Теория пограничного слоя Г. Шлихтинг под ред. Лойцянского Л.Г. (1013691), страница 143
Текст из файла (страница 143)
Нккурадзе [зЧ,[з'[. $11 экспкгимкнтлльнык гкзультлты для гладких тгув 537 действующих на его основания '). Следовательно, Р< Рг У Ь 2 (20.1) [см. формулу (1.9)[. Эта формула применима как к ламинарным, так и к турбулентным течениям. Сейчас в ней т обозначает сумму ламинарного и турбулентного касательных напряжений. Согласно формуле (20.1) касательное напрян<ение распределяется по поперечному сечению линейно. Наибольшее касательное напряжение имеет место около стенки трубы, где оно равно Р< — Ре П Ь 2 ' (20. 2) Р< Рг << Р Ь ~3 2 (20.3) где «' = 2В есть диаметр трубы [см.
формулу (5.10)[. Сравнив равенства (20.2) и (20.3), мы получим формулу г т,= — ри, (20.4) которой в дальнейшем будем часто пользоваться. В 1911 г. Г. Влазиус [з[ впервые критически рассмотрел накопившийся к тому времени обширный экспериментальный материал и обработал его с учетом закона подобия Рейнольдса. Для коэффициента сопротивления в гладких трубах с круглым поперечным сечением он получил следующую эмпирическую формулу: Х=-0,3164 ( — ) (20.5) называемую в настоящее время законом сопротивления Блазиуса.
В этой формуле и<1>т = тсп есть число Рейнольдса, составленное для диаметра трубы и средней скорости течения. Согласно этой формуле безразмерный коэффи- г) Начиная отсюда, мы будем 'опускать надбуквенную черточку над осредненнымн по времени величинами, так как теперь, как уже было сказано в нрнмечанвн ва стр.
529, невозможно спутать зтк величины с велвчквамн, зависящими от времени. ') В дальнейшем через и мы будем обозначать среднюю по поперечному сечению скорость течения в трубе, а через У вЂ” максимальную скорость в поперечном сечении. Средняя скорость и определяется равенством и= 0/яВг. Следовательно, касательное напряжение т, на стенке может быть определено экспериментально путем измерения перепада давления. Для ламинарного течения связь между перепадом давления и количеством протекающей жидкости <> = пВги (расход) определяется чисто теоретически, и при этом получается хорошее совпадение с опытом ').
Для турбулентного течения такую связь можно установить только на основе измерений, так как чисто теоретический расчет турбулентных течений в настоящее время пока еще невозможен. Связь между перепадом давления и расходом устанавливается законом сопротивления для движения в трубе. В литературе известно большое число формул, определяющих сопротивление в трубе, причем более старыеиз них выведены без учета закона подобия Рейнольдса и зависят от выбора единиц.
В настоящее время таким формулам придают безразмерный вид, для чего вводят безразмерный коэффициент сопротивления )>, определяемый соотношением [гл. хх ТУРБУЛЕНТНОЕ ТЕЧЕНИЕ В ТРУБАХ циент сопротивления есть функция только числа Рейнольдса. Закон Блазиуса применим для чисел Рейнольдса йе = —, (100 000. Следовательно, при турбулентном течении в указанной области чисел Рей нольдса перепад давления пропорционален ит/е.
Измерений, произведенных в гладких трубах при ббльших числах Рейнольдса, в то время не было. На рис. 20.1 показано сравнение закона Блазиуса (20.5) с результатами опытов. Мы видим, что до йе = 100 000 этот закон дает очень хорошее совпадение с измерениями. На том же рисунке отложены экспериментальные значения А, также для чисел Рейнольдса йе) 100 000, полученные И. Никурадзе [ав). Эти значения сильно отклоняются кверху от кривой, соответствующей закону Блазиуса /аа /([ал ([а ба ба ° //индяодае аоб) и а/одея Я~ссилып иден ° Пнаб дан аа)ана/он и Панн еа ° а/анису и//банан йоееа г /г /а /ае г б б б/ае и б б б/аа г б б сае г б б бу/г 0(/ Рно. 20.1.
Закон еопротивления для течения в гладной трубе. Кривая (1) — при ламинарном течении, Формула (5.11), по Хагену — Пуаеейлю. Кривая (а) — при турбулентном течение, формула (20.5), "по Блавиуоу [5). кривая (а) — прн турбулентном течении, формула (20.20), по прандтлю [") И. Ннкурадае проиавел весьма тщательные измерения сопротивления н распределения скоростей в гладких трубах в очень широкой области чисел Рейнольдса: 4.100 (Не ( 3 2 100 Безразмерные распределения скоростей для некоторых чисел Рейнольдса изображены на рис. 20.2 (на оси ординат отложены безразмерные скорости и/с/, а на оси абсцисс — безразмерные расстояния у/Л). Мы видим, что с увеличением числа Рейнольдса профили скоростей становятся все более полными. Уравнение профиля скоростей можно ваять в виде (20.6) где показатель степени 1!и слабо зависит от числа Рейнольдса.
