Теория пограничного слоя Г. Шлихтинг под ред. Лойцянского Л.Г. (1013691), страница 145
Текст из файла (страница 145)
Так как гипотеаа 1 = ху справедлива, очевидно, не на любом расстоянии от стенки трубы, то мы предпочтем использовать распределение длины пути перемешивания, получаемое из эксперимента. Тогда, имея формулу Прзндтля УНИВЕРСАЛЬНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СКОРОСТЕЙ 545 5 8] Далее, выясняется, что распределение длины пути перемешнвания (20.18) имеет место не только в гладких, но и в шероховатых трубах. В этом можно убедиться из рнс. 20.6, на котором представлены измерения И. Никурадзе (80), произведенные в трубах с разной шероховатостью (эта шероховатость была создана путем покрытия стенки песком с разной, но каждый раз вполне определенной величиной зерен).
Следовательно, можно ожидать, что если мы вычислим на основании распределения длины пути перемешивания (20.18) рас- Д/У пределение скоростей, то оно будет пригодным как для гладких, так и для шероховатых (](]у труб. Представим распределение длины пути перемешивания для сокращения записи 'в следующем виде: ]=ку/ ( — "), (20.20) причем /(у/Л) — »-1 при у/Л вЂ” +-О. Из равенств (20.16) и (20.17), ИМЕЯ В ВИДУ, ЧтО Ра = ту) то/Р мы получим для распределения скоростей уравнение (У УУ Дб (УЯ /)5 /У Рис. 20.5. Расдределение длины пути перемешввания вдоль диаметра гладкой трубы при рааличных числах Рейнольдса.
Кривая (1) соответствует Формуле (20.18]. откуда после интегрирования ()у() найдем (20.21) За нижний предел интегрирова- 4У (]0 (]У РЮ /// У ния следует взять то расстояние у уо от стенки, для которого скорость равна нулю. Это расстояние одного порядка с толщиной ламинарного подслоя и пропорционально и/Ре (формула (20.150)), поэтому Рис. 20Л. Распределение длины пути перемешивания вдоль диаметра шероховатой трубы. Кривая (1) соответствует Формуле (20.18). Формула (20.21) дает для максимальной скорости (/ в середине трубы вели- чину не ~ /] /) р ®) (20. 21а) 35 Г. Шлихтинг 546 ТУРБУЛЕНТНОЕ ТЕЧЕНИЕ В ТРУБАХ (гл. хх Составив разность Г7 — и, мы,получим (20.22) причем эмпирическая постоянная к = 0,4 включена в выражение функции Р (уИ).
Таким образом, мы вновь пришли к универсальному закону распределения скоростей вида (19.21) или (19.28), но с существенным обобщением: теперь этот закон применим и к гладким, и к шероховатым трубам, и притом при одном и том же виде функции Р (у/Л). Закон (20.22) показывает, что кри- вые распределения скоростей по Уф поперечному сечению трубы, по- ~(-и лученные для любого числа Рейи„ нольдса и для любой шероховатоуг сти должны совпасть в одну-един-[— ственную кривую, если только значения ((у — и)Ъе откладывать Ш как ордннаты при абсциссах у(Л (рис. 20.7).
Отметим, что закон распределения скоростей в виде (20.22) впервые был указан аа г ду' Т. Э. Стэнтоном ['в). Явное выраеа ~~~ жение для функции Р (у('Л) можно ~ ~Р=А~Ю было бы получить, вычислив инте( грал (20.21), однако проще воспользоваться для этой цели уже известным законом распределения 46~ а скоростей (20.14) для гладких труб. В самом деле, из этого закона мы имеем 5( — и= 2,5эе [п — = 5,75ре[9 —, В Л р ' * р (у а потому ([1 ([0 4б (УдУ йр о — и )у У вЂ” =5,7519 — . (20.23) .Р (а У Рис 20 т.
Укиведсалвкмй школ РаснРм(еле на око На рис. 20.7 дано сравнение закона рсстей для владика и шероховатой труб. кривая ()) соответствует формуле Прандтля (20.20), кривая (20.23) (кривая 1) с измерениями в (у) — Формуле Кармана (20.24), вливая (а) — Формуле о а рубах. ларси (20.20). гладких и шероховатых тру ах. Закон (20.23) содержит в себе постоянную к, для которой выше было найдено значение к = 0,4 [равенство (20.19)[. Совпадение получается очень хорошее.
В предыдущей главе гипотеза Кармана привела к универсальному закону распределения скоростей (19.21), который, если ввести в него вместо расстояния у от оси расстояние у от стенки, принимает вид "= — — ([п ~1 — ~/ 1 — — "1+~/ 1 — — ") . (20.24) И этот закон (на (рис. 20.7 кривая 2) хорошо совпадает с измерениями, если только принять, что х = 0,36. На рис.
20.7 изображена также кривая 3, полученная (в 1855 г. Г. Дарси [е[ на основе произведенных им тщательных измерений. Уравнение этой кривой в наших обозначениях имеет вид "=5,08(1 — ф)'". б а1 универсАльные зАконы РАспределения скоростеИ 547 Кривая Дарси хорошо совпадает с измерениями, за исключением области вблизи стенок, где у/В ( 0,25. Подчеркнем, что оба универсальных закона распределения скоростей (20.23) и (20.24) выведены, как это следует из рассуждений предыдущей главы, для плоского течения в канале.
