Теория пограничного слоя Г. Шлихтинг под ред. Лойцянского Л.Г. (1013691), страница 144
Текст из файла (страница 144)
На рис. 20.4 показано сравнение распределения скоростей (20.11) (кривая (7) г г ьрй-(9 Рис. 20ио Универсальный логарифмический закон распределеннн снаростей в гладкой трубе. Крнван (1) соответствует уравнению е = и, т. е. ламннарному течению; нрнван (х) — переходу от ламннарной формы течения н турбулентной; кривая (3) — уравневню (20.1(), т. е. турбулентному течению при любых числах Рейнольдса; кривая (е) — уравнению (20Я1), т. е, турбулентному течению прн не < 10', кривая (Ю вЂ” уравнению ф = 11,бйгс)а. с измерениями И.
Никурадзе. Мы видим, что закон степени 1/7 хорошо совпадает с результатами опыта только до числа Рейнольдса Ни = 100 000. Однако большего и нельзя ожидать, так как закон сопротивления Блазиуса (20.5), из которого выведен закон степени 1)7, применим только до указанного числа Рейнольдса (см. рис.
20.1). Для того чтобы закон сопротивления Блазиуса лучше передавал результаты опыта, полученные для ббльших чисел Рейнольдса, следует заменить в нем показатель степени 1/4 на 1)5 или на 1/6. Тогда, выполнив такой же расчет, как в начале настоящего параграфа, мы получим степенные законы ') Уравнение (20.10) можно обобщить и на другие показатели степени, придав ему вид Как показал К. Внгхардт ["], козффнцнент С (и) имеет для различных покавателей степени м,значения н=7 8 9 10 С (н) = 8,74 9,71 10,6 11,5 542 1гл.
хх ТУРБУЛЕНТНОЕ ТЕЧЕНИЕ В ТРУБАХ распределения скоростей, в которых в соответствии с измерениями, показателем будет не 1!7, а 1/8, 1!9 и т. д. Распределение скоростей СЧ111о изображено на рис. 20.4 в виде кривой б. Мы видим, что на эту кривую хорошо ложатся экспериментальные точки, полученные при больших числах Рейнольдса, но зато точки, полученные для малых чисел Рейнольдса, отстоят от нее дальше, чем от кривой 4. Решив уравнение (20.10) относительно у„мы получим и =0,150ит18 /Т108 У следовательно, касательное напряжение на стенке равно т, = ру~ = 0,0225ритз' ~ — ) ( о 1!!8 (20.12) или го = 0 0225рУ~~ ( — ) (20. 12а) Ниже мы используем это соотношение.
й 3. Универсальные законы распределения скоростей для очень больших чисел Рейнольдса (20.13~ гр = А, )и ц -1- В„ где 1 А1= — и 1)1= — — 1пу к Х В предыдущем параграфе мы выяснили, что как в законе сопротивления для течения в трубе, так и в законе распределения скоростей показатель степени с увеличением числа Рейнольдса становится все меньше и меньше. Это обстоятельство наводит на предположение, что в предельном случае очень больших чисел Рейнольдса и для сопротивления, и для распределения скоростей должны существовать асимптотические законы, содержащие логарифм как предельное значение очень малой степени.
Более подробный анализ измерений, произведенных при очень больших числах Рейнольдса, показывает, что такие логарифмические законы действительно существуют. С физической точки зрения эти асимптотические законы характерны наличием в них только турбулентного трения, так как при больших числах Рейнольдса ламинарное трение полностью отходит на задний план по сравнению с турбулентным. Большое преимущество асимптотических логарифмических законов по сравнению со степенными законами заключается в том, что они являются предельными законами для очень больших чисел Рейнольдса, а потому могут быть экстраполированы на произвольно большие числа Рейнольдса, лежащие даже за пределами выполненных измерений. При применении же степенных законов показатель степени по мере расширения области чисел Рейнольдса все время изменяется.
Асимптотический логарифмический закон распределения скоростей для течения в канале мы уже привели в 8 5 главы Х1Х 1уравнение (19.33)). Мы вывели его для небольших расстояний от стенки, исходя из формулы Прандтля (19.7) для турбулентного касательного напряжения и из гипотезы, что 1 =- ку, т.
е. что длина пути перемешивания пропорциональна расстоянию от стенки. В сокращенной записи этот закон распределения скоростей имеет вид униВеРсАльные 3АкОны РАспРеделения скОРОстей 548 суть свободные постоянные '). Перенесем этот закон без каких-либо изменений на течение в трубе и сравним.его с измерениями И. Никурадзе, изображенными на рис. 20.4, на котором закону (20АЗ) соответствует кривая о. Мы видим, что все экспериментальные точки очень хорошо ложатся на кривую о', и притом не только вблизи стенки, но и вдали от нее, вплоть до середины трубы Для постоянных А, и Р, получаются значения А~ — — 2,5; П1 — — 5,5, следовательно, постоянные х и р равны к=0,4; ~=О,Ш. Таким образом, универсальный закон распределения скоростей в гладких трубах при очень больших числах Рейнольдса имеет внд ') <р = 2,5 1П т) + 5,5, ~р = 5,75 1и т) т 5 5 (20А4у или и те = [А— у Имея в виду, что то — — рп'„, мы найдем отсюда, что при ламинарном течении или Кривые, приведенные на рис.