В том, что степенное уравнение (20.6) действительно хорошо передает распределение 0 11 ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДЛЯ ГЛАДКИХ ТРУБ 539 скоростей, можно убедиться из рис. 20.3, на котором, значения (и/аг)к отложены как ординаты на абсциссах у/Л. При соответствующем выборе покааателя степени и получаются прямые линии.
Для наименьшего числа Рейнольдса Ке = 4 108, испольаованного при измерениях, показатель степени равен п = 6, для )те = 100.10' он равен п = 7, и, наконец, для наибольшего числа Рейнольдса рте = 3240 10' он равен п = 10. 1(» 483 (13 у . Рис. 20.2. Распределение скоростей в гладкой трубе прн равличных чис- лах Рейноладса. По Никуралве 1381. Р =» Ф г».т» Ц.а' (1 Ш' УР Ю» Уг ~П' (Р 4» »» У 4» а» » 4» 4» 13 4» »Ю Ю 4» 4» » 4» гД( У Рис. 20.3. Распределение скоростей в гладкой трубе.
Проверка степенного вакона (20.0! В дальнейшем нам придется пользоваться отношением средней скорости и к максимальной скорости У. Как нетрудно видеть из уравнения (20.6), зто отношение равно 2их (У (и+1) (2н+1) 540 1гл. хх ТУРБУЛЕНТНОЕ ТЕЧЕНИЕ В ТРУБАХ В таблице 20.1 даны значения и!17 для некоторых п. Таблица 20.1. Средняя по поперечяому сечению скорость течения в трубе прв различных показателях степени и в уравнении (20.6) 10 и(У 0,791 0,817 0,837 0,852 0,865 з 2. Связь между законом сопротивления и распределением скоростей Между законом сопротивления Блазиуса (20.5) и распределением скоростей (20.6) существует внутренняя связь, впервые указанная Л. Прандтлем [со[ и имеющая фундаментальное значение для всех теоретических соображений о турбулентных течениях. Эта связь позволяет, между прочим, из результатов опытов по определению сопротивления в трубе получить некоторые выводы о сопротивлении пластины при ее продольном обтекании [" [, что будет использовано в главе ХХ1.
Внеся в формулу (20.4) значение )4 нз формулы (20.5), мы получим то =0,03955ри-~иу~мд-'~~ Введем вместо диаметра 41 радиус Л; в таком случае численный множитель в правой части последнего равенства надо разделить на 2И' =- 1,19, и мы будем иметь то = 0,03325ри774ун" Л или, если ввести, как и в главе Х1Х, динамическую скорость и, = '[Гт,!о на стенке, то=0,03325риыоузЫЛ "4 =-рва. Представив в этом раве14стве величину ио, в виде произведения получим (20.8) взи У414, мы — = 8,74 ( — *) (20.9) Подставив в это соотношение вместо 17 его выражение согласно формуле (20.6), мы увидим, что при и = 7 соотношение (20.9) будет справедливо не только для середины трубы (расстояние от стенки у = Л), но и для любого расстояния у от стенки.
В таком случае мы будем иметь — =8,74 ( — "* ) (20.10) Следовательно, закон сопротивления Блазиуса привел нас к закону степени 1!7 для распределения скоростей, т. е. к тому закону, который, как показывают упомянутые выше опыты, имеет место для определенной области чисел Рейнольдса. Таким образом, между законом сопротивления Блазиуса н зако- Перейдем в последнем равенстве от средней скорости и к максимальной скорости 17, приняв для этого, что и/17 = 0,8, чему, на основании таблицы 20.1, соответствует приблизительно показатель степени и = 7 и, следовательно, число Рейнольдса [тн = 10'. Тогда рассматриваемое равенство примет вид 2) ЗАКОН СОПРОТИВЛЕНИЯ И РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТЕЙ 541 ном степени 1/7 для распределения скоростей существует внутренняя связь.
Введя в уравнение (20.10) обозначения (19.31) и (19.32), т. е. и!иа = (р и уп,/т = т), мы сможем переписать его в следующем сокращенном виде: (р = 8,74))н' '). (20.11) Мы вновь получили закон распределения скоростей (19.35), выведенный в предыдущей главе для течения вдоль гладкой плоской пластины из соображений о подобии, и при этом определили из закона сопротивления для течения в трубе постоянные С и и, ранее остававшиеся неопределенными.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
