из формулы Прандтля (19.7). Такой вывод позволяет одновременно выявить те соотношения, которые имеют место в непосредственной близости от стенок и которые были исключены из предыдущего рассмотрения. Пусть мы имеем турбулентное течение вдоль гладкой плоской стенки. Обозначим через у расстояние от стенки и через и (у) распределение скоростей. Примем, что вблизи стенки длина пути перемешивания пропорциональна расстоянию у от стенки, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