Тем не менее сравнение с измерениями показывает, что эти законы хорошо применимы также к осесимметричному течению в трубе. Это обстоятельство служит доказательством большого сходства распределения скоростей в плоском и осесимметричном течениях. Напомним в этой связи, что и при ламинарном течении для плоского и осесимметричного течений получается одинаковое параболическое распределение скоростей. дг //4 аб' дв Ф У Рис. 2б.а. Распределение беараамерного кинематического коэффициента кажужейся вяакости е вдоль радиуса гладкой трубы. По намерениям Никурадае РЧ. Теория переноса завихренности Тэйлора также позволяет вывести универсальный закон распределения скоростей в виде уравнения (20.22), но, конечно, с иной функцией г' (у/Л), чем по расчетам Л. Прандтля и Т.
Кармана. Сравнительному исследованию распределения скоростей, полученных на основе теории Прандтля и теории Тейлора, посвящены работы С. Голдстейна [та[ и Дж. И. Тейлора [ат[. Однако результаты исследования не позволяют сделать однозначного вывода о преимуществах той или иной теории. Наглядное представление о физических особенностях течения в трубе дает также распределение по поперечному сечению кинематического коэффициента кажущейся вязкости е, характеризующего турбулентный обмен.
На рис. 20л8 изображено такое распределение, полученное из измеренных И. Никурадзе распределений скоростей путем использования соотношений т=ре — ' и х=то~1 — — ) и Ъ лд 1 л) [формулы (19.2) и (20.17)[. Так же, как и длина пути перемешивания, коэффициент кажущейся вяакости не зависит от числа Рейнольдса. Однако в остальном раепределение е по поперечному сечению совсем иное, чем распределение длины пути перемешивания 1 (см. рис.
20.5). В самом деле, максимум коэффициента кажущейся вязкости получается в середине между осью трубы и стенкой. В середине трубы е очень мало (но не равно нулю). Из вида кривой распределения коэффициента кажущейся вязкости е ясно, что сделать зара- 35» 548 [гл хх ТУРБУЛЕНТНОЕ ТЕЧЕНИЕ В ТРУБАХ нее правдоподобное предположение о ходе изменения е значительно труднее, чем об изменении длины пути перемешивания й Именно это обстоятельство мы и имели в виду в $ 2 главы Х1Х, когда говорили о преимуществе введения в расчет длины пути перемешивания вместо коэффициента турбулентного обмена. Теперь мы имеем экспериментальное доказательство такого преимущества. Для сравнения с турбулентной кинематической вязкостью з на рис.
20.8 отложены также значения зламlиаЛ (штриховые прямые), соответствующие ламинарному течению Хагена — Пуазейля в трубе (в этом случае зл,„тожДественно совпаДает с кинематнческой вазкостью У). Так как на основании равенства (20.4) а Л при ламинарном течении, согласно формуле (5.11), равно Л= —, 64 йе ' то злам "' "ам 'ам У2 йе Отсюда ясно видна преобладающая роль турбулентного трения по сравнению с ламинарным, особенно при больших числах Рейнольдса. з 4.
Универсальный закон сопротивления для гладких труб при очень больших числах Рейнольдса В $ 2 настоящей главы мы получили закон степени 1!7 для распределения скоростей, исходя из закона сопротивления Влазиуса. Поступим сейчас наоборот: выведем путем аналогичных рассуждений из универсального логарифмического закона распределения скоростей соответствующий закон сопротивления. Так как логарифмический закон распределения скоростей (20.23), согласно условиям его вывода (пренебрежение ламинарным трением по сравнению с турбулентным), допускает экстраполирование на произвольно большие числа Рейнольдса, то можно предполагать, что таким же свойством будет обладать и подлежащий выводу закон сопротивления. Выполним этот вывод, следуя изложению Л.
Прандтля (аа). Имея распределение скоростей (20.23), мы можем вычислить среднюю по поперечному сечению скорость и. Мы получим тогда и = П вЂ” 3,75па. (20.26) Результаты измерений, выполненных И. Никурадзе, дают несколько иное число, а именно вместо 3,75 и = П вЂ” 4,07У„. (20. 27) Из формулы (20.4) мы имеем (20.28) П = Ра ( 2,5 1п — '* + 5,5 ) Далее, из универсального закона распределения скоростей (20.14) следует, что 15! Уннвврсдльныи элкок сопротивлвния для глддкнх грув 549 Внеся это выражение в равенство (20.26), мы получим и=о, (2,51п — '" +1,75) (20.29) Величину Лое))), входящую в последнее равенство, можно представить как произведение числа Рейнольдса и())у на выражение, зависящее от Л. В самом деле, йое 1 йб да лб )гх 2 т и т 4 'у'2 Выразив теперь Рв через Л посредством соотношения (20.28) и внеся найденное выражение и„в равенство (20.29), мы получим закон сопротивления 8 1 Л— г '(25!и ( — (ггЛ) — 25!н4 уй+1,75) (2035)З ( — )ггЛ) — 0,91~ или ==2,035!и ( — )~Л) — 0,91.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