20.4, показывают, что для значений т[ = = уп',/У ( 5 турбулентное трение ничтожно мало по сравнению с ламинар- ') Более точвый заков для распределения скоростей выведен Г. Райхардтом [ю1. Этот закон применим ко всему поперечному сечению трубы, начиная от стевов (у = О) и вплоть до середины трубы, следовательно, и к ламивариому подслою, в котором завоя (20.13) ве имеет места, и к окрестности середины, где измеренное распределение скоростей обнаруживает некоторые систематические отклонения от закона (20.13).
Кроме того, закон Г. Райхардта охватывает также область перехода от ламиварвого подслоя к турбулевтвому пограничному слою (кривая 2 ва рис. 20.4). Г. Райхардт вывел свой ванов ва основе теоретических оценок и очень тщательных измерений коаффициеита турбулевтвого обмена А т 1формула (19.1)1. См. работу В.
Шаблевского [м1. з) Здесь и в дальнейшем 1п оавачает натуральный логарифм, а 19 — логарифм прм основании 10. В следующем параграфе путем рассуждений, аналогичных тем, которые были применены в предыдущем параграфе, мы выведем из этого универсального закона распределения скоростей соответствующий асимптотический универсальный закон сопротивления. Закон (20А4), выведенный в предположении, что ламинарные касательные напряжения малы по сравнению с турбулентными касательными напряжениями, применим, конечно, только в тех областях течения, где такое предположение выполняется. В непосредственной близости от стенки, где турбулентное касательное напряжение близко к нулю, а ламинарное касательное напряжение играет существенную роль, следует ожидать отклонений от этого закона. Г.
Райхардт ['с[ измерил скорости течения в канало на очень небольшом расстоянии от стенки и получил экспериментальные точки, через которые на рис. 20.4 проведена кривая 2; эта кривая дает значения скорости при переходе от ламинарного подслоя (стр.
507 — 508) к турбулентному пограничному слою. Кривая, отмеченная на рис. 20.4 цифрой 1, соответствует ламинарному течению, для которого 544 [гл. хх ТУРБУЛЕНТНОЕ ТЕЧЕНИЕ В ТРУБАХ ным; далее, что для 5 ( уи,/У ( 70 турбулентное трение по своей величине оДного поРЯДка с ламинаРным тРением и, наконеЦ, что ДлЯ Уиа7У ) 70 лами- нарное трение ничтожно мало по сравнению с турбулентным. Таким образом, мы имеем при — "* С 5 чисто ламинарное трение, при 5 ( ~ ' ' 70 ламинарно-турбулентное трение, (20Л5) при ~ * аа70 чисто турбулентное трение. ( Отсюда следует, что для гладкой стенки толщина ламинарного подслоя равна м блам 5 ° и (20Л5а) Сравним теперь результаты измерения распределения скоростей в трубах с другим универсальным законом распределения скоростей, а именно с зако- ном У вЂ” и (у) т р[2( ) (20.16) мы сумеем вычислить распределение скоростей из линейного распределения касательных напряжений ( л)* (20.17) Формулы (20.16) и (20Л7) вместе с измеренным распределением скоростей и (у) позволяют определить распределение длины пути перемешивания вдоль диаметра трубы.
На рис. 20.5 изображен примечательный результат такого определения, полученный на основе измерений И. Иикурадзе Ра! в гладких трубах. Мы видим, что распределение длины пути перемешивания не зависит от числа Рейнольдса (при условии, что это число больше 10'). Для длины пути перемешивания получается интерполяционная формула — = 0,14 — 0,08 (1 — нз ) — 0,06 (1 — У ) (20. 18) которая для расстояний, близких к стенке, принимает вид / 1=0,4у — 0,44++...
(20.18а) Следовательно, для небольших расстояний от стенки измерения, выполнен- ные в трубах, подтверждают правильность гипотезы Прандтля 1 = ку, причем для постоянной х получается численное значение (20Л9) к = 0,4. выведенным в предыдущей главе один раз из гипотезы подобия Кармана [уравнение (19.21)), а другой раз — из теории пути перемешивания Прандтля в сочетании с гипотезой 1 = ху [уравнение (19.28)). В обоих случаях функция 7 (у/Л) получилась разной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
